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棱柱、棱锥、棱台和球的表面积


6.某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的主视 图中,这条棱的投影是长为 6的线段,在该几何体的侧 视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线 段,则 a+b 的最大值为( A.2 2 C.4 ) B.2 3 D.2 5

? 解析:构造长方体,利用体对角线在三个 面的投影来计算,如图.设长方体的长、 宽、高分别为m、n、k,

/> 由题意得 m2+n2+k2= 7, m2+k2= 6?n=1, 1+k2=a, 1+m2 =b, 所以(a2-1)+(b2-1)=6?a2+b2=8, ∴(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab =8+2a 8-a2=8+2 8a2-a4

一.直棱柱的表面积 1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积,即S直棱柱侧=c· h.

一.直棱柱的表面积 1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积,即S直棱柱侧=c· h.

2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下

底面面积的和.
3.斜棱柱的侧面积,可以先求出每个侧面 的面积,然后求和,也可以用直截面周长 与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和 棱垂直的截面. 如果斜棱柱的侧棱长为l,直截面的周长 为c’,则其侧面积的计算公式就是 S侧=c’·l.

二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 n 高乘积的一半,即S正棱锥侧= ah’. 其中a为 2 底面正多边形的边长,底面周长为c,斜 高为h’,
h h'

a

如上图,以正四棱锥为例简单推导计算 公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些 全等的等腰三角形,底面是正多边形,若 设它的底面边长为a,底面周长为4a,斜高 为h’,容易得到正四棱锥的侧面积计算公 1 式为S正四棱锥侧=2ah’= 2 ch’, 对于正n棱锥,其侧面积计算公式为 1 S正棱锥侧= ch’. 2 2.正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 与底面积之和.

三. 正棱台的表面积
1.正棱台的侧面积是S= 2 (c+c’)·h’,其中 上底面的周长为c’,下底面的周长为c,斜 高为h’.
a' h h'

1

a

三. 正棱台的表面积
1.正棱台的侧面积是S= 2 (c+c’)·h’,其中 上底面的周长为c’,下底面的周长为c,斜 高为h’.
a' h h'

1

a

2.正棱台可以看作是用平行正棱锥底面

的平面截得的,因此正棱台的侧面展开图
是一些等腰梯形, 设正棱台上、下底面周长为c’,c,斜高 为h’,可得正棱台的侧面积 1 S正棱台侧= (c+c’)·h’。
2

3.正棱台的表面积等于它的侧面积与底 面积之和。

4.
S

?

c=2 ? r

l

O

r

A

S圆锥侧= ·2πr· l=πrl,其中l为圆锥母线长,
2

1

r为底面圆半径。

五.球的表面积 球面面积(也就是球的表面积)等于它 的大圆面积的4倍, 即S球=4πR2,其中R为球的半径.

例1. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm, 高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧 面积及全面积. 解:正棱锥的高PO,斜 高PE,底面边心距OE 组成直角三角形。 因为OE=2, ∠OPE=30°,
A D O B E P

C

所以斜高
因此S侧=

PE ?
1 2

OE sin 3 0 ?

?

2 0 .5

? 4

ch’=32(cm2)

S全=S侧+S底=48(cm2)

P

D

例2.直平行六面体底面是菱形,两个对角 面的面积分别为Q1和Q2,则此平行六面体 的侧面积为________.

解析: 设侧棱为 b, 底面边长为
2

?Q1 ?2 ?Q2? a, ? ? +? ? 则: ?2b ? ?2b ?

=a2,∴Q2+Q2=4a2b2, 1 2
2 ∴S 侧=4ab=2 Q2+Q2. 1

2 答案:2 Q2+Q2 1

例3. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面,它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积. 解:由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2,

O O

B
2

解得AO1=20cm,
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.

A
1

O

所以R2=x2+202=(x+9)2+72.
解得x=15(cm).

所以圆的半径R=25(cm).
所以S球=4πR2=2500π(cm2)

练习题:
1. 将一个边长为a的正方体,切成27个全 等的小正方体,则表面积增加了( B )

(A)6a2
(C)18a2

(B)12a2
(D)24a2

2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是 正四面体的顶点,则正方体的表面积与此

正四面体的表面积的比值为( B )
(A) (C)
2
6 2

(B) (D)

3
3 3

3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥,底 面边长为a,该三棱锥的全面积是( C ) (A)
3? 2 3 a
2

(B)(

3 2

?

3 4

)a

2

(C)3 ?
4

3

a

2

(D)

3 4

a

2

4. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为( A )

(A)2:π (B)3:π
(C)4:π (D)6:π

5. 已知正六棱台的上、下底面边长分别 是2 和4,高是2,则这个棱台的侧面积等



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