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江苏省黄桥中学2010届高三期中考试(数学)


1、已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x ?2 ? x ? 2? , B ? x x 2 ? 2 x ≤ 0 ,则 A ? B ? 2、已知向量 a ? (2,?1) , b ? (6, x) ,且 a ∥ b ,则 x 的值是

?

?



?

?

r />?

?



π π 3、 f ? x ? ? cos ? ? x ? ? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = ? ? 5 6? ?

y


C4 C3

4、如图,给出幂函数 y ? x n 在第一象限内的图像, n 取 ?2 , ? 1 四个值, 2

O
则相应于曲线 C1 , C2 , C3 , C4 的 n 依次为 5、若函数 y ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a = .

C2 C1 x

6 、 设 数 列 ?an ? 为 公 比 q ? 1 的 等 比 数 列 , 若 a4 , a5 是 方 程 4 x2 ? 8x ? 3 ? 0 的 两 根 , 则

a6 ? a7 ? _____.
7.函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f (x) 在 x ? ?3 时取到极值,则 a ?
3 2

. .

8.若平面向量 a ? (1,2)与 b 的夹角是 180°,且 | b |? 3 5 ,则 b =

r

r

r

r

9.数列{an}的通项公式是 an=1-2n,其前 n 项和为 Sn,则数列{

Sn }的 11 项和为____. n

10.已知函数 f ( x) ? ? 11.函数 f ( x) ? cos x ?

?log 2 x ?3
x

( x ? 0) ( x ≤ 0)

则 f [ f ( )] 的值是

1 4



1 cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2


12.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 9, S 6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ?
2

13.若函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为单调增函数,则实数 a 的取值范围是 .

? an ? , 当an为偶数时, 14.已知数列 ?an ? 满足:a1=m (m 为正整数) an ?1 ? ? 2 , 若 a6=1 , ?3an ? 1, 当an为奇数时. ?
则 m 所有可能的取值为 .

15.(本小题 14 分)记函数 f ( x) ? 2 ?

x?3 的定义域为 A , x ?1

g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)], ? a ? 1? 的定义域为 B .
若 B ? A ,求实数 a 的取值范围. 16、 (本小题 15 分) 在 △ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; 17. (本小题 15 分) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

5 3 , cos B ? . 13 5
(Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ABC 的面积.

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

18. (本小题 15 分) 已知向量 a ? ? cos

?

? ?

3x 3x ? ? ? x x? ? , sin ?, b ? ? cos ,? sin ?, c ? 2 2? 2 2? ?
?

?
?

3,?1

?

(1)当 a ? b 时,求 x 的值的集合;

?

?

(2)求 a ? c 的最大值.

19. (本小题 15 分) 生产某种产品 x 吨时,所需费用是 1000 ? 5 x ?

1 2 x 元,当出售这种产品 x 吨时,每 10

吨价格是 a ? ( a, b 是常数) 元, 如果生产出来的这种产品能全部出售, 那么当产量是 150 吨时,利润最大,并且这时每吨的价格是 40 元,求 a, b 的值. 20. (本小题 16 分)

x b

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f ?(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点.

1. ? 0, 2 ? . 2. 3. 4. -3 10 . .

1 1 ?2, ? , , 2 . 2 2

5. 1 . 6. ___18 __. 7. 4 . 8 (-3,-6) 9. __-66. .

10.

1 9



11

3 4

12.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? 9, S 6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? 45 13.若函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为单调增函数,则实数 a 的取值范围是
2

1 0≤a≤ . 4
? an ? , 当an为偶数时, 14.已知数列 ?an ? 满足:a1=m (m 为正整数) an ?1 ? ? 2 , 若 a6=1 , ?3an ? 1, 当an为奇数时. ?
则 m 所有可能的取值为 二、解答题 15.(本小题 14 分)记函数 f ( x) ? 4 , 5 , 32 .

