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高中数学竞赛专题讲座之 数列


高中数学竞赛专题讲座之
一、选择题部分 1. (2006 年江苏)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ?
2

数列

? A? a1

? B ? a2

2 ,则 ?an ? 的最大项是( B ) n ? 4n ? 5 ? D? a4 ? C ? a3
( )

r />
2 3 2. (2006 安徽初赛)正数列满足 a 1 ? 1, a2 ? 10 , an an?2 ? 10an ?t ? n ? 3? ,则 lg ( a100 ) ?

A、98 B、99 C、100 D、101 3. (2006 吉林预赛)对于一个有 n 项的数列 P=(p1,p2,?,pn),P 的“蔡查罗和”定义为 s1、s2、? sn、的算术平均值,其中 sk=p1+p2+?pk(1≤k≤n),若数列(p1,p2,?,p2006)的“蔡查罗和”为 2007,那 么数列(1,p1,p2,?,p2006)的“蔡查罗和”为 ( A ) A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4.(集训试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn。则满足不等式 |Sn-n-6|<

1 的最小整数 n 是 125
B.6 C.7 D.8





A.5

解:由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以 8 为首项,公比为-

1 的等比数列, 3

1 8[1 ? ( ? ) n ] 1 n 1 n 1 n-1 3 ∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)= =6-6×(- ) ,∴|Sn-n-6|=6×( ) < ,得:3 >250, 1 3 3 125 1? 3 ∴满足条件的最小整数 n=7,故选 C。
5.(集训试题)给定数列{xn},x1=1,且 xn+1= A.1 B.-1 C.2+ 3

3xn ? 1 3 ? xn

2005

,则

?x
n ?1

n

=





D.-2+ 3

解: xn+1=

xn ? 1?

3 xn 3

3 ? 3 , 令 xn=tanα n, ∴xn+1=tan(α n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1, x2=2+ 3 , x3=-2- 3 , x4=-1,

6

2005

x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,??,∴有

?x
n ?1

n

? x1 ? 1 。故选 A。

6 、( 2006 陕 西 赛 区 预 赛 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 分 别 为 An , Bn 记 、 b {n } ( C ) Cn ? an ? Bn ? bn ? An ? an ? bn (n ? 1) 则数列{ Cn }的前 10 项和为 A ? B10 A . A10 ? B10 B. 10 C. A D. A10 ? B10 10 ? B 10 2 7. (2006 年浙江省预赛)设 f ( n) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 则 f 2006 (2006) = f (123) ? 12 ? 2 2 ? 32 ? 14。记 f1 (n) ? f (n) , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? 1,2,3,?, (A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. ) ? 40 记做 2006 ? 40 ,于是有 解: 将 f (2006 ( D )

2006 ? 40 ? 16 ? 37 ? 58 ? 89 ? 145 ? 42 ? 20 ? 4 ? 16 ? ? 从 16 开始, f n 是周期为 8 的周期数列。故 f 2006 (2006 ) ? f 2004 (16) ? f 4?250?8 (16) ? f 4 (16) ? 145.
正确答案为 D。 二、填空题部分
1 1 1 1 1 1 ? ? 5 ? 4 10 ? 3 6 10 ? 2 3 4 5 ? 1 1 1 1 1 ?

1 1 1. 数 列 ?an ? 的 各 项 为 正 数 , 其 前 n 项 和 S n 满 足 S n ? (a n ? ) ,则 2 an

an =___ n ? n ?1 ___.
1

2. (200 6 天津)已知 a, b, c, d 都是偶数,且 0 ? a ? b ? c ? d , d ? a ? 90 ,若 a, b, c 成等差数 列, b, c, d 成等比数列,则 a ? b ? c ? d 的值等于 194 . 3. (2006 吉林预赛)如图所示,在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列 1,3,6,10,?,记这 个数列前 n 项和为 S(n),则 lim

n3 =___________。 n ??? S (n)

4. (2006 年江苏)等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? 项的积,则当 n ? 12 时, f ? n ? 有最大值.
j

1 .设 f ? n ? 表示这个数列的前 n 2
2

5. 在 x 轴的正方向上, 从左向右依次取点列

?A ?, j ? 1,2,?, 以及在第一象限内的抛物线 y

?

