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高三数学第一轮复习单元测试《不等式》


高三数学第一轮复习单元测试《不等式》
一、选择题: 1.已知不等式 ( x ? y)( ? A.8

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( y
C.4 D.2 )



B.6

2.设偶函数 f (x)=log

a|x-b|在(-∞,0)上递增,则 f (a+1)与 f (b+2)的大小关系是( A.f(a+1)=f (b+2) B.f (a+1)>f (b+2) C.f(a+1)<f (b+2) D.不确定

3.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x 的函数关系为 y ? ?( x ? 6) 2 ? 11 ( x ? N ? ), 则每辆客车营运多少年,其运营的年平均利润最大 A.3 B.4 C.5 D.6 ( ) ( )

4.对于 x ? [0,1] 的一切值,则 a ? 2b ? 0是使ax ? b ? 0 恒成立的 A.充要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.若 a,b,c>0 且 a (a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为 A. 3 -1 B.

( D. 2 3 -2 (



3 +1

C. 2 3 +2

6. 设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立 的是 .... A. | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | C. | a ? b | ? B. a 2 ?



1 a
2

?a?

1 a

1 ?2 a?b

D. a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a )

7.若函数 f ( x) 是奇函数,且在( 0,?? ) ,内是增函数, f (?3) ? 0 ,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为( A. {x | ?3 ? x ? 0或x ? 3} C. {x | x ? ?3或x ? 3} 8.若不等式 x2+ax+1?0 对于一切 x?(0, A.0 9. 设 a, b ? R, a A. ?
2

B. {x | x ? ?3或0 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}

B. –2

1 )成立,则 a 的取值范围是 2 5 C.D.-3 2
) D.





? 2b2 ? 6
B.

,则 a ? b 的最小值是(

7 2

?3

C.

?2 2

?

5 3 3

10.不等式

1 1 ? ? ? ? 0, 对满足 a ? b ? c 恒成立,则 ? 的取值范围是( a ?b b?c c?a
B.



A. ?? ?,0? 二、填空题:

?? ?,1?

C. ?? ?,4?

D. ?4,???

11.已知三个不等式①ab>0 ②

d c > ③bc>ad 以其中两个作条件余下一个作结论,则可组 a b

个正确命题.

12.设 0 ?

a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a2 x ? 2a x ? 2), 则使 f ( x) ? 0 的 X 的取值范围是

13. 对一切正整数 n , 不等式

b n ?1 ? 恒成立,则 b 的范围是 1? b n ? 2

14. 已知 ?

4 ? ? ? ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ? ? ,求 2? ? ? 的范围 3 3
1, x ? 0, 则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ≤5 的解集是 ? ? 1, x?0,
____ .

15.已知 f ( x) ? ? ? 三、解答题:

16.已知: a.b.c.d ? ?0,1? , (1) P ? ?1 ? a ??1 ? b?, Q ? 1 ? a ? b , 试比较 P,Q 的大小; (2) M ? ?1 ? a ??1 ? b??1 ? c ?, N ? 1 ? a ? b ? c ,比较 M,N 的大小,你能得出一个一般结论吗?

17.设函数

1 f ( x) ? ? x3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1 3 (1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值。
(2)若当 x ?

? a ? 1, a ? 2? ,恒有

f '( x) ? a 试确定 a 的取值范围。

2 ? ?x ? x ? 2 ? 0 18.关于 x 的不等式组 ? 2 的整数解的集合为{-2},求实质数 k 的取值范围. ? ?2 x ? (2k ? 5) x ? 5k ? 0

19.某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 a 米,房屋 正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元,如果墙高为 3m,且不计房 屋背面的费用. (1)把房屋总造价 y 表示成 x 的函数,并写出该函数的定义域. (2)当侧面的长度为多少时,总造价最底?最低总造价是多少?

20.设 s ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1?, 求证:

1 1 n?n ? 1? ? s ? n?n ? 2? 2 2

21.已知函数

? x f ( x) ? 4sin x sin 2 ( ? ) ? cos 2 x 4 2 ? ? 2? ? (1)设 w ? 0 为常数,若 y ? f ( wx) 在区间 ? ? , 上是增函数,求 w 的取值范围。 ? 2 3? ? ? ? 2? ? (2)设集合 A ? ? x ? x ? ? ; B ? x f ( x) ? m ? 2 ,若 A ? B ,求实数 m 的取值范围。 3? ? 6

?