2?

x?3 的定义域为 A , x ?1

g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)], ? a ? 1? 的定义域为 B .若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.
解: A ? {x x ? ?1 或 x ≥ 1} -------------------------------------------------------------5 分

B ? {x 2a ? x ? a ? 1}
要使 B ? A ,则 a ? 1≤ ?1 或 2a ≥1 -------------------------------------------10 分 则 a ≤ ?2 或

1 ≤ a ? 1 ------------------------------------------------------------14 分 2 5 3 , cos B ? . 13 5

16.(本小题 15 分) 在 △ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ABC 的面积.

5 12 ,得 sin A ? , 13 13 3 4 由 cos B ? ,得 sin B ? . 5 5
解: (Ⅰ)由 cos A ? ? 所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

16 .--------------------8 分 65

4 5? BC ? sin B 5 ? 13 . (Ⅱ)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13 1 1 13 16 8 所以 △ABC 的面积 S ? ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? ? .----------15 分 2 2 3 65 3
17. (本小题 15 分) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 解: (Ⅰ)设 ? an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且 ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13, ?
解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,-----------------------------------------5 分

bn ? q n ?1 ? 2n ?1 .----------------------------------------------------------------------------------------10 分
(Ⅱ)

an 2 n ? 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ? n ?1 . Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 , bn 2 2 2 2 2



5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 , 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得: Sn ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 , 2 2 2 2
1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ? n ?1 2 ? 2 ? 2 2



1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 .----------------------------------------------------------------------------------------15 分 2 1?
18. (本小题 15 分) 已知向量 a ? ? cos

?

? ?

3x 3x ? ? ? x x? ? , sin ?, b ? ? cos ,? sin ?, c ? 2 2? 2 2? ?
?

?
?

3,?1

?

(1)当 a ? b 时,求 x 的值的集合; 解: (1) Q a ? b ,? a ? b ? 0 ,即 cos 即 cos( x ? ) ? cos 2 x ? 0

?

?

(2)求 a ? c 的最大值.

r

r

r r

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? 0 2 2 2 2

3 2

x 2

π k π π , k ? Z ,即 x ? ? ,k ?Z 2 2 4 k π π 所以, x 的集合为 {x | x ? ? , k ? Z} ------------------------------------------------8 分 2 4 r r 2 r2 r r r2 (2) Q a ? c ? a ? 2a ? c ? c
所以 2 x ? k ? π

? cos2

3 3 3 3 x ? sin 2 x ? 4 ? 2( 3 cos x ? sin x) 2 2 2 2
3 3 1 3 cos x ? sin x) 2 2 2 2

? 5 ? 4(

3 ? ? 5 ? 4 sin( x ? ) 2 3 r r2 r r ? a?c ? 9 ,即 a ? c
max

? 3 -----------------------------------------------------------15 分
max

19. (本小题 15 分)生产某种产品 x 吨时,所需费用是 1000 ? 5 x ? 这种产品 x 吨时,每吨价格是 a ?

1 2 x 元,当出售 10

x ( a, b 是常数)元,如果生产出来的这种产品能全部出 b

售,那么当产量是 150 吨时,利润最大,并且这时每吨的价格是 40 元,求 a, b 的值.

解:设出售 x 吨时,利润是 y 元, 则 y ? (a ?

x x2 ) x ? (1000 ? 5 x ? ) b 10

=

10 ? b 2 x ? (a ? 5) x ? 1000 ---------------------------------------------------4 分 10b

依题意可知,当 x ? 150 时, y 有最大值,则

a?

