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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修1-2【配套备课资源】3.2.1复数的加法和减法


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3.2.1

3.2.1
【学习要求】
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复数的加法和减法

1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义, 能够利用“数形结合”的 思想解题. 【学法指导】 复数的代数形式的加减法运算可以类

比多项式的加减法 运算,利用向量的加法来理解复数加法的几何意义,数 形结合.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.2.1

1.复数加法与减法的运算法则
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(1)设 z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数,则 z1+z2= (a+c)+(b+d)i _________________,z -z = (a-c)+(b-d)i .
1 2

(2)对任意 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2= z2+z1



z1+(z2+z3) (z1+z2)+z3=_______________.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.2.1

2.复数加减法的几何意义 → → 如图:设复数 z1,z2 对应向量分别为OZ1,OZ2,四边形 → OZ OZ1ZZ2 为平行四边形,则与 z1+z2 对应的向量是_____, Z→ 1 与 z1-z2 对应的向量是______. 2Z

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3.2.1

探究点一
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复数加减法的运算

我们规定,复数的加法法则如下: 设 z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数,那么(a+bi)+(c +di)=(a+c)+(b+d)i. 提出问题: 问题 1 两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
答 仍然是个复数,且是一个确定的复数.

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3.2.1

问题 2 当 b=0,d=0 时,与实数加法法则一致吗?

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一致. 它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?

问题 3 答

实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数

运算中的合并同类项.

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3.2.1

问题 4 实数的加法有交换律、结合律,复数的加 法满足这些运算律吗?并试着证明.

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满足,对任意的 z1,z2,z3∈C,有交换律:z1+z2=

z2+z1.
结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 证明:设 z1=a+bi,z2=c+di,z1+z2=(a+c)+(b+d)i, z2+z1=(c+a)+(d+b)i,
显然,z1+z2=z2+z1,同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

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3.2.1

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问题 5 则.


类比于复数的加法法则,试着给出复数的减法法

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

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3.2.1

例 1 计算: (1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); (2)1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).
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解 (1)原式=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2.

(2)原式=1+(i-1)+(-1+2i)+(-1-2i) =(1-1-1-1)+(1+2-2)i=-2+i.

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3.2.1

小结
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复数的加减法运算,就是实部与实部相加减做实

部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把 i 看作字母,类 比多项式加减中的合并同类项.

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3.2.1

跟踪训练 1 计算:(1)2i-[(3+2i)+3(-1+3i)]; (2)(a+2bi)-(3a-4bi)-5i(a,b∈R).
解 (1)原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-11i=-9i.
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(2)原式=-2a+6bi-5i=-2a+(6b-5)i.

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3.2.1

探究点二

复数加减法的几何意义

问题 1 复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量 加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗?
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→ → 如图,设OZ1,OZ2分别与复数 → a+bi,c+di 对应,则有OZ =(a,b), 答
1

→ OZ2=(c,d),由向量加法的几何意义 → → OZ1+OZ2=(a+c,b+d), → → 所以OZ +OZ 与复数(a+c)+(b+d)i 对应,复数的加法
1 2

可以按照向量的加法来进行.

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3.2.1

问题 2 怎样作出与复数 z1-z2 对应的向量?

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答 z1-z2 可以看作 z1+(-z2).因为复数的加法可以按 照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或 → 三角形法则作出与 z -z 对应的向量(如图).图中OZ 对
1 2 1

→ 应复数 z1,OZ2对应复数 z2,则Z→ 1对应复数 z1-z2. 2Z

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3.2.1

例 2 如图所示,平行四边形 OABC 的顶点 O,A,C 分 别表示 0,3+2i,-2+4i.求: → (1)AO表示的复数;
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→ (2)对角线CA表示的复数; → (3)对角线OB表示的复数.
→ → → (1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i. → → → → (2)因为CA=OA-OC,所以对角线CA表示的复数为(3+ 解
2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → (3)因为对角线OB=OA+OC,所以对角线OB表示的复数
为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法.

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3.2.1

跟踪训练 2 复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i, 它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点, 求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

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设复数 z1,z2,z3 在复平面内所对应的点

分别为 A,B,C,正方形的第四个顶点 D 对 应的复数为 x+yi(x,y∈R),如图. → → → 则AD=OD-OA=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i, → → → BC=OC-OB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
→ → ∵AD=BC,∴(x-1)+(y-2)i=1-3i.
?x-1=1 ? ∴? ?y-2=-3 ? ?x=2 ? ,解得? ?y=-1 ?



故点 D 对应的复数为 2-i.

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3.2.1

探究点三

复数加减法的综合应用

例 3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
解 方法一 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
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∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1, ∴a2+b2=c2+d2=1,
(a-c)2+(b-d)2=1




由①②得 2ac+2bd=1,
∴|z1+z2|= ?a+c?2+?b+d?2 = a2+c2+b2+d2+2ac+2bd= 3.

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方法二

设 O 为坐标原点,

z1,z2,z1+z2 对应的点分别为 A,B,C. ∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
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∴△OAB 是边长为 1 的正三角形,
∴四边形 OACB 是一个内角为 60° ,边长为 1 的菱形, 且|z1+z2|是菱形的较长的对角线 OC 的长,
→ ∴|z1+z2|=|OC|
= → → → → |OA|2+|AC|2-2|OA||AC|cos 120° 3. =

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3.2.1

小结

(1)设出复数 z=x+yi(x,y∈R),利用复数相

等或模的概念,可把条件转化为 x,y 满足的关系式, 利用方程思想求解, 这是本章“复数问题实数化”思
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想的应用. (2)在复平面内,z1,z2 对应的点为 A,B,z1+z2 对应 的点为 C,O 为坐标原点,则四边形 OACB①为平行 四边形;②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为矩 形;③若|z1|=|z2|,则四边形 OACB 为菱形;④若|z1| =|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为正方形.

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3.2.1

跟踪训练 3

本例中,若条件变成|z1|=|z2|=1,|z1+z2|

= 2.求|z1-z2|.

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由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2,

知 z1,z2,z1+z2 对应的点是一个边长为 1 的正方形的三 个顶点,所求|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长, 所以|z1-z2|= 2.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3.2.1

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1 1 1.复数 z1=2- i,z2= -2i,则 z1+z2 等于( C ) 2 2 3 5 A.0 B. + i 2 2 5 5 5 3 C. - i D. - i 2 2 2 2 1 1 5 5 解析 z1+z2=(2+2)-(2+2)i=2-2i.

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3.2.1
( B )

2.若 z+3-2i=4+i,则 z 等于 A.1+i C.-1-i
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B.1+3i D.-1-3i

解析 z=4+i-(3-2i)=1+3i.

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3.2.1

→ → → 3.在复平面内,O 是原点,OA,OC,AB表示的复数分 → 别为-2+i,3+2i,1+5i,则BC表示的复数为 ( C ) A.2+8i B.-6-6i
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C.4-4i

D.-4+2i

→ → → → → → 解析 BC=OC-OB=OC-(AB+OA)=4-4i.

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3.2.1
( B )

4.若|z-1|=|z+1|,则复数 z 对应的点在 A.实轴上 C.第一象限
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B.虚轴上 D.第二象限

解析 ∵|z-1|=|z+1|,
∴点 Z 到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点 Z 在 以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.

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3.2.1

1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合
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律,复数的减法是加法的逆运算. 2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行 四边形法则.复数减法的几何意义就是向量 减法的三角形法则.


《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修1-2【备课资源】2.1.3

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