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2015创新设计(高中理科数学)选修4-4-1


第1讲

坐标系

诊断· 基础知识

突破· 高频考点

培养· 解题能力

[最新考纲]
1.理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下 平面图形的变化情况. 2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直 角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出

简单图形(如过极点的直线、过极点或 圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.

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知识梳理

1.极坐标系
(1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做 极点 ,从 O点引一条射线Ox,叫做 极轴 ,再选定一个长度单位、一个 角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向),这样就确定

了一个极坐标系.
设 M 是 平 面 内 一 点 , 极 点 O 与 点 M 的 距 离 OM 叫 做 点 M 的 极径 ,记为ρ,以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫 做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记 作M(ρ,θ).
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(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ), 则它们之间的关系为 x=ρcos θ,y= ρsinθ y 2 2 = x +y ,tan θ= x . .另一种关系为 ρ2

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2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程 为:ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π-θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; (3)直线过
? π? M?b,2?且平行于极轴:ρsin ? ?

θ=b.

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3.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆方程为
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ= 2acosθ (3)当圆心位于
? π? M?a,2?,半径为 ? ?

; .

a:ρ= 2asinθ

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诊 断 自 测 1 .点 P 的直角坐标为 ( - 2 , 2) ,那么它的极坐标可表示为 ________.
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式.
? 3π? ?2, ? 4? ?

答案

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2.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,
极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方 程为________. 解析 ∵ρ=2sin θ+4cos θ, ∴ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ. ∴x2+y2=2y+4x, 即x2+y2-2y-4x=0.

答案 x2+y2-4x-2y=0

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3.(2014·西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ
=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为________.

解析 ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,ρcos θ=- 1 的直角坐标方程为
? ?x=-1, 解得? ? ?y=1,
2 2 ? ?x +y -2y=0, x=-1,联立方程,得? ? ?x=-1,

即两曲线的交点为(-1,1),又 0≤θ<2π,因此 3π? 2, ?. 4?

? 这两条曲线的交点的极坐标为? ? ? 3π? 答案 ? 2, 4 ? ? ?

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4.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρsin 的距离为________.

? π? θ=3,则点?2,6?到直线 ? ?

l

解析 ∵直线 l 的极坐标方程可化为 为( 3,1),
? π? ∴点?2,6?到直线 ? ?

? π? y=3, 点?2,6?化为直角坐标 ? ?

l 的距离为 2.

答案 2

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π 5.在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ= (ρ∈R)的距离 6 是________.

解析

将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求

解,极坐标系中的圆 ρ=4sin θ 转化为平面直角坐标系中的一 般方程为:x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4,其圆心为(0,2),直 π 3 线 θ= 转化为平面直角坐标系中的方程为 y= x, 即 3x-3y 6 3 =0. ∴圆心(0,2)到直线 3x-3y=0 的距离为 |0-3×2| = 3. 3+9 答案 3
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极坐标与直角坐标的互化 ? π? 【例 1】 (1)把点 M 的极坐标?-5,6?化成直角坐标; ? ? (2)把点 M 的直角坐标(- 3,-1)化成极坐标. π 5 π 5 解 (1)∵x=-5cos =- 3,y=-5sin =- , 6 2 6 2 ? 5 5? ∴点 M 的直角坐标是?-2 3,-2?. ? ? (2)ρ= ?- 3?2+?-1?2= 3+1=2, -1 3 tan θ= =3. - 3 7π ∵点 M 在第三象限,ρ>0,∴最小正角 θ= 6 . ? 7π? 因此,点 M 的极坐标是?2, 6 ?. ? ?
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考点一

规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所
在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一. (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意 转化的等价性.

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【训练 1】 (1)把点 M

? 2π? 的极坐标?8, 3 ?化成直角坐标; ? ?

(2)把点 P 的直角坐标( 6, - 2)化成极坐标. (ρ>0,0≤θ<2π)

2π 2π 解 (1)x=8cos =-4,y=8sin =4 3, 3 3 因此,点 M 的直角坐标是(-4,4 3). - 2 3 (2)ρ= ? 6? +?- 2? =2 2,tan θ= =- , 3 6
2 2

11π 又因为点在第四象限,得 θ= 6 . 因此,点 P
? 的极坐标为?2 ?

11π? 2, 6 ? . ?
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考点二

直角坐标方程与极坐标方程的互化

【例 2】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 M,N 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.
? π? ρcos?θ-3?=1,M,N ? ?

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π π ∴ρcos θ· cos 3+ρsin θ· sin 3=1. ? ?x=ρcos θ 1 3 又? ,∴2x+ 2 y=1. ? ?y=ρsin θ 即曲线 C 的直角坐标方程为 x+ 3y-2=0. 2 3 令 y=0,则 x=2;令 x=0,则 y= . 3 ? 2 3? ? ? ∴M(2,0),N?0, ?. 3 ? ? ?2 3 π? ? ∴M 的极坐标为(2,0),N 的极坐标为? , ? 3 ?. 2 ? ?