150 ? 40 b

①----------------------------------8 分

当 b ? 0 或 b ? 10 时,

10 ? b 5b(a ? 5) <0 ,故 ? 150 10b b ? 10



解①②得 a ? 45, b ? ?30 . --------------------------------------------------------------15 分 20. (本小题 16 分)

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f ?(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;
解法一:

?Ⅰ?

f ? ? x ? ? x 2 ? 2ax ? b f ? ? ?1? ? 1 ? 2a ? b ? 0 ,--------------------------------------------------2 分

依题意,得

故 b ? 2a ?1 .------------------------------------------------------------------------------------4 分

?Ⅱ? 由 ?Ⅰ? 得 f ? x ? ?
2

1 3 x ? ax 2 ? ? 2a ? 1? x , 3

故 f ? ? x ? ? x ? 2ax ? 2a ? 1 ? ? x ? 1?? x ? 2a ? 1? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ,--------------------------------------------------6 分 ① 当 a > 1时, 1 ? 2a < ?1 , 当 x 变化时, f ? ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下表:

x
f ?? x?

( ?? , 1 ? 2a ) +

( 1 ? 2a , ?1 ) -

( ?1 , ?? ) +

f ? x?

单调递增

单调递减

单调递增

由此得,函数 f ? x ? 的单调增区间为( ?? , 1 ? 2a )和( ?1 , ?? ),单调减区间为( 1 ? 2a , ?1 ). ② 当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 .此时 f ? ? x ? ≥ 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f ? ? x ? ? 0 ,故函数

f ? x ? 的单调增区间为 R .
③ 当 a < 1 时 , 1 ? 2a > ?1 , 同 理 可 得 函 数 f ? x ? 的 单 调 增 区 间 为 ? ??,- 1? 和

? 1 ?1 ? 2a, ? ? ,单调减区间为 ? ?1,? 2a ? .--------------------------------------------------9 分
综 上:当 a > 1 时 , 函数 f ? x ? 的 单调增 区间为 ( ?? , 1 ? 2a ) 和 ( ?1 , ?? ), 单调减 区间 为 ( 1 ? 2a , ?1 );当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的单调增区间为 R ; 当 a < 1 时,函数 f ? x ? 的单调增区间

? 1 为 ? ??,- 1? 和 ?1 ? 2a, ? ? ,单调减区间为 ? ?1,? 2a ? .-------------------------------10 分
(Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ? x ? ?
2

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f ? ? x ? ? x ? 2x ? 3=0 ,得 x1 ? ?1 , x2 ? 3 .

? ? 3 由(Ⅱ)得 f ? x ? 单调区间为 ? ??, 1? 和 ? 3, ? ? ,单调减区间为 ? ?1,? ,所以函数 f ? x ? 在

x1 ? ?1 , x2 ? 3 处取得极值;
故 M ? -1, ? , N ? 3,-9 ? .------------------------------------------------------------12 分 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

? ?

5? 3?

8 x ?1 , 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? ,得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 -------------------------------14 分 8 ? y ? ? x ?1 ? 3 ?
令 F ? x ? ? x ? 3x ? x ? 3 .
3 2

易得 F ? 0 ? ? 3 > 0 ,F ? 2 ? ? ?3 < 0 .而 F ? x ? 的图像在 ? 0, 2 ? 内是一条连续不断的曲线,故

F ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------16 分 解法二:

(I)同解法一 (II)同解法一 (Ⅲ) 当 a ? ?1 时,得 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ,由 f ? ? x ? ? x 2 ? 2x ? 3=0 ,得 x1 ? ?1 , x2 ? 3 . 3

? ? 3 由(Ⅱ)得 f ? x ? 单调区间为 ? ??, 1? 和 ? 3, ? ? ,单调减区间为 ? ?1,? ,所以函数 f ? x ? 在

x1 ? ?1 , x2 ? 3 处取得极值;
故 M ? -1, ? , N ? 3,-9 ? .------------------------------------------------------------12 分 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

? ?

5? 3?

8 x ?1 , 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? ,得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 -------------------------------14 分 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
解得: x1 ? ?1 , x2 ? 1 , x3 ? 3 .

? x1 ? ?1 ? ∴? 5, ? y1 ? 3 ?

? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? . 11 , ? ? ? y2 ? ? 3 ? y3 ? ?9 ?

所以线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点 1, ( ?

11 .--------------16 分 ) 3


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