上从左向右依次取点列 ?Bk ? , k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等边三角形,其中 A0 是坐标 原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。 【解】 :设第 n 个等边三角形的边长为 an 。则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 Bn 的坐标为 ( a1 ? a2 ? ? ? an?1 ?

3 x 2

an , 2

a ? 3? 。 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? n ? ) 2? 2?

再 从 第 n 个 等 边 三 角 形 上 , 我 们 可 得 Bn 的 纵 坐 标 为

3 ?1 ? 2 an ? ? an ? ? an 。 从 而 有 2 ?2 ?

2

an 1 2 a ? 3 3? 。 an ? ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? n ? ,即有 a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 2 2? 2? 2 2
由此可得 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (1)-(2)即得 变形可得

an 1 2 ? an 2 2

(1) ,

以及

a1 ? a2 ? ? ? an?1 ?

an?1 1 2 ? an?1 2 2

(2)

1 1 an ? (an ? an?1 ) ? (an ? an?1 )(an ? an?1 ) . 2 2 (an ? an?1 ? 1)( an ? an?1 ) ? 0 . 1 1 2 , 而 a1 ? 0 , 故 a1 ? 1 。 a1 ? a1 2 2 2005!?1 。 2005!

由于 an ? an?1 ? 0 , 所以 an ? an?1 ? 1 。 在 (1) 式中取 n = 1, 可得 因此第 2005 个等边三角形的边长为 a2005 ? 2005。

6.(2005 年浙江)已知数列 xn ,满足 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x2005 = 【解】 :由 (n ? 1) xn?1 ? xn ? n ,推出 xn?1 ? 1 ?

xn ? 1 。因此有 n ?1 x ? 1 x n ?1 ? 1 xn?2 ? 1 x1 ? 1 1 x n ?1 ? 1 ? n ? ? ??? ? . n ? 1 (n ? 1)n (n ? 1)n(n ? 1) (n ? 1)n(n ? 1) ? 2 (n ? 1)! 2005!?1 1 ? 1 。 从而可得 x 2005 ? 即有 x n ?1 ? 。 ( n ? 1)! 2005! a a a a ? 3 ? 4 | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 将 M 中的元素 7. (2005 全国)记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? { 1 ? 2 2 3 7 7 7 74
按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是( ) 5 5 6 3 5 5 6 2 1 1 0 4 A. ? 2 ? 3 ? 4 B. ? 2 ? 3 ? 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 解:用 [a1a2 ?ak ] p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得
4

D.

1 1 0 3 ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7

M ? ? {a1 ? 73 ? a2 ? 72 ? a3 ? 7 ? a4 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4} ? {[a1a2a3a4 ]7 | ai ?T , i ? 1, 2,3, 4}. M ? 中的最大数为 [6666 ]7 ? [2400 ]10 。在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个
2

数是 2400-2004=396。而 [396 ]10 ? [1104 ]7 将此数除以 7 ,便得 M 中的数
4

1 1 0 4 ? 2 ? 3 ? 4 . 故选 C。 7 7 7 7 n 1 8. (2004 全国)已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则 ? i ? o ai

的值是_________________________。

1 1 1 即 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn?1 bn 1 1 1 1 3bn ?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ) 故数列 {bn ? } 是公比为 2 的等比数列, 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 bn ? ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n?1 ? bn ? (2n?1 ? 1) 。 3 3 a0 3 3 3
解:设 bn ?
n n ? 1 1 1 i ?1 1 ? 2(2n?1 ? 1) ? b ? (2 ? 1) ? ? (n ? 1) ? ? ? 2n? 2 ? n ? 3? 。 ? ? ? i ? 3 ? 2 ?1 i ?o ai i ?0 i ?0 3 ? 3 n

9. (2005 四川)设 r , s , t 为整数,集合 {a | a ? 2 r ? 2 s ? 2t ,0 ? t ? s ? r} 中的数由小到大组成数列

{an } : 7,11,13,14,? ,则 a36 ?