?

参考答案(5)
2 2 ? a ?b ? a ?b 1.B.命题 p : a ? b 是命题 q : ? 等号成立的条件,故选 B. ? ? 2 ? 2 ? 2

2.C.恒成立的意义化为不等式求最值,

? y ax ? 1 a? ? ?x ? y ?? ? ? ? ? ? 1? a ? ? ? ? ? ? ? 1? a ? 2 ?x y? ?x y?

a ? 9 ,验证,2 不满足,4 满足,选 C.

3. (文)B.命题 p 假,取 a=-1,b=1 可得;命题 q 真,由 x ? 1 ? 2 ? 0 得 (理)B.由偶函数得 b ? 0 ,由函数递增性得 0 ? a ? 1 又 a ? 1 ? b ? 2 ? 2 f ( x)在?0,???上递减得. 4. (文)C. ①正确,②错误,③错误,④正确. (理)C.

y 25 25 25 ? ?( x ? ) ? 12 ? ?2 x ? ? 12当且x ? 时 x x x x

5. (文)B.取 x=2 时 x ? 1 ? 1 不成立,充分性不正确,由 x ? 1 ? 1 可推得 x ? 2 ,必要性正确 (理)C. 取 a ? ?2, b ?

3 3 3 时 ax ? b ? ?2 x ? 取 x ? 1 时 ? 2 x ? ? 0 充分性不成立,必要性成立由一次函数思想 2 2 2

? f (1) ? 0 ?a ? b ? 0 ?? ? a ? 2b ? 0 ? ?F (0) ? 0 ? a ? 0
6.D.因为 b2 ? c 2 ? 2bc ,故 (2a ? b ? c)2 ? 4a2 ? b2 ? c2 +4ab+4ac+2bc ? 4 a 2 +4ab+4ac+4bc

= 4[a(a+b+c)+bc]=4[4-2 3 ],又 a,b,c>0,故上式两边开方得,2a+b+c ? 2 4 ? 2 3 =2 ( 3 ? 1)2 =2 3 -2,故选 D. 7.C.因为 | a ? b |? ? a ? c ? ? ? b ? c ? ?| a ? c | ? | b ? c | ,所以(A)恒成立; 在 B 两侧同时乘以 a 2 , 得

a 4 ? 1 ? a3 ? a ? ? a 4 ? a3 ? ? ?1 ? a ? ? 0 ? a3 ? a ? 1? ? ? a ? 1? ? 0 ? ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0 所以 B 恒成立;
2

在 C 中,当 a>b 时,恒成立,a<b 时,不成立; 在 D 中,分子有理化得

2 2 恒成立,故选 C. ? a ? 3 ? a ?1 a?2? a

8. (文)A. 由条件 1 ? x ? 9 取绝对值得 8. (理)C. x =

1 c ?1 ? c

,y=

1 c ? c ?1

,∴x<y.

9. (文)D.由题意作 y ? f ( x) 的图象由图象易得 ? 3 ? x ? 0或0 ? x ? 3 (理)D.由题意作 y ? f ( x) 的图象由图象易得 0 ? x ? 2 10.C.设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x= - ?0?- 若-

a a 1 1 1 ,若 - ? ,即 a?-1 时,则 f(x)在〔0, 〕上是减函数,应有 f( ) 2 2 2 2 2

5 ?x?-1 2

a 1 ?0,即 a?0 时,则 f(x)在〔0, 〕上是增函数,应有 f(0)=1?0 恒成立,故 a?0 2 2 a 1 a 5 a2 a2 a2 1- ? 0 恒成立,故-1?a?0. 综上,有- ?a,故选 ? ,即-1?a?0,则应有 f( - )= - +1= 2 2 2 2 4 2 4

若 0? - C .

11.D.设每次进 x 件费用为 y 由 y ?

10000? 100 x 1000000 1000000 ? x ? x ? 1000 时 y 最小 ? ?2 ? 2 ?x x x 2 x

12.D.变形 ? ? (a ? c)(

1 1 1 ? ? 1 ? ) ? ??a ? b ? ? ?b ? c ??? ? ?则? ? 4 . a ?b b?c ?a ?b b?c?

