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甘肃省永昌县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


永昌县第一高级中学 2015—2016—1 期末考试卷 高二数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) ,考试时间 120 分钟,满分为 150 分。请将第Ⅰ卷正确答案涂在机读卡上,第Ⅱ卷在答题卡上做答。 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.物体运动的方程为 s ? A.5
2 2

>1 4 t ? 5t ,则 t ? 5 时的瞬时速度为 ( 4
B.25 C.120

) D. 625 )

2.已知椭圆

x y ? ? 1 上的一点 P 到一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为( 25 16 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2 3.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是( )
A. (0,1) B. (1, 0) C. (0,

1 ) 16

D. (

1 , 0) 16
)

a b 4.已知 a 、 b 为实数,则 2 ? 2 是 log 2 a ? log 2 b 的 (

A.必要非充分条件 C.充要条件

B.充分非必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

5.曲线 y ? x ln x 在点 (1, 0) 处的切线的倾斜角为 (

A.-135° B.45° C.-45° D.135° 6.若 ?ABC 的顶点坐标 A(?4, 0), B(4, 0) , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程为 ( A.

x2 y 2 ? ?1 25 9 x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 16 9
2

B.

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) 25 9 x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 25 9

C.

D.

7.过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 + x2 = 6 ,那么 AB 等 于( ). A.10 B.8 C.6 D.4 )

3 8.曲线 f ( x) = x + x - 2 在点 P 处的切线与直线 x + 4 y + 1 = 0 垂直,则点 P 的坐标为(

A. (1, 0)

B. (1, 0) 或 (?1, ?4)
2

C. (2,8)

D. (2,8) 或 (?1, ?4)

9.已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点 (0, 2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为( A. ) B. 3 C. 5 D.

17 2

9 2

1

10.若 0 ? x ? ? ,则 x 与 sin x 的大小关系( A. x ? sin x C. x ? sin x 11.双曲线

). B. x ? sin x D.与 x 的取值有关

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,那么以 a, b, m 为边长的 与椭圆 a 2 b2 m2 b 2
). B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

三角形一定是( A.锐角三角形

12. 已知命题 p : "?x ??1, 2 ? ,x2 ? a ? 0", 命题 q : "?x ? R, x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0", 若命题“ p ? q ” 是 真命题,则实数 a 的取值范围是 A. ( ??, ?2] ? {1} ( ) ( ?? , ? 2] ? [1,2] B. C. [1, ??) D. [ ?2,1]

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e=2,则双曲线的渐近线方程为 a 2 b2
2

14. 函数 f ( x ) = x ( x - 1) 的极大值为_________.

15. 已知椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 被直线 l 截得弦的中点坐标为 ( ,1) ,则直线l的方程___________. 2 4 16

16.在下列四个命题中: ①命题“若 xy ? 1 ,则 x, y 互为倒数”的逆命题;②命题“若两个三角形面积相等,则它们全等”的否命
2 题; ③命题“若 x ? y ? 3 ,则 x ? 1 或 y ? 2 ”的逆否命题; ④命题“ ?x ? R, 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ”的否定. 其

中真命题有________________(填写正确命题的序号) 三、解答题(17 题 10 分,18、19、20、21、22 每题 12 分)
2 17.命题 P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;命题 Q :关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 有实数

2

根.若 P 和 Q 有且只有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 , P 为椭圆 C 上的一点, 25 9

2

且 PF1 ? PF2 ,求 ?PF1 F2 的面积.

19.已知椭圆 C 短轴的一个端点为 (0,1) ,离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

2 2 . 3

(2)设直线 y ? x ? 2 交椭圆于 A, B 两点,求线段 AB 的长.

20.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值. 3

求函数 f ( x ) 的单调区间.

21.已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 交于 A、B 两点.
2 2

(1)求 a 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值.

