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高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.3.3函数的最大(小)值与导数》导学案

时间:2016-09-26


§ 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标
⒈理解函数的最大值和最小值的概念; ⒉掌 握 用 导 数 求 函 数 最 值 的 方 法 和步骤.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, 并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足 “左正右负” , 则 x0 是 f ( x ) 的 f ( x0 ) 是极值, 是极 值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的
王新敞
奎屯 新疆

点,f ( x0 ) 点, f ( x0 ) 是

极 值 复习 2:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ?cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 , (1)试求常 数 a、b、c 的值; (2)试判断 x ? ?1 时函数有极大值还是极小值,并说明理由.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:函数的最大(小)值 问题:观察在闭区间 ?a, b? 上的函数 f ( x) 的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大值, 最小值呢?

图1 图2 在图 1 中,在闭区间 ?a, b? 上 的 最 大 值 是

在图 2 中,在闭区间 ?a, b? 上的极大值是 ,极小值是 ;最大值是 ,最小值 是 . 新知:一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 试试:

,最小值是



上图的极大值点 ,为极小值点为 ; 最大值为 ,最小值为 . 反思: 1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得 出的. 2.函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的 条件

3. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,可能 一个没有.

典型例题
1 例 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值与最小值. 3

小结:求最值的步骤 (1)求 f ( x) 的极值; (2)比较极值与区间端点值,其中最大的值为最大值,最小的值为最 小值.

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满足下列 x 两个条件: (1) f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是 1; 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.
例 2 已知 f ( x) ? log 3

6 2 3 , ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 3 2 求函数的解析式.

变式:设

小结:本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法,从逆向思维出发,实 现由已知向未知的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最终落脚在比较极值点与端点值 大小上,从而解决问题.

动手试试 练 1. 求函数 f ( x) ? 3x ? x3 , x ?[1,2] 的最值.

练 2. 已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a 在 [?2, 2] 上有最小值 ? 37 ( . 1) 求实数 a 的值; (2) 求 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值.

三、总结提升 学习小结 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步 骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值;
⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值.

知识拓展 利用导数法求最值, 实质是在比较某些函数值来得到最值, 因些我们可以在导数法求极值的 思路的基础上进行变通.令 f ?( x) ? 0 得到方程的根 x1 , x 2 ,? ,直接求得函数值,然后去与 端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也 可以求最值.

学习评价
当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M ? N 的值为 ( ) A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) ? x ? 3x( x ? 1) ( ) A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值 15 3. 已知函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为 ,则 a 等于( ) 4 3 1 1 1 3 A. ? B. C. ? D. 或 ? 2 2 2 2 2 4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为

5. 已知 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? m ( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的最 小值是

课后作业
1. a 为常数,求函数 f ( x) ? ? x3 ? 3ax(0 ? x ? 1) 的最大值.

2. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? a , (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上 的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.


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