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14.第14课时 二次函数的图象及性质 (练习册)

时间:


第三章
第 14 课时
基础过关

函数

二次函数的图象及性质

(建议答题时间:100 分钟)

1 1. (2016 玉林)抛物线 y=2x2,y=x2,y=-x2 的共同性质是: ①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都是 y 轴为对称轴;④都关于 x 轴 对称.其中正确的个数有( A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个 D. 4 个

2. (2016 衢州)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x, y)对应值列表 如下:

x y

? ?

-3 -3 )

-2 -2

-1 -3

0 -6

1 -11

? ?

则该函数图象的对称轴是( A. 直线 x=-3 C. 直线 x=-1

B. 直线 x=-2 D. 直线 x=0

3. (2015 毕节)一次函数 y=ax+c(a≠0)与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平 面直角坐标系中的图象可能是( )

4. (2016 荆门)若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3,则关于 x 的方程 x2+mx= 7 的解为( ) B. x1=1,x2=7 D. x1=-1,x2=7

A. x1=0,x2=6 C. x1=1,x2=-7

5. (2016 山西)将抛物线 y=x2-4x-4 向左平移 3 个单位,再向上平移 5 个单位, 得到抛物线的函数表达式为( A.y=(x+1)2-13 ) B.y=(x-5)2-3

C.y=(x-5)2-13

D.y=(x+1)2-3

6. (2016 滨州)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度,然 后绕原点旋转 180° 得到抛物线 y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是( 5 11 A. y=-(x-2)2- 4 5 1 C. y=-(x-2)2-4 5 11 B. y=-(x+2)2- 4 5 1 D. y=-(x+2)2+4 )

2 7. (2016 南宁)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数 y=3x 的图象如图所示, 2 则方程 ax2+(b-3)x+c=0(a≠0)的两根之和( A. 大于 0 B. 等于 0 C. 小于 0 ) D. 不能确定

第 7 题图

第 8 题图

8. (2016 沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数 y=x2+2x-3 的图象如图所示,点 A(x1,y1),B(x2,y2)是该二次函数图象上的两点,其中-3≤x1<x2≤0,则下列结 论正确的是( A. y1<y2 C. y 的最小值是-3 ) B. y1>y2 D. y 的最小值是-4

9. (2016 义乌)抛物线 y=x2+bx+c(其中 b、c 是常数)过点 A(2,6),且抛物线的 对称轴与线段 y=0(1≤x≤3)有交点,则 c 的值不可能是( A. 4 B. 6 C. 8 )

D. 10

10. (2016 龙岩)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则|a-b+c|+|2a+b| =( A. a+b ) B. a-2b C. a-b D. 3a

第 10 题图

11. (2016 泸州)已知二次函数 y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限, 且过 点(-1,0),当 a-b 为整数时,ab 的值为( 3 A. 4或 1 1 B. 4或 1 3 1 C. 4或2 ) 1 3 D. 4或4

12. (2016 舟山)二次函数 y=-(x-1)2+5,当 m≤x≤n 且 mn<0 时,y 的最小值 为 2m,最大值为 2n,则 m+n 的值为( 5 A. 2 B. 2 3 C. 2 ) 1 D. 2

13. (2016 资阳)已知二次函数 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点,且图象过 A(x1, m)、B(x1+n,m)两点,则 m、n 的关系为( 1 A. m=2n 1 B. m=4n 1 C. m=2n2 ) 1 D. m=4n2

14. (2016 兰州)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,对称轴是直线 x=-1. 有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论 的个数是( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4

第 14 题图 15. (2016 陕西)已知抛物线 y=-x2-2x+3 与 x 轴交于 A、 B 两点, 将这条抛物线 的顶点记为 C,连接 AC、BC,则 tan∠CAB 的值为( 1 A. 2 5 B. 5 C. 2 5 5 D. 2 )

16. (2016 大连)如图,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A、B(m+2,0),与 y 轴相交于点 C,点 D 在该抛物线上,坐标为(m,c),则点 A 的坐标是________.