131



2 解:∵ r , s , t 为整数且 0 ? t ? s ? r ,∴ r 最小取 2,此时符合条件的数有 C2 ?1

2 r ? 3 , s , t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数有 C3 ?3
2 同理, r ? 4 时,符合条件有的数有 C 4 ?6

2 r ? 5 时,符合条件有的数有 C5 ? 10 2 r ? 6 时,符合条件有的数有 C6 ? 15 2 r ? 7 时,符合条件有的数有 C7 ? 21

因此, a36 是 r ? 7 中的最小值,即 a36 ? 20 ? 21 ? 27 ? 131 三、解答题部分 1. (200 6 天津)已知数列 {an } 满足 a1 ? p , a2 ? p ? 1 , an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20 ,其中 p 是 给定的实数, n 是正整数,试求 n 的值,使得 an 的值最小. 【 解 】 令 bn ? an?1 ? an , n ? 1,2,? 由 题 设 an?2 ? 2an?1 ? an ? n ? 20 , 有 bn?1 ? bn ? n ? 20 , 且

b1 ? 1 ???5 分
∴ bn ?

于是

?
i ?1

n ?1

(bi ?1 ? bi ) ?

? (i ? 20) ,即 b
i ?1

n ?1

n

? b1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? 2n(n ? 1) .

又 a1 ? p , a2 ? p ? 1 ,则 a3 ? 2a2 ? a1 ? 1 ? 20 ? p ? 17 ? a1 ? a2 . ∴当 an 的值最小时,应有 n ? 3 , an ? an ?1 ,且 an ? an ?1 . 即 bn ? an?1 ? an ? 0 , bn?1 ? an ? an?1 ? 0 . ???????? 15 分

(n ? 1)(n ? 40) ? 1. 2

(※) ???????10 分

3

? (n ? 1)( n ? 40) ? 2 由(※)式,得 ? ?(n ? 2)( n ? 41) ? ?2
∴当 n ? 40 时, a 40 的值最小. (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)定义正数数列 {an }; a1 ?

?n ? 40 * 由于 n ? 3 ,且 n ? N ,解得 ? , ?n ? 40

????????????????? 20 分

2. (2006 陕西赛区预赛)(20 分)已知 sin(2? ? ? ) ? 3sin ? ,设 tan ? ? x, tan ? ? y ,记 y ? f ( x) 。

f ( x) ?

x 1 ? 2x 2

1 2 2 n?2 , an ?1 ? 2an ? f (an )(n ? N * ) 。试求数列 {an } 的通项公式。 a n ? n?1 . 2 2 ?1

3 .( 2006 安 徽 初 赛 ) 已 知 数 列 ?an ? ? n ? 0? 满 足 a0 ? 0 , 对 于 所 有 n ? N? , 有
an?1 ? 2

,求 30 an 5a n 的通项公式. ? an? ? 1 ? 1a1 n ?

4. (2006 吉林预赛)设{an}为一个实数数列,a1=t,an+1=4an(1-an)。求有多少个不同的实数 t 使 2004 得 a2006=0。 ( 2 +1) 5. (2006 年南昌市)将等差数列{ an }: an ? 4n ?1 (n ? N * ) 中所有能被 3 或 5 整除的数删去后,剩 下的数自小到大排成一个数列{ bn },求 b2006 的值. 解:由于 an?15 ? an ? 60 ,故若 an 是 3 或 5 的倍数,当且仅当 an?15 是 3 或 5 的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为 60 的区间段:(0,+?)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪?,注意第一 个区间段中含有{ an }的项 15 个,即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{ bn }的项 8 个,为: b1 ? 7 , b2 ? 11, b3 ? 19 , b4 ? 23 , b5 ? 31 , b6 ? 43 , b7 ? 47 , b8 ? 59 ,于是每个区间段中 恰有 15 个{ an }的项,8 个{ bn }的项,且有 b8k ? r ? br ? 60k ,k∈N,1≤r≤8. 由于 2006=8×250+6,而 b6 ? 43 所以 b2006 ? 60? 250? b6 ? 60? 250? 43 ? 15043. , 6. (2004 湖南)设数列 {an } 满足条件: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?2 ? an?1 ? an (n ? 1, 2, 3, ? ) 求证:对于任何正整数 n,都有
n

an?1 ? 1 ?

