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2007年高中数学竞赛模拟试题(二)


2007 年高中数学竞赛模拟试题(二)
一、选择题: 1.设 a 、 b 、 c 为实数, 4a ? 2b ? c ? 0, a ? b ? c ? 0 ,则下列四个结论中正确的是 ( D )
2 2 2 2 (A) b ? ac (B) b ? ac (C) b ? ac 且 a ? 0 (D) b ? ac 且 a ? 0 2 提 示 : 若 a ? 0

, 则 b ? 0 , 则 b ? ac ? 0 . 若 a ? 0 , 则 对 于 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 由

f (2) ? 0, f (?1) ? 0 可得结论.

2.在△ABC 中,若 ?A ? 450 , AB ? 2, BC ? a ,则 a ?

2 是△ABC 只有一解的

( A )

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件 3. 已知向量 a ? (m, cos2x ? 2 sin x ? 1),b ? (3 ? cos2x ? 4 sin x,?1) , 定义函数 f ( x) ? a ? b . 若 对任意的 x ? [0,

?
2

] ,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是
1 8 1 8

( A )

(A) ( ,??) (B) [ 0, ) (C) ( ,2) (D) ( 2,? ?)

1 8

4.设 E、F、G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB、BC、CD 的中点,则二面角 C—FG—E 的大小是 ( D ) (A) arcsin

? 6 ? 3 (B) ? arccos (C) ? arctan 2 3 2 3

2 (D) ? ? arc cot

2 2

5.把数列 {2n ? 1} 依次按一项、二项、三项、四项循环分为(3) , (5,7) , (9,11,13) , (15, 17,19,21) , (23) , (25,27, ) , (29,31,33) , (35,37,39,41) ,…,在第 100 个括号内各 数之和为 ( A ) (A)1992 (B)1990 (C)1873 (D)1891
n

6.设 xi ? {1,2,?, n}, i ? 1,2,?, n ,满足

?x
i ?1

i

?

n(n ? 1) , x1 ? x2 ? ?? xn ? n! ,使 x1 , x2 ,…, 2
( C )

xn 一定是 1,2,?, n 的一个排列的最大数 n 是
(A)4 (B)6 (C)8 (D)9 二、填空题:

7. 若实数 x 、 y 满足条件 x 2 ? y 2 ? 1 ,则

1 2y ? 的取值范围是___________________. x x2

【答案】 (?2,2) .提示:令 x ? sec ? , y ? tan ? .
2 4 8. 对于给定的正整数 n ? 4 , 等式 Cm 成立, 则所有的 m 一定形如_____________. (用 n 的 ? 3Cn

组合数表示)
2 2 2 2 2 4 【答案】 m ? Cn ?1 ( n ? 4 ).提示:由 Cm ? 3Cn 得 (2m ? 1) ? (n ? 3n ? 1) ,

2 从而 m ? Cn ?1 ( n ? 4 ).

9. 一个盒中有 9 个正品和 3 个废品,每次取一个产品,取出后不在放回,在取得正品前已取出的 废品数 ? 的数学期望 E? =_________________.
1 1 1 C9 C3 C9 3 9 【答案】 0.3 提示: ? 取值为 0,1,2,3,且有 P(? ? 0) ? 1 ? , P(? ? 1) ? , ? 2 44 C12 4 2C12 1 3 1 C32 C9 C3 C9 9 1 , . ? P ( ? ? 3 ) ? ? 3 4 220 220 2C12 2C12

P(? ? 2) ?
? E? ? 0 ?

3 9 9 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 0.3 . 4 44 220 220

10. 设点 F1、F2 分别为椭圆 E 的左、右焦点,抛物线 C 以 F1 为顶点、以 F2 为焦点。设 P 点为椭 圆与抛物线的一个交点。如果椭圆 E 的离心率 e 满足 PF 1 ? e PF 2 ,则 e 的值为_______.