第 16 题图

17. (2016 徐州模拟)将抛物线 y=(x+1)(x-2015)+4 向下平移______个单位,所 得抛物线与 x 轴的两个交点距离为 2016. 18. (2016 河南)已知 A(0,3),B(2,3)是抛物线 y=-x2+bx+c 上两点,该抛物线 的顶点坐标是________. 19. (2016 厦门)已知点 P(m, n)在抛物线 y=ax2-x-a 上, 当 m≥-1 时, 总有 n≤1 成立,则 a 的取值范围是________. 1 20. (2016 苏州二模)已知 M、N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 y=2x上,点 N 在直线 y=-x+3 上,设点 M 坐标为(a,b),则 y=-abx2+(a-b)x 的顶点坐 标为________. 21. (2016 南京校级二模)已知二次函数 y=ax2+bx+c 与自变量 x 的部分对应值如 表:

x y 现给出下列说法: ①该函数图象开口向下;

? ?

-1 -3

0 1

1 3

3 1

? ?

②该函数图象的对称轴为过点(1,0)且平行于 y 轴的直线; ③当 x=2 时,y=3; ④方程 ax2+bx+c=-2 的正根在 3 与 4 之间. 其中正确的说法为________.(只需写出序号) 22. (2016 淄博)如图,抛物线 y=ax2+2ax+1 与 x 轴仅有一个公共点 A,经过点 A 的直线交该抛物线于点 B,交 y 轴于点 C,且点 C 是线段 AB 的中点. (1)求这条抛物线对应的函数解析式; (2)求直线 AB 对应的函数解析式.

第 22 题图

23. (2016 天津)已知抛物线 C:y=x2-2x+1 的顶点为 P,与 y 轴的交点为 Q,点 1 F(1,2). (1)求点 P、Q 的坐标; (2)将抛物线 C 向上平移得抛物线 ①求抛物线 C′的解析式; ②若点 P 关于直线 Q′F 的对称点为 K,射线 FK 与抛物线 C′相交于点 A,求点 A 的坐标. C′, 点 Q 平移后的对应点为 Q′, 且 FQ′=OQ′.

满分冲关
1. (2016 宁波)已知二次函数 y=ax2-2ax-1(a 是常数,a≠0),下列结论正确的是 ( )

A. 当 a=1 时,函数图象过点(-1,1) B. 当 a=-2 时,函数图象与 x 轴没有交点 C. 若 a>0,则当 x≥1 时,y 随 x 的增大而减小 D. 若 a<0,则当 x≤1 时,y 随 x 的增大而增大 2. (2016 黄石)以 x 为自变量的二次函数 y=x2-2(b-2)x+b2-1 的图象不经过第 三象限,则实数 b 的取值范围是( 5 A. b≥4 B. b≥1 或 b≤-1 ) C. b≥2 D. 1≤b≤2

3. (2016 株洲)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过 A(-1,2), B(2,5),顶点坐标为(m,n),则下列说法中错误的是( A. c<3 1 B. m≤2 C. n≤2 D. b<1 )

第 3 题图

4. (2016 天津)已知二次函数 y=(x-h)2+1(h 为常数), 在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下,与其对应的函数值 y 的最小值为 5,则 h 的值为( A.1 或-5 B.-1 或 5 C.1 或-3 )

D.1 或 3

5. (2016 达州)如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于点 A(- 1,0),与 y 轴的交点 B 在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线 x=1. 下列结论: ①abc>0 ②4a+2b+c>0 ③4ac-b2<8a ) C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 1 2 ④3<a<3 ⑤b>c

其中含所有正确结论的选项是( A. ①③ B. ①③④

第 5 题图

第 6 题图

6. (2016 内江)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,且 P=|2a+b|+|3b-2c|, Q=|2a-b|-|3b+2c|,则 P、Q 的大小关系是________. 7. (2016 杭州)已知函数 y1=ax2+bx,y2=ax+b(ab≠0).在同一平面直角坐标系 中. (1)若函数 y1 的图象过点(-1,0),函数 y2 的图象过点(1,2),求 a,b 的值; (2)若函数 y2 的图象经过 y1 的图象的顶点. ①求证:2a+b=0; 3 ②当 1<x<2时,比较 y1 与 y2 的大小.