1
n

an
1? ak a ? k ?1 (k ? 1, 2, ?) , 于是 a k ?1 a k ?1

证明:令 a0 ? 1 ,则有 ak ?1 ? ak ? ak ?1 ,且
n n

n?

?

ak ? k ?1 a k ?1

?a
k ?1

a k ?1
k ?1

由算术-几何平均值不等式,可得 1 ? n

a a a a a1 a2 ? ? ? ? n + n 0 ? 1 ? ? ? n?1 a 2 a3 an?1 a 2 a3 a n?1

注意到

a0 ? a1 ? 1,可知 1 ?

1
n

an?1

?

1
n

an an?1

,即

n

an?1 ? 1 ?

1
n

an

? a n ? 1, 当 n 为偶数时, ? ? 2 7. (2006 年上海) 数列 ?an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? ? an ?1

30 ,求正整数 n. 19 解 由题设易知, an ? 0, n ?1, 2,
已知 an ?

.又由 a1 ? 1 ,可得,当 n 为偶数时, an ? 1 ;当 n (? 1) 是奇
4

数时, an ?

1 ??????(4 分) ? 1. an ?1 30 n 30 11 ? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ? 由 an ? ? 1 ? ? 1 ,所以, 是奇数. 19 2 19 19 2 n n?2 19 8 19 于是依次可得: a n ? 是奇数, ? 1 , ? 1 是偶数, a n ?2 ? ? 1 ? ? 1 , ?1 2 4 11 11 11 4 2 n?6 n?6 11 11 3 是偶数, a n ?6 ? 是奇数, an?2 ? ? 1 , ? 1 ? ? 1, ?1 4 8 8 8 8 4 8 n ? 14 n ? 14 8 8 5 是偶数, a n ?14 ? ? 1 ? ? 1 , 是偶数, a n ?6 ? ? 1 , ?1 8 16 3 3 3 8 16 n ? 14 5 2 是奇数, ?????(9 分) a n ?14 ? ? 1 ? ? 1, 32 3 3 32 n ? 46 n ? 46 3 3 1 是偶数, a n ? 46 ? ? 1 ? ? 1 , 是奇数, a n ?14 ? ? 1 , ?1 32 64 2 2 2 32 64 n ? 110 是偶数, an?110 ? 2 ? 1 ? 1 , an?46 ? 2 ? 1 , ?1 64 64 128 n ? 110 ? 1 ,解得,n=238. 所以, ?????? (14 分) 128
2 7an ? 45an ? 36

13. (2005 全国)数列 {an } 满足: a0 ? 1, an?1 ?

, n ? N. 2 证明: (1)对任意 n ? N , an 为正整数;(2)对任意 n ? N , an an?1 ? 1 为完全平方数。
证明: (1) 由题设得 a1 ? 5, 且 {an } 严格单调递增.将条件式变形得 2a n ?1 ? 7 a n ?
2 2 平方整理得 an ?1 ? 7an an?1 ? an ? 9 ? 0
2 45a n ? 36 , 两边



2 2 ② ? an ? 7an?1an ? an ?1 ? 9 ? 0 ①-②得 (an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 7an ) ? 0, an ?1 ? an ,?an ?1 ? an ?1 ? 7an ? 0 ? an?1 ? 7an ? ab?1 . ③ 由③式及 a0 ? 1, a1 ? 5 可知,对任意 n ? N , an 为正整数.??????????10 分 a a 2 2 (2)将①两边配方,得 (a n ?1 ? a n ) ? 9(a n a n ?1 ? 1),? a n a n ?1 ? 1 ? ( n ?1 n ) . ④ 3 由③ an?1 ? an ? 9an ? (an?1 ? an ) ≡ ?(an ? an?1 ) ? mod3? a ? an n ∴ an?1 ? an ≡ (?1) ? a1 ? a0 ? ≡0(mod3)∴ n ?1 为正整数 3 ④式成立.? an an?1 ? 1 是完全平方数.??????????????20 分

5


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