? π? (1)∵ρcos?θ-3?=1, ? ?

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(2)M,N 连线的中点 P π P 的极角为 θ= . 6

? 的直角坐标为? ? 1, ?

3? ? , 3? ?

π ∴直线 OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R). 6

规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互 化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化为我们熟悉的直 角坐标系的情境.

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【训练 2】 ⊙O1 和⊙ O2 的极坐标方程分别为 ρ = 4cos θ , ρ =-
4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程. 解 以极点的原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标

系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)ρ=4cos θ,两边同乘以ρ,得ρ2=4ρcos θ; ρ=-4sin θ,两边同乘以ρ,得ρ2=-4ρsin θ. 由ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2, 得⊙O1,⊙O2的直角坐标方程分别为

x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0.
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2 2 ? x + y -4x=0, ? (2)由? 2 2 ? ?x +y +4y=0.

① ②

①-②得-4x-4y=0,即 x+y=0 为所求直线方程.

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考点三 曲线极坐标方程的应用 【例 3】 (2014· 广州调研)在极坐标系中,求直线
? π? ρsin?θ+4?=2 ? ?

被圆 ρ=4 截得的弦长.
解 由
? π? ρsin?θ+4?=2,得 ? ?

2 (ρsin θ+ρcos θ)=2 可化为 x+y 2

-2 2=0.圆 ρ=4 可化为 x2+y2=16,由圆中的弦长公式得: 2 r -d =2
2 2

4

2

?2 -? ? ?

2? ?2 =4 3.故所求弦长为 4 3. 2? ?

规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等 几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解 决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
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【训练 3】 (2012· 江苏卷)在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P( 2,
? π? π 3 ?θ- ?=- ) ,圆心为直线 ρ sin 3? 4 2 与极轴的交点,求圆 C 的极 ?

坐标方程.

解 在

? π? ρsin?θ-3?=- ? ?

3 中令 θ=0,得 ρ=1, 2

所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). 因为圆 C 经过点 所以圆 C 的半径 PC= π ? 2? +1 -2×1× 2cos 4=1,
2 2
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? P? ?

π? 2,4?, ?

于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.

因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误 【典例】 (10 分 ) 在极坐标系下,若点 P(ρ, θ) 的一个极坐标为
? ? ρ θ? 2π? ?4, ?,求以? , ?为坐标的不同的点的极坐标. 3? ? ?2 2?

[错解展示]
? 2π? 甲:解 ?4, 3 ?化为直角坐标为(-2,2 3),故该点与原点的中点 ? ? ? 2π? 坐标为(-1, 3),化为极坐标为?2, 3 ?. ? ?

2π ρ θ π 乙:解 ∵ρ=4,θ= ,故 =2, = , 3 2 2 3 ? π? 因此所求极坐标为?2,3?. ? ?
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[规范解答]

? 2π? ∵?4, 3 ?为点 ? ?

P(ρ,θ)的一个极坐标. (2 分)

∴ρ=4 或 ρ=-4. 2π 当 ρ=4 时,θ=2kπ+ (k∈Z), 3 ρ θ π ∴2=2,2=kπ+3(k∈Z). 5π 当 ρ=-4 时,θ=2kπ+ 3 (k∈Z), ρ θ 5π ∴ =-2, =kπ+ (k∈Z). 2 2 6

(4 分)

(6 分)

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? ρ θ? ∴?2,2?有四个不同的点: ? ? ? ? π? 4π? P1?2,2kπ+3?,P2?2,2kπ+ 3 ?(k∈Z), ? ? ? ? ? ? 5π? 11π? P3?-2,2kπ+ 6 ?,P4?-2,2kπ+ 6 ?(k∈Z) ? ? ? ?

(10 分)

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[反思感悟]

甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极

? ρ θ? 坐标系中的中点,事实上(ρ,θ)与?2,2?的关系并不是点(ρ,θ)与 ? ? ? ρ θ? ? ρ θ? 极点的中点为?2,2?,从几何意义上讲点?2,2?应满足该点的极角 ? ? ? ? ?ρ θ? 1 1 为 θ 的2, 极径为 ρ 的2.乙生解法中满足?2,2?的几何意义, 但由于 ? ?

极坐标系内点的极坐标的不唯一性,还应就点(ρ,θ)的其他形式的 极坐标进行讨论.

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【自主体验】
? π? 下 列 各 点 中 与 极坐 标 ?-2,6? 不 表 示 同 一 个 点的 极坐 标 是 ? ?

________.
? 7π? ①?2, 6 ? ? ? ? 7π? ②?2,- 6 ? ? ? ? 11π? ③?-2,- 6 ? ? ? ? 13π? ④?-2, 6 ? ? ?

解析

? ? ? π? π 因为与 ?-2,6? 表示同一点的坐标有 ?-2,6+2kπ? 或 ? ? ? ?

? ? π ?2, +?2k+1?π?,其中 6 ? ?

k∈Z,所以易得只有②不同.

答案 ②
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