8. (2016 福州)已知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为 A(h,k)(h≠0). (1)当 h=1,k=2 时,求抛物线的解析式; (2)若抛物线 y=tx2(t≠0)也经过 A 点,求 a 与 t 之间的关系式; (3)当点 A 在抛物线 y=x2-x 上,且-2≤h<1 时,求 a 的取值范围.

答案
基础过关 1 1. B 【解析】抛物线 y=2x2,y=x2,y=-x2 的共同性质是: 序号 逐个分析 1 y=2x2,y=x2 的图象都是开口向上,y=-x2 的图象开口向下, ① 不符合题意 × 正误



三个函数的图象都是以(0,0)为顶点 三个函数的图象都是以 y 轴为对称轴 三个函数的图象都关于 y 轴对称,不符合题意 综上所述,只有②③正确,故正确的个数是 2.









×

2. B 【解析】由表格的数据可以看出,x=-3 和 x=-1 时 y 的值相同, 都是-3,所以可以判断出,点(-3,-3)和点(-1,-3)关于二次函数图象的 x1+x2 -3-1 -4 可求出对称轴为直线 x = 2 2 = 2 =-2.

对称轴对称,利用公式 x=

3. D 【解析】当 x=0 时,都有 y=c,所以,一次函数图象与二次函数图象都 过点(0,c),排除 A;对于 B,由直线知 a<0,由二次函数图象知 a>0,矛盾; 对于 C,由直线知 a>0,由二次函数图象知 a<0,矛盾;只有 D 符合题意.

m 4. D 【解析】∵二次函数 y=x2+mx 的对称轴为 x=- 2 =3,解得 m=- 6, ,则关于 x 的方程为 x2-6x=7,解得,x1=-1,x2=7. 5. D 【解析】将抛物线 y=x2-4x-4 化为顶点式:y=(x-2)2-8,根据 “左加右减、上加下减”的原则可得 y=[(x+3)-2]2-8+5=(x+1)2-3. 6. A 【解析】抛物线 y=x2+5x+6 绕原点旋转 180° ,再向下平移 3 个单 位长度即为原抛物线,抛物线绕原点旋转 180° 时 a 的符号改变,绝对值不变, 5 1 5 平移前后 a 的符号、绝对值都不变.y=x2+5x+6=(x+2)2-4,顶点是(-2, 1 5 1 -4),将抛物线绕原点旋转 180° 后抛物线顶点是(2,4),a=-1,∴旋转后抛 5 1 5 1 物线的解析式是 y=-(x-2)2+4,将抛物线 y= -(x-2)2+4向下平移 3 个单 5 1 5 11 位长度后的解析式为 y= -(x-2)2+4-3= -(x-2)2- 4 . 2 2 7. A 【解析】ax2+(b-3)x+c=0 可化为 ax2+bx+c=3x,由此可知二次 函数与一次函数图象的两个交点的横坐标即为该方程的两根.根据图象判断 x1 +x2>0,故选 A. b b 【一题多解】由图象可知,二次函数图象的对称轴 x=-2a>0,∴a<0,