3

22.已知定点 F (0,1) 和直线 l1 : y ? ?1 ,过定点 F 与直线 l1 相切的动圆圆心为点 C . ( 1)求动点 C 的轨迹方程; (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P, Q ,交直线 l1 于点 R ,求 RP ? RQ 的最小值.

??? ? ??? ?

4

永昌县第一高级中学 2015—2016—1 期末考试卷 高二数学 (文科)答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题 答 号 案 1 C 2 D 3 C 4 A 5 B 6 D B 7 8 B 9 A 10 B 11 C 12 A

二、填 空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. y ? ? 3x 14.

4 27

15. 2 x ? y ? 2 ? 0

16. ①②③

三、解答题(17 题 10 分,18、19、20、21、22 每题 12 分)
2 17.解:对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0 或 ?

?a ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 ?? ? 0

x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 ; 4
1 1 ,∴ ? a ? 4 ; 4 4 1 ,∴ a ? 0 . (8 分) 4

如果 P 正确,且 Q 不正确,有 0 ? a ? 4 ,且 a ?

如果 Q 正确,且 P 不正确,有 a ? 0 或 a ? 4 ,且 a ? 所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0 ? ? ?
2 2

?1 ? ,4 ? . ?4 ?
2

18 解析∵PF1⊥PF2,∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,由椭圆方程知 a=5, b=3,∴c=4,
? ?|PF1| +|PF2| =4c =64, 1 1 ∴? 解得|PF1||PF2|=18.∴△PF1F2 的面积为 |PF1|?|PF2|= ?18=9. 2 2 ?|PF1|+|PF2|=2a=10, ?
2 2 2

19

(1)椭圆 C 的标准方程为

x2 +y2=1. 9

6 3 (2 线段 AB 的长为 . 5 20 解 f′’(x)=3x +2ax+b,由题意得
2

? ?f′(-1)=0, ? ?3-2a+b=0, ?a=- , ? 2 ? 即? 解得? ?f′(2)=0, ?12+4a+b=0, ? ? ?
3

?b=-6.

3 2 3 2 ∴f(x)=x - x -6x+c,f′(x)=3x -3x-6. 2 令 f′(x)<0,解得-1<x<2; 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>2. ∴f(x)的减区间为(-1,2), 增区间为(-∞,-1)和(2,+∞).

5

21 解 (1)由?
2 2

?y=ax+1, ? ?3x -y =1 ?
2 2

消去 y ,

得(3-a )x -2ax-2=0.
? ?3-a ≠0, 依题意得? 即- 6<a< 6且 a≠± 3. ?Δ >0, ?
2

2a ? ?x +x =3-a , (2)设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? -2 ?x x =3-a . ?
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即( a +1)x1x2+a(x1 +x2)+1=0. -2 2a 2 ∴(a +1)? 2+a? 2+1=0, 3-a 3-a ∴a=±1,满足(1)所求的取值范围.故 a=±1. 22 解 (1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1 的距离,且 F 不在 l1 上 ∴点 C 的轨迹是以 F 为焦点,l1 为准线的抛物线. ∴所求轨迹的方程为 x =4y. 错误!未找到引用源。 (2)由题意知,直线 l2 的方程可设为 y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去 y 得 x -4kx-4=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=4k,x1x2=-4. 2 又易得点 R 的坐标为(- ,-1).
2 2 2

k

2 2 → → ∴RP?RQ=(x1+ ,y1+1)?(x2+ ,y2+1)

k

k

2 2 =(x1+ )(x2+ )+(kx1+2)(kx2+2)

k

k

2 4 2 =(1+k )x1x2+( +2k)(x1+x2)+ 2+4

k

k

2 4 2 =-4(1+k )+4k( +2k)+ 2+4

k

k

1 1 2 2 2 =4(k + 2)+8.∵k + 2≥2,当且仅当 k =1 时取等号,

k

k

→ → → → ∴RP?RQ≥4?2+8=16,即RP?RQ的最小值为 16.

6


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