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山东省济宁市金乡一中2012-2013学年高二2月月考 数学文


金乡一中 2012—2013 学年高二 2 月月考 数学(文)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求,请将所选答案填在答题卷中对应位置.) ... 1.直线 3x ? 4 y ? 13 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的位置关系是: A. 相离

2

(

) ( )

B.相交
2

C.相切

D.无法判定

2.与圆 C:x ? y ? 2x ? 35 ? 0 同圆心,且面积为圆 C 面积的一半的圆的方程为 A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9
?x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 0 ?

B. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 6 D. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 18

3. 若实数 x, y 满足

,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是(
1

)

A. 0

B.

2

C.

2

D. 3

3 x2 y 2 e? ? ? 1 (m ? 0, n ? 0) 5 ,则椭圆的方程是( m n 4.已知椭圆 的长轴长为 10,离心率
x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 A. 25 16 或 16 25 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 C. 25 9 或 9 25 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 B. 16 9 或 9 16
x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 D. 100 25 或 25 100

)

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m

)

B. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D. 若 l //? , m //? ,则 l //m

2 6. 点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ?1的距离之和的

最小值是( A. 5

) B. 3 C. 2 D.2 )

2 2 7. 已知直线 y ? kx ? 2 和椭圆 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点,则 k 的取值范围(

6 6 k?? k? 3 或 3 A.

6 6 ? ?k? 3 B. 3
-1-

6 6 6 6 k?? k? ? ?k? 3 或 3 D. 3 3 C.

8.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面, 则 a 的取值范围是( A. (1, 2) ) B. (1, 3) C. (0, 3) ( C. x ? 2 ) D. x ? 1 D. (0, 2)

9.不等式 x ? 1 ? 0 成立的充分不必要条件是 A. ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 B. 0 ? x ? 1

10. 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , AB ? AC , AB ? AC ?

1 AA1 , D, M 分 别 是 是 2
A1 C1

AA1 , BC 的 中 点 , 则 DM 与 侧 面 B1BCC1 所 成 的 角 正 弦 值 为
( A. )
B1

2 2 3 C. 2
① a // ? , a ? b ? b // ? ; ③ a ? ?, a ? b ? b ? ? ; 其中正确命题的序号是 A.①② B.②④

6 3 3 D. 3
B.
B

D

A M

C

11.设 ? 表示平面, a, b 表示直线,给出下列四个命题: ② a // b, a ? ? ? b ? ? ; ④ a ? ? , b ? ? ? a // b 。 D.①③ ( ) C.③④

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 2 2 12. 过双曲线 a b 的右焦点 F 作圆 x ? y ? a 的切线 FM (切点为 M ), 交

y 轴于点 P ,若 M 为线段 FP 的中点, 则双曲线的离心率是(



A.

5

B. 2

C.

3

D.

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)
2 2 ( ,? ) 13.过圆 x ? y ? 1上点 2 2 的切线方程为

1

3



? x ? 2 ? t, ? x ? 3cos ? ? ? ? y ? ?1 ? t ( t 为参数)与曲线 ? y ? 3sin ? ( ? 为参数)的交点个数为 14. 直线
15. 如图,过抛物线 准线于点 C,若
y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?
??? ?

.

的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,交其 .

???? AF ? 3

,且 CB ? 2 BF ,则此抛物线的方程为

??? ?

16.在平面直角坐标系中,设点 P( x, y ) ,定义坐标原点 O 与点 P( x, y ) 之间的“出租 车距离”为
[OP] ? x ? y

,对于下列结论:①符合 [OP] ? 1 的点 P 的轨迹围成的图形

面积为 2;②设 P 为直线 5x ? 2 y ? 2 ? 0 上任意一点,则 [OP] 的最小值为 1;③设点 P 为直线
y ? kx ? b(k , b ? R)

上的任意一点, 则“使得 [OP] 取最小值的点 P 有无数个”的必要不充分条件
-2-

是“ k ? ? 1 ”. 其中正确的结论有 . (填上你认为正确的所有结论的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
2 已 知 命 题 p : 对 任 意 实 数 x 都 有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒 成 立 ” , 命 题 q : “ 方 程 “

a (a ? 1) x 2 ? (3 ? a) y 2 ?( 3? a ) (?

?) 1

0 表示焦点在 x 轴上的椭圆”.