2 b-3 b 2 ∴x1+x2=- a =-a+3a>0. 8. D 【解析】∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴二次函数图象的对称轴是 x =-1,最小值为-4,在-3≤x≤0 上,函数增减性无法确定,故 A、B、C 错 误. b 9. A 【解析】由题知,对称轴与线段 y=0(1≤x≤3)有交点,则有 1≤-2 ≤3,可得到:-6≤b≤-2,由二次函数图象经过点 A(2,6),代入可得:4+ 2-c 2-c 2b+c=6,∴b= 2 ,∴-6≤ 2 ≤-2, 解得:6≤c≤14,所以 c 的值不可 能是 4. 10. D 【解析】观察函数图象可知:图象过原点,c=0;抛物线开口向上, b a>0;抛物线的对称轴 0<-2a<1,-2a<b<0,∴a-b>0,∴|a-b+c|=a -b,|2a+b|=2a+b,∴|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a. b 11. A 【解析】依题意,a>0, >0,a+b-2=0,∴b>0,且 b=2-a, 2a a-b=a-(2-a)=2a-2,∴0<a<2,∴-2<2a-2<2,又∵a-b 为整数, 1 3 3 1 3 ∴2a-2=-1,0,1,∴a=2,1,2,b=2,1,2,∴ab=4或 1.

12. D 【解析】结合题意,先画草图如解图,由题意可知,m<0,n>0, 根据 y 的最小值为 2m,得出 2m=-(m-1)2+5 ,则 m=-2,根据 y 的最大值 1 为 2n,得出 2n=5,则 n=2.5,∴m+n=2 .

第 12 题解图 13. D 【解析】∵二次函数 y=x2+bx+c 图象与 x 轴只有一个交点,∴b2-4c b2 b n =0,c= 4 ,由题意知,点 A、B 关于抛物线的对称轴对称,∴A(-2-2,m), b n b n b n B(-2+2, m), 将 A 点代入抛物线解析式得 m=(-2-2)2+(-2-2)b+c,即 m n2 b2 1 = 4 - 4 +c,∵b2=4c,∴m=4n2. 14. C 【解析】根据图象分析知,图象开口向下,∴a<0;∵对称轴 x=

b -2a在 y 轴左侧,∴b<0;图象与 y 轴交于正半轴,∴c>0,∴abc>0,结论 ①正确;∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,∴b2-4ac>0,

即 4ac<b2,∴结论②正确;∵a<0,b<0,∴2a+b<0,∴结论③错误;根据 图象可知,当 x=-1 时,y=a-b+c>2,∴结论④正确,因此,结论①②④ 正确,共有 3 个. 15. D 【解析】如解图,根据二次函数 y=-x2-2x+3 图象可知,点 A 和点 B 的纵坐标均为 0,令-x2-2x+3=0,得 x1=-3,x2=1,∴点 A(-3, b 0),B(1,0),顶点 C 的横坐标为 x=-2a=- -2 =-1,纵坐标为 y= 2×(-1)

4ac-b2 4×(-1)×3-(-2)2 =4,∴点 C 的坐标为(-1,4).过点 C 作 4a = 4×(-1) CD CD⊥x 轴于点 D, 则 CD=4, OD=1, 又∵OA=3, ∴AD=2, ∴tan∠CAB=AD 4 =2=2.

第 15 题解图

第 16 解题图

16. (-2,0) 【解析】如解图,过点 D 作 DM⊥x 轴,∴M(m,0),又∵B(m +2,0),∴MB=2,由 C(0,c),D(m,c)知 OC=DM,即 C、D 关于对称轴对

称,O、M 关于对称轴对称,∴OA=MB=2,∴A(-2,0). 17. 4 【解析】设抛物线 y=(x+1)(x-2015)+4 向下平移 m 个单位后的抛 物线解析式为:y=(x+1)(x-2015)+4-m,即 y=x2-2014x-2011-m.设该抛 物线与 x 轴的两个交点横坐标分别为 a、b,则 a+b=2014,ab=-2011-m, 所以 2016= (a+b)2-4ab= 20142-4×(-2011-m),解得 m=4. 18. (1,4) 【解析】∵A(0,3)、B(2,3)两点纵坐标相同,∴A、B 两点关 b 2×(-1)