13. (文)

a a?m ? .提示:由盐的浓度变大得. b b?m

(理)3 个,由不等式性质得:

ab ? 0? ? c d ? ? bc ? ad ? a b? ?

c d ? ab ? 0 ? ? c d ? , a b ? ? ab ? 0 ?? ? bc ? ad ? a b bc ? ad ? ?

14.a+(b*c)=(a+b)*(a+c),(a*b)+c=(a*c)+(b*c), a*(b+c)=(a+b)*c=(b+c)*a=(a+c)*b(a*b)+c=(b*a)+c 等. 填出任何一个都行. 答案 不唯一. 提示:∵a+(b*c)=a+

b ? c 2a ? b ? c ( a ? b) ? ( a ? c ) = = = (a+b )*( a+c),其余类似可得 2 2 2

15. 2 ? x ? 3 .由于 f(x)有最大值,故 0 ? a ? 1 ,所以原不等式转化为 0 ? x 2 -5x+7<1, 5 3 又因为 x2 ? 5x ? 7 ? ( x ? )2 ? ? 0 恒成立,故只需 1 ? x2 ? 5x ? 7 成立即可, 2 4 解之得, 2 ? x ? 3 .

16. (?? , ] .分类⑴ x ? ?2 原式成立 ⑵ x ? ?2 化为 2 x ? 2 ? 5, x ? 17. (文) (1) 2 ? 1 ? 2 ? 3 ,(2) 2 ? 3 ? 6 ? 5 (3)一般结论:若 n ? N 则 n ? 1 ? n ?
?

3 2

3 3 3 , 解为 ? 2 ? x ? 综上得 (?? , ] 2 2 2

n ? 3 ? n ? 2 成立

证明 欲证 n ? 1 ? n ? n ? 3 ? n ? 2 成立 只需证

1 n ?1 ? n

?

1 n?3 ? n?2

也就是 n ? 1 ? n ?

n?3 ? n?2

( ? )? n ? N

?

? n ? 1 ? n ? 3, n ? n ? 2从而(?)成立
故 n ?1 ? n ? n ? 3 ? n ? 2 (理)解先考查两个变量的情形 (1-a)(1-b)=1-a-b+ab≥1-a-b 当且仅当 a、b 中至少有 1 个为零时,等号成立 ∴ (1-a)(1-b)(1-c) ≥ (1-a-b)(1-c)=1-a-b-c+c(a+b) ≥ 1-a-b-c 当且仅当 a 、 b 、 c 中至少有 2 个为零时 , 等号成立 于是 (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)≥1-a-b-c-d, 否则 M>N . 18.解由 当且仅当 a、 b 、 c、 d 中至少有 3 个为零时,等号成立 ∴a、 b、 c、 d 至少有 3 个为 0 时,M=N,

(n ? N ? )

2x ? 1 1 ? 0, 得 ? 2 ? x ? ? ? ?2 ? p ? ? 1 x?2 2 2
2 2

方程 z ? 2z ? 5 ? p ? 0 的判别式 ? ? 4 p ? 4
2

?

?

1 ? 1 ? p 2 ? 4, ? ? 0 ∴方程 2 z ? 2z ? 5 ? p 2 ? 0 无实根 4 2 19. (文)解:不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集为 x ? 2或x ? ?1 ? ?2 ? p ? ?

不等式 2 x ? (2k ? 5) x ? 5k ? 0 可化为 ( x ? k )(2 x ? 5) ? 0
2

由题意可得 2 x 2 ? (2k ? 5) x ? 5k ? 0的解集为 ?

5 ? x ? ?k . 2

? 不等式组的整数解的集合为{-2} ? ?2 ? ?k ? 3.即 ? 3 ? k ? 2 .
x (理) (1)? f ( ) ? f ( x) ? f ( y) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0即f (1) ? 0 y
1 (2)? f (6) ? 1? 2 ? 2 f (6) ? f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 f (6) ? f ( x 2 ? 3x) ? 2 f (6) x

f ( x2 ? 3x) ? f (6) ? f (6)



f(

x 2 ? 3x ) ? f (6) 6

? f ( x)是定义在(0,??)

? ? ?x ? 3? ? 0 ? 上 的 增 函 数 ?? x?0 2 ? x ? 3x ?6 ? ? 6

?3? x ?