(1)若命题 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若命题 p , q 中有且只有一个真命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)
2 2 2 已知圆 C 过点 P (1,1) ,且与圆 M : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称.

(1)求圆 C 的方程; (2) 过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为 坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩形, AB ? PA ? tBC (t ? 0) . (1)当 t ? 1时,求证: BD ? PC ; (2)若 BC 边上有且只有一个点 Q ,使得 PQ ? QD ,求此时二面角 A ? PD ? Q 的余弦值.

P

A

D

B Q

C

-3-

20. (本小题满分 12 分)
2 已知点 A 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点,点 F 为抛物线的焦点,准线 l 与 x 轴交于点 K ,已



AK ? 2 AF

,三角形 AFK 的面积等于 8.

(1)求 p 的值; (2)过该抛物线的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,与抛物线相交得两条弦,设两条弦 的中点分别为 G , H ,求
GH

的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 P 中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. 求证:(1) PA//平面 EDB; (2) PB⊥平面 EFD. D C F E

A 第 21 题图

B

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4, 圆 C2 : x2 ? y 2 ? 25. 点 O 为坐标原点,点 M 是圆 C2 上的一动点,线 段 OM 交圆 C1 于 N , 过点 M 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M 0 ,过点 N 作 M 0 M 的垂线交 M 0 M 于

P.
(1)当动点 M 在圆 C2 上运动时,求点 P 的轨迹 C 的方程. (2)设直线 l : y ?

x ? m 与轨迹 C 交于不同的两点,求实数 m 的取值范围. 5

y M

5 (3)当 m ? 时,直线 l 与轨迹 C 相交于 A, B 两点, 5 求 ?OAB 的面积.
N O

P M0 x

参考答案:
-4-

1-5 CDDAB 6-10 CADCD 11-12 BD 13. x ? 3 y ? 2 ? 0 (注意系数可变); 14.2;
2 15. y ? 3x ;

16.①③.

2 17 . 解 :( 1 ) 命 题 p 是 真 命 题 , 对 任 意 实 数 x 都 有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒 成 立

?a ? 0 ? a ? 0或? ?? ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;

(2)命题 q 为真,则

?3 ? a ? 0 ? ?1? a ? 2 ?a ? 1 ? 0 ?3 ? a ? a ? 1 ?

,命题 p , q 中有且只有一个真命题,求实数 a 的

取值范围为 0 ? a ? 1 或 2 ? a ? 4 .
?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ? ? ?a ? 0 b?2 ? ? ?1 b?0 a?2 ? 18.解: (1)设圆心 C (a, b) ,则 ? ,解得 ?
2 2 2 2 2 2 则圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为 x ? y ? 2

(2)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,
? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 x ? y2 ? 2 ,由 ? ,得 (1 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 ,

PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1)

因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得
xB ?

xA ?

k 2 ? 2k ? 1 1? k 2 ,

同理,

y ? y A ? k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) 2k ? k ( xB ? x A ) k 2 ? 2k ? 1 k AB ? B ? ? ?1 2 xB ? x A xB ? x A xB ? x A 1? k ,所以 = kOP

所以,直线 AB 和 OP 一定平行. 19.解: (1)当 t ? 1时,底面 ABCD 为正方形,? BD ? AC 又因为 BD ? AP , BD ? PAC 又 PC ? 面PAC BD ? PC .
6 6 . 的余弦值为

(2)二面角

A ? PD ? Q

20.解: (1)设

A? x0 , y0 ?

,因为抛物线的焦点

p ? p ? ?p ? F ? ,0 ? , 准线l的方程为:x ? ? , K ? ? ,0 ? , 作AM ? l于M 2 ? 2 ? ?2 ? ,


-5-

AM ? x0 ?

p ? AF , 2

又 AK ? 2 AF 得 AK ? 2 AM ,即?AKM 为等腰直角三角形



p p p? ? ? KM ? AM ? x0 ? ,? y0 ? x0 ? ,即A ? x0 , x0 ? ? 2 2 2 ? ,而点 A 在抛物线上, ?

p? p ? ?p ? ?? x0 ? ? ? 2 px0 ,? x0 ? ,于是A ? , p ? . 2? 2 ? ?2 ?
? S?AFK 1 1 p2 ? KF ? y0 ? ? p ? p ? ? 8,? p ? 4. 2 2 2
2

2



(2)由 y ? 8x ,得 F (2,0) ,显然直线 l1 , l 2 的斜率都存在且都不为 0.