于直线 x=1 对称,∴抛物线的对称轴是直线 x=1,即-

=1,解得

b=2,∵当 x=0 时,y=3,∴c=3,∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3,当 x=1 时,y=-x2+2x+3=-12+2×1+3=4,∴抛物线的顶点坐标是(1,4). 1 19. -2≤a<0 1 -4a -1 【解析】由解析式易得顶点坐标是(2a, 4a ),条件
2

中要求满足当 m≥-1 时,总有 n≤1 成立,则抛物线开口必须向下,即 a<0 才 1 能符合题意,分类讨论:(1)当2a≤-1 时,将 m=-1 代入抛物线解析式得 a

-4a -1 1 1 +1-a≤1 成立,解得-2≤a<0;(2)当2a>-1 时, 4a ≤1,无解.故答
1 案为:-2≤a<0. 9 20. (-3,2) 【解析】∵M、N 两点关于 y 轴对称,点 M 的坐标为(a,b),

2

1 1 ∴N(-a,b),∵点 M 在双曲线 y=2x上,∴ab=2,∵点 N 在直线 y=-x+3 1 上,∴b=a+3,∴a-b=-3,∴y=-abx2+(a-b)x 变形为 y=-2x2-3x,∴ 4ac-b 9 b 9 -2a=-3, 4a =2,即顶点坐标为(-3,2). 21. ①③④ 【解析】∵二次函数值先由小变大,再由大变小,∴抛物线
2

的开口向下,∴①正确;∵抛物线过点(0,1)和(3,1),∴抛物线的对称轴为直 3 线 x=2,∴②错误;点(1,3)和点(2,3)为对称点,∴③正确;∵x=-1 时,y =-3,∴x=4 时,y=-3,∴二次函数 y=ax2+bx+c 的函数值为-2 时,-1 <x<0 或 3<x<4,即方程 ax2+bx+c=-2 的负根在-1 与 0 之间,正根在 3 与 4 之间,∴④正确.故答案为①③④. 22. 解:(1)抛物线 y=ax2+2ax+1 与 x 轴仅有一个交点, ∴(2a)2-4a=0,解得 a=1,a=0(舍去), ∴抛物线的解析式:y=x2+2x+1; (2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, ∵抛物线解析式为 y=x2+2x+1=(x+1)2,

第 22 题解图 ∴A(-1,0), 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,如解图, ∵OC⊥x 轴, ∴OC∥BD, ∵C 是 AB 的中点, ∴O 是 AD 的中点, ∴AO=OD=1, ∴B 点的横坐标为 1, 把 x=1 代入抛物线解析式中,得 y=(1+1)2=4, ∴B 点的坐标为(1,4), 把 A(-1,0) 、B(1,4)分别代入 y=kx+b, ?0=-k+b ?k=2 得? , 解得? , ?4=k+b ?b=2

∴直线 AB 的解析式为 y=2x+2. 23. 解:(1)∵y=x2-2x+1=(x-1)2, ∴顶点 P 的坐标为(1,0), ∵当 x=0 时,y=1, ∴点 Q 的坐标为(0,1); (2)①根据题意, 设抛物线 C′的解析式为 y=x2-2x+m, 则点 Q′的坐标为(0, m),其中 m>1,得 OQ′=m,

第 23 题解图 1 ∵点 F(1,2), 如解图,过点 F 作 FH⊥OQ′,垂足为 H,则 FH=1,Q′H= 1 m-2, 在 Rt△FQ′H 中,根据勾股定理,得 FQ′2=Q′H2+FH2.