3 ? 3 17 . 2
2 16 ? 400 ) ? 5800 ? 900 ( x ? ) ? 5800 (0 ? x ? a) x x

20. (1)由题意可得, y ? 3(2 x ? 150 ? (2) y ? 900( x ? 当且仅当 x ?

16 16 ) ? 5800? 900? 2 x ? ? 5800=13000 x x
16 即 x ? 4 时取等号。 x

若 a ? 4 , x ? 4 时,有最小值 13000。 若 a ? 4 任取 x1 , x2 ? (0, a)且x1 ? x2

y1 ? y 2 ? 900( x1 ?

16 16 ) ? 5800? 900( x2 ? ) ? 5800 x1 x2

? ?1 1 ?? ? ? 900?? x1 ? x 2 ? ? 16? ? ?x ?? ? 1 x 2 ?? ?

?

900?x1 ? x2 ??x1 x2 ? 16? x1 x2

? x1 ? x2 ? a,? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? a 2 ? 16
16 ? ? ? y1 ? y2 ? 0 ? y ? 900? x ? ? ? 5800在 ?0, a ? 上是减函数 x? ?
?当x ? a时, y有最小值 900 (a ? 16 ) ? 5800 . a

21. (文) s ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? n ? n ? 1 ? 2 ? 3 ? ?n

1 n?n ? 1? 2 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1) S? ? ? ??? 2 2 2 2 1 1 ? (3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1)) ? n(n ? 2) . 2 2 1 1 ? n(n ? 1) ? s ? n(n ? 2) 。 2 2 ?
(理) (1)A ? 1 ?

1 2 ?1

?

1 3? 2

??

1 n ? n ?1

=1 ? (2) A ?

?

2 ?1 ?

? ? 3 ? 2 ?? ??

n ? n ?1 ? n
2 2 ?1 ? 2 3? 2 ?? 2 n ? n ?1

?

2 2 2 2 2 ? ? ? ? ??? 1? 0 2 2 2 2 3 2 n

? 21?

? ?

2 ?1 ?

? ? 3 ? 2 ?? ?? ?

n ? n ?1 ? 2 n

??

A?
?

2 2 2 2 ? ? ??? 2 2 2 2 3 2 n
2 2 ?1 ? 2 3? 2 ? 2 4? 3 ??? 2 n ?1 ? n

?2

?? 2 ?1?? ? 3 ? 2 ?? ?

4 ? 3 ??

? ?

n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? 2 .

??

∴ 2 n ?1 ? 2 ? A ? 2 n

? 1 ? cos( ? x) 2 ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 20.(1) f ( x) ? 4sin x ? 2 ? f (? x) ? 2sin ? x ? 1 在上是增函数。

2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? , ? ? ? ? , ? ,即 ? ,? ? ? ? 0, ? 3 2? ? 2 3 ? ? 2? 2? ? ? 4? (2)由 f ( x) ? m ? 2 得: ?2 ? f ( x) ? m ? 2 ,即 f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 ? 2 ? A ? B,? 当 ? X ? ? 时, f ( x) ? 2 ? x ? f ( x) ? 2 恒成立。 6 3 ?? f ( x) ? 2?max ? m ? ? f ( x) ? 2?min

? ? ? ? 2? ? , ? 时, f ( x)max ? f ( ) ? 3; f ( x) min ? f ( ) ? 2 ? m ? ( 1, 4 ) 2 6 ?6 3 ? 2 2 21.(1) f '( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? a或x ? 3a
又 x?? 由表 X F’(x) F(x) 可知 (-∞,a) ↘ a 0 -4/3a3+b (a,3a) + ↗ 3a 0 b (3a,+∞) ↘

f ( x) 的单调增区间为 (a ? 3a) ,减区间为 (??, a) 4 3 (3a, ??); x ? a 时, f ( x) 极小值= ? a ? b ; x ? 3a 时, f ( x) 极小值= b 3 2 2 (2)由 f '( x) ? a 得 ? a ? ? x ? 4ax ? 3a ? a , 而 0 ? a ? 1,? a ? 1 ? 2a, f '( x)max ? f '(a ? 1) ? 2a ? 1,

f '( x)min ? f '(a ? 2) ? 4a ? 4 2a ? 1 ? a 4 故 解得 ? a ? 1, 又 0 ? a ? 1 5 4a ? 4 ? ? a

所以 a 的取值范围是 ?

?4 ? ,1? ?5 ?


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