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高中数学必修3知识点总结:算法初步


高中数学知识点总结
第一章 算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念: 在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和 有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停

止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步 的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. (4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解 决.

1.1.2

程序框图

1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。 起止框

表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算法中任何需 输入、输出框 要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别 处理框 写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或 判断框 “Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。

学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入 点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断, 而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 (三) 、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个 依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完 A 框指定的操作后,才能接着执 行 B 框所指定的操作。 2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 条件 P 是否成立而选择执行 A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立,只能执行 A 框或 B 框之一,不可能同时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构, 反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类: (1) 、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次条件 P 不成立为止,此时不再执行 A 框,离开循 环结构。 (2) 、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件 P 是否成立,如果 P 仍然不成立, 则继续执行 A 框,直到某一次给定的条件 P 成立为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构。

A

B

当型循环结构

A P

直到型循环结构 注意: 1 循环结

A P
不成立
构要在某个条件 循环结构中一定包含条件结构,但不 用于记录循环次数,累加变量用于输出结

下终止循 允许 “死循环” 。

不成立

环,这就需要条件结构来判断。因此, 成立 成立 2 在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。 计数变量

果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。

1.2.1

输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句 (1)输入语句的一般格式

INPUT“提示内容” ;变量

图形计算器 格式

(2) 输入

INPUT “提示内容” ,变量

语句的作 用是实现

算法的输入信息功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量; (4)输入 语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式; (5)提示内容与变量之间用分号“; ”隔开,若输入多个 变量,变量与变量之间用逗号“, ”隔开。 2、输出语句 (1)输出语句的一般格式



PRINT“提示内容” ;表达式

图形计算器 格式

Disp “提示内容” ,变量

(2) 出语

句的作用是实现算法的输出结果功能; (3) “提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式是指程序要输出的数据; (4)输 出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 3、赋值语句 (1)赋值语句的一般格式

变量=表达式

图形计算器 格式

表达式 ?变量

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; (3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同 的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量; (4)赋值语句左边只能是变量名字, 而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式; (5)对于一个变量可以多次赋值。 注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A” 的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。 (如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学 中的等号意义不同。 1.2.2 条件语句 1、条件语句的一般格式有两种: (1)IF—THEN—ELSE 语句; (2)IF—THEN 语句。2、IF—THEN—ELSE 语句 IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图 1,对应的程序框图为图 2。

IF

条件 THEN 语句 1 满足条件? 是 语句 2 语句 1



ELSE END IF

语句 2

图1

图2

分析:在 IF—THEN—ELSE 语句中, “条件”表示判断的条件, “语句 1”表示满足条件时执行的操作内容; “语句 2”表示不满 足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合,

则执行 THEN 后面的语句 1;若条件不符合,则执行 ELSE 后面的语句 2。 3、IF—THEN 语句 IF—THEN 语句的一般格式为图 3,对应的程序框图为图 4。

IF

条件 THEN 语句 满足条件? (图 3) (图 4) 否



END IF

语句

注意: “条件”表示判断的条件; “语句”表示满足条件时执行的操作 序;END 若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。

内容,条件不满足时,结束程

IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行 THEN 后边的语句,

1.2.3 循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和 直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即 WHILE 语句和 UNTIL 语句。 1、WHILE 语句 (1)WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是

循环体 WHILE 循环体 WEND 满足条件? 否
(2)当计算机遇到 WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体;然后再 检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执 行循环体,直接跳到 WEND 语句后,接着执行 WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。 2、UNTIL 语句 (1)UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是

条件 是

DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

循环体 满足条件? 是 否

(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从 UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行

条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时, 不再执行循环体,跳到 LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别: (先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;

在 WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在 UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环

1.3.1 辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 则用除数 n 除以余数 除以余数

R R S0 和一个余数 R0 ; (2) :若 0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数;若 0 ≠0,

R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ; R R R R (3 ) : 若 1 =0, 则 1 为 m, n 的最大公约数; 若 1 ≠0, 则用除数 0
依次计算直至

R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;??

Rn =0,此时所得到的 Rn?1 即为所求的最大公约数。

2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半 之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。 翻译为: (1 ) :任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 (2 ) :以较大的数减去 较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数) 就是所求的最大公约数。 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 分析: (略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相 对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到

1.3.2 秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念: f(x)=anx +an-1x +….+a1x+a0 求值问题 f(x)=anx +an-1x +….+a1x+a0=( anx +an-1x +….+a1)x+a0 =(( anx +an-1x +….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即 v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3 n n-1

这样,把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以后读入的数与已存入数组的数进 行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位 置中. (由于算法简单,可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后比 较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后 第 2 个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3 进位制
1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数,基数为 n, 即可称 n 进位制,简称 n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可 以用不同的进位制来表示。比如:十进数 57,可以用二进制表示为 111001,也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39,它们所代表的数值都是一样的。 一般地,若 k 是一个大于一的整数,那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为:

an an?1...a1a0( k )

(0 ? an ? k ,0 ? an?1,..., a1, a0 ? k ) ,

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数


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