1 5 ∴FQ′2=(m-2)2+12=m2-m+4. ∵FQ′=OQ′, 5 5 ∴m2-m+4=m2,解得 m=4. 5 ∴抛物线 C′的解析式为 y=x2-2x+4; 5 2 ②设点 A(x0,y0),则 y0=x0 -2x0+4. 如解图,过点 A 作 x 轴的垂线,与直线 Q′F 相交于点 N,可设点 N 的坐标 为(x0,n),则 AN=y0-n,其中 y0>n. 1 连接 FP,由点 F(1,2),P(1,0),得 FP⊥x 轴. 得 FP∥AN,有∠ANF=∠PFN. 连接 PK,则直线 Q′F 是线段 PK 的垂直平分线, ∴FP=FK,有∠PFN=∠AFN. ∴∠ANF=∠AFN,得 AF=AN. 1 根据勾股定理,得 AF2=(x0-1)2+(y0-2)2, 1 5 2 2 其中,(x0-1)2+(y0-2)2=(x2 0-2x0+ )+y0-y0=y0, 4

∴AF=y0, ∴y0=y0-n,得 n=0,即点 N 的坐标为(x0,0). 设直线 Q′F 的解析式为 y=kx+b, 5 3 b = k =- ? ? ? 4 ? 4 则? ,解得? , 1 5 ? ? ?k+b=2 ?b=4 3 5 ∴y=-4x+4. 3 5 5 由点 N 在直线 Q′F 上,得-4x0+4=0,解得 x0=3. 5 5 25 将 x0=3代入 y0=x2 0-2x0+ ,得 y0= . 4 36 5 25 ∴点 A 的坐标为(3,36). 满分冲关 1. D 【解析】当 a=1 时,函数为 y=x2-2x-1,当 x=-1 时,y=1+2 -1=2,其图象经过点(-1,2),不过点(-1,1),所以 A 选项错误;当 a=- 2 时,函数为 y=-2x2+4x-1,b2-4ac=16-4×(-2)×(-1)=8>0,抛物线 与 x 轴有两个交点,所以 B 选项错误;当 a>0 时,抛物线的开口向上,它的对

-2a 称轴是直线 x=- 2a =1,当 x≥1,在对称轴的右侧,y 随 x 的增大而增大,

-2a 所以 C 选项错误; 当 a<0 时, 抛物线的开口向下, 它的对称轴是直线 x=- 2a
=1,当 x≤1,在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而增大,所以 D 选项正确. 2. A 【解析】∵二次函数图象不经过第三象限,∴分两种情况讨论:(1) 当对称轴在 y 轴或 y 轴右侧时,需满足函数图象在 x=0 时,函数值 y≥0,即 ? -2(b-2) ?- ≥0 2 ? ,解得 b≥2;(2)当对称轴在 y 轴左侧时,需满足函数图象 2 ? ?b -1≥0 -2(b-2) ? - <0 ? 2 5 顶点的纵坐标大于等于 0,即? ,解得4≤b<2,综 2 2 4(b -1)-4(b-2) ≥0 ? ? 4 5 上所述,b 的取值范围为 b≥4. 3. B 【解析】由题意得,二次函数图象过 A(-1,2),B(2,5)两点,则 ?a-b+c=2 3-c 3-c ? ,解得 c=3-2a,即 a= 2 ,∵a>0,∴ 2 >0,∴c<3,A ?4a+2b+c=5 ?a-b+c=2 正确;由? 得 3a+3b=3,∴a+b=1,∴抛物线对称轴为 x=m= ?4a+2b+c=5 b 1 1 1 1 1 1 -2a=2-2a,∵a>0,∴2-2a<2,即 m<2,B 错误;∵a>0,∴开口向上,n 为抛物线上的最小值,∴n≤2,C 正确;∵a+b=1,∴a=1-b>0,∴b<1, ∴D 正确.