设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,则 l 2 的方程为

1 y ? ? ( x ? 2) k .

? y 2 ? 8 x, 4 4 ? G (2 ? 2 , ) 2 y ? k ( x ? 2), 得 k k ,同理可得 H (2 ? 4k , ?4k ) 由 ?
GH ? (
2



4 4 ? 4k ) 2 ? ( ? 4k ) 2 2 k k

16( k 4 ?
=

1 1 1 ? k2 ? 2 ) k2 ? 2 4 k k ? 64 . k 时取等号) (当且仅当

所以 | GH | 的最小值是 8. 21. 证明: (1)连结 AC,AC 交 BD 于 O.连结 EO. ∵ 底面 ABCD 是正方形,∴ 点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线,∴ PA//EO. 而 EO ? 平面 EDB,且 PA ? 平面 EDB, 所以,PA//平面 EDB. D O 第 21 题图 B C F E P

(2)∵ PD⊥底面 ABCD,且 DC ? 底面 ABCD, ∴ PD⊥DC.

A

∵ 底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴ BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC⊥DE. 又∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴ DE⊥PC. ∴ DE⊥平面 PBC.

-6-

而 PB ? 平面 PBC,∴ DE⊥PB. 又 EF⊥PB,且 DE ? EF ? E , 所以 PB⊥平面 EFD. 22.解(1)设点 P( x, y) .则 M ( x, yM ), N ( xN , y) .从而 OM ? ( x, yM ), ON ? ( xN , y) 因为 OM ?

???? ?

????

5 ???? 5 5 5 5 ON ,所以 ( x, yM ) ? ( xN , y ) .即 x ? xN , yM ? y. 所以 M ( x, y ) . 2 2 2 2 2 2 2 5 2 x y 2 点 M 在圆 C2 上,所以 x ? ( y ) ? 25 .整理得点 P 的轨迹 C 的方程: ? ? 1. 2 25 4 ? x2 y2 ? 25 ? 4 ? 1. ? 2 2 (2)联立 ? 消 y 得到 x ? 2mx ? 5m ? 20 ? 0 . ?y ? x ? m ? 5 ? x 因为直线 l : y ? ? m 与轨迹 C 交于不同的两点,所以 ? ? (2m)2 ? 4(5m2 ? 20) ? 0, 5 2 即 m ? 5. 所以实数 m 的取值范围为 (? 5, 5).
(3)(方法 1)直线 l : y ?

???? ?

x 5 ? . 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 5 5

? x2 y 2 ? ? 1. ? 2 5 2 5 ? 25 4 2 联立 ? 消 x 得到 x ? x ? 19 ? 0 .则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ?19. 5 5 x 5 ?y ? ? ? 5 5 ?

x1 x 5 5 2 ? )?( 2 ? )] 5 5 5 5 26 26 26 8 6 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? . 5 5 5 5 0 ? 5? 0 ? 5 5 ? . 直线 l : x ? 5 y ? 5 ? 0. 设 O 到直线 AB 的距离为 d , 则 d ? 26 1 ? 52 1 1 26 8 6 5 4 6 S?OAB ? AB d ? ? ? ? ? . 2 2 5 5 5 26 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? [(
x 5 ? . 设直线 l 与 x 轴交于点 Q ,则 Q(? 5,0), OQ ? 5. . 5 5 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
(方法 2)直线 l : y ? 则 S?OAB ? S?OQA ? S?OQB ?

1 1 OQ y1 ? OQ y2 . 2 2 1 1 5 ? OQ ( y1 ? y2 ) ? OQ y1 ? y2 ? y1 ? y2 2 2 2

-7-

? x2 y 2 ? ? 1. ? 8 5 16 ? 25 4 联立 ? 消 x 得到 25 y 2 ? 8 5 y ?16 ? 0 .则 y1 ? y2 ? ? , y1 y2 ? ? . 25 25 ?y ? x ? 5 ? 5 5 ? 8 30 y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? . 25
所以 S?OAB ?

5 5 8 30 4 6 y1 ? y2 ? ? ? . 2 2 25 5

-8-


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