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等比数列前n项和(公开课)

时间:2014-05-26


等比数列的前n项和 (第一课时)

四川省万源中学:李东波

1.引入典故,提出问题


(西

萨)

?

(国

王)

问题: 如何表示西萨要的麦粒数?

1+ 2 + 2 + ??? + 2 + 2 =
2 62 63

?

2.合作探究,解决问题
探讨: 发明者要求的麦粒总数是:

S64 ? 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2
2 62
2 63

63



请问 :1, 2, 2 ,, ... 2 构成什么数列?

1 ? 2 ? 22 ? ...... ? 262 ? 263 应归结为什么数学问题呢?

S64=1+2+22+· · · + 262 +263



探讨1: 观察相邻两项的特征,有何联系? 探讨2:
如果我们把每一项都乘以2,

就变成了与它相邻的 后一项
①式两边同乘以2则有 2S64=2+22+23+· · · +263+264 ②

比较①、②两式,你有什么发现?

错位相减法
S64 ? 1 ? 2 ? 2 ?
2

?2 ?2
62

63


64

2S64 ?2 ? 2 ? 2 ?
2 3

?2 ?2
63



S64 ? 2 ?1
64

反思: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以2 ?

乘以3? 2 ? 2 ? 会达到一样的效果吗?
2

3

3.类比推理,形成体系
一般地,等比数列a1,a2 ,a3 ,an , ,它的前n项和是

sn ? a1 ? a2 ? a3 ????? an?1 ? an

sn ? a1 ? a1q ? a1q ????? a1q
2

n ?2

? a1q

n?1

① ②

qsn ?

a1q ? a1q ? a1q ???? ? a1q
2 3

n?1

? a1q

n

( 1 ? q)Sn ? a1 ? a1q ①- ②得:

n

错位相减法
sn ? a1 ? a1q ? a1q ????? a1q
2 n ?2

? a1q

n?1



sn a1 n ?3 n?2 ? ? a1 ? a1q ? ? ? a1q ? a1q ② q q
1 a1 n ?1 ( ? 1) S n ? ? a1q ②-①得: q q

1 ? q)Sn ? a1 ? a1q 即 (

n

( 1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n
q ? 1时,Sn ? a1 ? a1 ? a1 ? ? a1 ? a1 ? na1

a1 ? a1q q ? 1时,Sn ? 1? q

n

a1 ? an q Sn ? 1? q 把Sn用a1 , q, an表示

an ? a1q n?1

公式一

公式二

4.公式辨析,加深理解
三个易错点:
()等比数列求和时,应考虑 1 q ? 1与q ? 1两种情况;

(2)公式中n指项数,应首尾结合找准项数;

( 3)Sn和an中q的指数不一样,前者是 n,后者是 n ?1

5.公式应用,巩固新知
例1.判断是非 5n
n

5(1 ? 1 ) 5 ? 5 ? 5 ??? 5 ? ?0 1 ?1
1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ??? (?2)
2 3 n
n个

n?1

?

1 ? (1 ? 2 2 ) 1 ? (?2)
n n n+1

n

n (? 2)

1? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2 ?
20:04:10

1? (1 ? 2 ) 1? 2

6.变式训练,加深认识
63 1 1 1 1 1、 等比数列 , , , , ???前多少项的和是 ? 2 4 8 16 64

1 1 1 1 例2.求等比数列 , , , , ?前8项和. 2 4 8 16

2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ???, 求第5项到第10项的和. 2 4 8 16
3、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ???求前2n项中所有偶数项的和. 2 4 8 16
a1、q、n、an、Sn中
20:04:10

知三求二

例3.求和: a ? a ? a ?? ? a
2 3 n ?1

?a

n

解: a ? 0时,S n ? 0 a ? 1时,S n ? n
a(1 ? a ) a ? 0且a ? 1时,S n ? 1? a
n

分类讨论的思想

7.故事结束,首尾呼应
1? (1 ? 2 ) S 64 ? 1? 2
64

? 2 ?1
64

? 1844674407 3709551615 ? 1.84?10
19

1000粒麦子的质量约为40g 麦粒的总质量超过了7000亿吨

据查,到目前为止,世界小麦年产 量最高的一年2011年有7亿吨,按每 年7亿吨计算都要用1000多年才能满 足西萨的要求;如果按人均每天吃 1000 克粮食计算,此棋盘上的粮食可 ______ 供全世界_____ 70 亿人吃上_____ 274 年.
所以国王兑现不了他的承诺。

8.总结归纳,提炼深化
我们学到了什么?
1.等比数列的前n项和公式; 2.公式的推导方法:错位相减法;
3.公式的简单应用 知三求二; 4.渗透数学思想:特殊到一般、类比、化归、 分类讨论、整体变换和方程等思想方法。

9.课后作业,分层练习
必做: P61A组第1题

思考题:求和

a ? 2a ? 3a ? ? ? na
2 3

n

你还能用其他方法推导等比数列前 n项和公式吗?

敬请指导


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