【答案】

3 3
t ? x2 ? 2 , 则 这 个 方 程 有 相 异 实 根 的 个 数 情 况 是

11. 已 知 t ? 0 , 关 于 x 的 方 程 x ? _________________.

【答案】0 或 2 或 3 或 4. 提示:令 C1 : y ? x ?

2 , C 2 : y ? ? t ? x 2 ,利用数形结合知:当

0 ? t ? 1或t ? 2 时,方程无实数根; 当 t ? 1 时,方程有 2 个实数根; 当 t ? 2 时,方程有 3 个实数根; 当 1 ? t ? 2 时,方程有 4 个实数根。

x2 12. 函数 f ( x ) ? ( x ? R, 且x ? 1 )的单调递增区间是______________________. x ?1
【答案】 (??,0],[2,??) . 提示: y ? 2 ? ( x ? 1) ? 本题也可直接依函数的单调性定义来分析。

1 ( x ? 1) ,利用典型函数来分析; x ?1

三、解答题: 13. 向量 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1 ,试判断 1 、 OP 2 、 OP 3 满足条件 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 , OP △P1P2P3 的形状,并加以证明。

OP1 ? OP2 ? OP3 ? 2OP2 ? OP3 . 解:∵ OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 ,∴ OP 1 ? ?OP 2 ? OP 3 ,∴

2

2

2

? OP3 ? 1 , ∴ OP2 ? OP3 ? ? 又 ∵ OP 1 ? OP2 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1 , ∴ OP
∴ cos ?P2 OP3 ? ? 同理可求得 P 1P 2 ?

2

2

2

1 , 2

1 ,在△P2OP3 中,由余弦定理可求得 P2 P3 ? 3 . 2

3 , P1 P3 ? 3 .∴△P1P2P3 为正三角形.
*

14.设数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,求证: ,an?1 ? an ? n ? 1( n ? N )

?a
k ?1

n

1
k

? 2( n ? 1 ? 1) .

证明:由题意知 a2 ? 2, an ? 0, n ? N * . 当 n ? 1 时,

1 ? 1 ? 2( 2 ? 1) ,命题成立; a1 1 ? a n ?1 ? a n ?1 , an

当 n ? 2 时,由 an?1 ? an ? n ? 1 ,得 an ? an?1 ? n ,∴ an (an?1 ? an?1 ) ? 1 ,
n

从而有

n 1 1 ? ? ? ? (ak ?1 ? ak ?1 ) ? an?1 ? an ? 2 ? 2 an?1an ? 2 ? 2( n ? 1 ? 1) . a1 k ? 2 k ?1 a k

15.设函数 f ( x) ? 3 1 ? x ? ?x ,其中 ? ? 0. (1)求 ? 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 [0,? ?) 上是单调递减函数; (2)此单调性能否扩展到整个定义域 (? ?,? ?) 上? (3)求解不等式 2 x ? 3 1 ? x ? 12. 解: (1)设 0 ? x1 ? x2 ? ?? , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )[

1
3

(1 ? x1 ) 2 ? 3 1 ? x1 ? 3 1 ? x2 ? 3 (1 ? x2 ) 2

? ? ].

设M ?

3

(1 ? x1 ) 2 ? 3 1 ? x1 ? 3 1 ? x 2 ? 3 (1 ? x 2 ) 2 ,则显然 M ? 3 .

∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,∴ ? ?

1 1 1 1 ? ,∴只需要 ? ? ,就能使 f ( x) 在 [0,? ?) 上是单调 ,∵ M M 3 3

递减函数; (2)此单调性不能扩展到整个定义域上,这可由单调性定义说明之;

(3) 构造函数 g ( x) ? 2x ? 3 1 ? x , 由 (1) 知当 x ? 0 时,g ( x) 是单调递增函数。 ∵ g (7) ? 12 , ∴ 2 x ? 3 1 ? x ? 12. ? g ( x) ? g (7) ,∴ x ? 7 ,∴所求解集为 ( ? ?,7) .


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