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高中数学联赛


第三讲 数论复习

例题精讲

【例1】 (1999 年第 3 题)对于正整数 n,已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为 1,2,3,…,n 克的所有物品. (1) 求 k 的最小值 f(n); (2) 当且仅当 n 取什么值时,上述 f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的?证明你的结论.

【例2】

(2001 年第 3 题) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分为若干个边长均为正整数的正方形, 每个正方 形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值.

【例3】

(2003 年 第 2 题 ) 设 三 角 形 的 三 边 长 分 别 是 整 数 l , m, n 且 l ? m ? n , 已 知

? 3t ? ? 3 m ? ? 3 n ? ? 4 ? ? ? 4 ? ? ? 4 ? ,其中 {x} ? x ? [ x] ,求这种三角形周长的最小值. ?10 ? ?10 ? ?10 ?

【例4】 (2008 年 B 卷第 2 题)求满足下列关系式组

? x2 ? y2 ? 2z 2 , ? ? z ? y ? z ? 50,
的正整数解组 ( x, y, z ) 的个数.

【例5】 (CMO2009 年第 2 题) 求所有的素数对 ( p, q) ,使得 pq | 5 ? 5 .
p q

【例 6】(CMO1991)求所有自然数 n,使得

1

【例 7】(CMO2000)若对正整数 n,存在 k,使得

其中

都是大于 3 的整数,则称 n 具有性质 P。求具有性质 P 的所有数 n。

【 例

2 2 8 】 (CMO2002) 设 多 项 式 序 列 {P n ( x)} 满 足 P 1 ? x ? 1, P 2 ( x) ? 2x( x ? 1), 且

2 2 2 P n ( x ) 各项系数的绝对值之和.对于任意正整数 n, n?1 ( x) P n?1 ( x) ? ( P n ( x)) ? ( x ? 1) , n ? 2,3,.. 设 s n 为 P

求非负整数 kn ,使得 2? kn sn 为奇数.

【例 9 】 (CMO2004) 证明:除了有限个正整数外,其他的正整数 n 均可表示为 2004 个正整数之和
n ? a1 ? a2 ? ? ? a2004 ,且满足: 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a2004 , ai | ai ?1 ?i ? 1,2,?,2003?

【例 10】 . a 为给定的一个整数,当 a 为何值时,方程 y3 ? 1 ? a( xy ?1) 有正整数解?有正整数解时,求这 个不定方程。

大显身手
练习 1.(第 7 届 CGMO 第 8 题)对于正整数 n,令 fn ? [2
n

2008] ?[2 n 2008] .

求证数列 f1,f 2,...中有无穷多个奇数和无穷多个偶数.

练习 2. 在世界杯足球前,F 国教练为了考察 A 准备让他们在三 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7 这七员队员, 场训练比赛中都上场(每场 90 分钟) ;假定在比赛的任何时刻,这些队员中有且仅有一人在场上,且 A1、A2、A3、A4 每人上场的总时间(以分钟为单位)均能被 7 整除, A5、A6、A7 每人上场的总时间(以 分钟为单位)均能被 13 整除;如果每场换人次数有限,那么按每名队员上场的总时间计算,共有多少种 不同的情况?

2

练习 3.(第 8 届 CWMO 第 3 题)设整数 m ? 2 , a1 , a2 ,..., am 都是正整数.证明:存在无穷多个正整数 n,使得

?a
k ?1

m

k

? k n 都是合数.

练习 4.求所有的素数对 ( p, q) ,使得 pq | 7 p ? 7q .

练习 5.(1978 年第 20 届 IMO 试题 A1)数 1978n 与 1978m 的最后三位数相等,试求出正整数 n 和 m,使得 m +n 取最小值,这里 n>m≥1.

练习 6.(第 5 届 CGMO 第 8 题)设 p 为大于 3 的质数,求证:存在若干个整数 a1 , a2 ,..., at 满足条件

?
使得乘积

p p ? a1 ? a2 ? ... ? at ? , 2 2

p ? at p ? a1 p ? a2 ? ? ???? a1 a2 at
是 3 的某个正整数次幂.

练习 7.(2007 年国家集训队第 6 次测试)考虑一个 7 ? 7 的数表 aij ? (i ? j)(i ? j ),1 ? i, j ? 7 .
2 2

我们称将任意一个由 7 个整数组成的等差数列的每一项分别依次加到某一行(或列)对应的项上为一次操 作. 问:是否可能经过有限步上述操作得到一个数表使其每一行的 7 个数都构成等差数列?

练习 8.设 n ? N * ,用 d ? n ? 表示 n 的所有正约数的个数, ? ? n ? 表示 1,2,…, n 中与 n 互质的数的个数. 求所有的非负整数 c ,使得存在正整数 n ,满足

d ? n? ? ? ? n? ? n ? c ,
并且对这样的而每一个 c ,求出所有满足上式的正整数 n .

3

练习 9.(CMO1993)设 n 是奇数,试证明存在 2 n 个整数 a1 , a2 ,?, an ; b1 , b2 ,?bn ,使得对于任意一个整数 k ,
0 ? k ? n .下列 3n 个数 a ? a , a ? b , b ? b (i ? 1, 2,?, n, 其中 a ? a , b ? b ) 被 3n 除时余数互不相同. i i ?k i i i i ?k n? j j n? j j

m n 练习 10.(CMO2003)求所有满足 a ? 2, m ? 2 的三元正整数 ? a, m, n ? ,使得 a ? 203 是 a ? 1 的倍数.

4


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