4. B 【解析】∵二次函数 y=(x-h)2+1,∴二次函数的对称轴为直线 x =h,∴二次函数在 x<h 时,y 随 x 的增大而减小,在 x>h 时,y 随 x 的增大而 增大,∴①当 h<1 时,在 1≤x≤3 中,x=1 时二次函数有最小值,此时(1-h)2 + 1=5,解得 h=-1 或 h=3(舍去);②当 1≤h≤3 时,x=h 时,二次函数的 最小值为 1;③当 h>3 时,在 1≤x≤3 中,x=3 时二次函数有最小值,此时, (3-h)2+ 1=5,解得 h=5 或 h=1(舍去),综上所述,h 的值为-1 或 5. 5. D 【解析】逐个分析如下:

序号

逐个分析 b 由抛物线开口向上可知, a>0, 再根据对称轴 x=-2a>0, 得 b<0,

正误

① 又由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴上,知 c<0,∴abc>0 二次函数图象与 x 轴的一个交点为 A(-1,0),对称轴为 x=1, ② ∴与 x 轴的另一个交点为(3,0).∴当 x=2 时,y=4a+2b+c<0 由抛物线与 x 轴有两个交点, 知 b2-4ac>0, 又因 a>0, 则 b2-4ac ③ +8a>0,即 4ac-b2<8a ④ 把 A(-1,0)代入二次函数解析式得,a-b+c=0,由对称轴 x=



×





-2a=1,得 b=-2a,把 b=-2a 代入 a-b+c=0 中,得 c=-
3a,又由抛物线与 y 轴的交点 B 在(0,-2)和(0,-1)之间,得- 1 2 2<c<-1,∴-2<-3a<-1,解得3<a<3 1 由 a-b+c=0 与 b=-2a,易得-2b-b+c=0,进而得 3b=2c, ⑤ ∵2<3,b<0,∴2b>3b,于是有 2b>2c,∴b>c b 6. P>Q 【解析】∵抛物线开口向下,∴a<0.∵-2a=1,∴b>0 且 a= b √

b

-2.∴|2a+b|=0,|2a-b|=b-2a.∵抛物线与 y 轴的正半轴相交,∴c>0.∴|3b
b

+2c|=3b+2c.由图象知当 x=-1 时,y<0,即 a-b+c<0.∴-2-b+c<0,
即 3b-2c>0.∴|3b-2c|=3b-2c.∴P=0+3b-2c=3b-2c>0, Q=b-2a-(3b

+2c)=-(b+2c)<0.∴P>Q.
?a-b=0 ?a=1 7. (1)解:由题意得? ,解得? , ?a+b=2 ?b=1

∴a=1,b=1;
b b2 (2)①证明:∵函数 y1 的图象的顶点坐标为(-2a,-4a),

-b -b b ∴a(-2a)+b= 4a ,即 b= 2a , ∵ab≠0,所以-b=2a,
即 2a+b=0; ②解:∵b=-2a,∴y1=ax(x-2),y2=a(x-2),

2

2

∴y1-y2=a(x-2)(x-1),
3

∵1<x<2, ∴x-2<0,x-1>0,所以(x-2)(x-1)<0, ∴当 a>0 时,a(x-2)(x-1)<0,即 y1<y2.
当 a<0 时,a(x-2)(x-1)>0,即 y1>y2. 8. 解:(1)设抛物线的解析式为 y=a(x-h)2+k(a≠0).

∵h=1,k=2, ∴y=a(x-1)2+2, ∵抛物线经过原点, ∴a+2=0,
解得 a=-2.

∴抛物线的解析式为 y=-2(x-1)2+2,即 y=-2x2+4x.

(2)∵抛物线 y=tx2(t≠0)经过点 A(h,k),

∴k=th2, ∴y=a(x-h)2+th2, ∵抛物线经过原点, ∴ah2+th2=0, ∵h≠0,k≠0, ∴a=-t;
(3)∵点 A(h,k)在抛物线 y=x2-x 上,

∴k=h2-h, ∴y=a(x-h)2+h2-h, ∵抛物线经过原点, ∴ah2+h2-h=0, ∵h≠0,
1

∴a=h-1.
分类讨论: 1 1

①当-2≤h<0 时,由反比例函数性质可知h≤-2,

∴a≤-2;
1

3

②当 0<h<1 时,由反比例函数性质可知h>1, ∴a>0.
3 综上所述,a 的取值范围是 a≤-2或 a>0.


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