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高中数学 (3.2.3 直线的一般式方程)示范教案 新人教A版必修2


3.2.3

直线的一般式方程
整体设计

教学分析 直线是最基本、最简单的几何图形,它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具,它 既能为进一步学习作好知识上的必要准备, 又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方 法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容,在学习了直线方程的几种特殊形式的基 础上,归纳总结出直线方程的一般形式

.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直 线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重 点,但由于学生刚接触直线和直线方程的概念,教学中要求不能太高,因此对直角坐标系中 直线与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线,给 出一点和直线的方向也可以确定一条直线,由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后, 均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数 A、B、C 的几何意义不很鲜明,常常要化为斜 截式和截距式,所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式,归纳出它们的 方程的类型都是二元一次方程, 推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想, 通过直 线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想,进一步研究一般式系数 A、B、C 的几何意义 时,渗透数形结合的数学思想. 三维目标 1.掌握直线方程的一般式, 了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系, 培 养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距式,培养学生归纳、 概括能力,渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训练. 重点难点 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系,关键是直线方程 各种形式的互化. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.前面所学的直线方程的几种形式,有必要寻求一种更好的形式,那么怎样的形式才 能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路 2.由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1)斜率是 1,经过点 A(1,8) ;(2)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点 P1 (-1,6) 、P2(2,9) ;(4)y 轴上的截距是 7,倾斜角是 45°. 由 两 个 独 立 条 件 请 学 生 写 出 直 线 方 程 的 特 殊 形 式 分 别 为 y-8=x-1 、

x y ? =1 、 ?7 7

y ? 6 x ?1 ? 、 y=x+7, 教师利用计算机动态显示, 发现上述 4 条直线在同一坐标系中重合. 9 ? 6 2 ?1
原来它们的方程化简后均可统一写成: x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式, 这就 是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课 新知探究

1

提出问题 ①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于 x,y 的二元一次方程? ②关于 x,y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0(其中 A、B 不同时为零)是否都表示一条直 线? ③我们学习了直线方程的一般式,它与另四种形式关系怎样,是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式 Ax+By+C=0,系数 A、B、C 有什么几何意义?什么场合下需 要化成其他形式?各种形式有何局限性? 讨论结果:①分析:在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α . 1°当 α ≠90°时,它们都有斜率,且均与 y 轴相交,方程可用斜截式表示:y=kx+b. 2°当 α =90°时,它的方程可以写成 x=x1 的形式,由于在坐标平面上讨论问题,所以这个 方程应认为是关于 x、y 的二元一次方程,其中 y 的系数是零. 结论 1°:直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程. ②分析:a 当 B≠0 时,方程可化为 y=-

A C x- ,这就是直线的斜截式方程,它表示斜率为 B B

A C ,在 y 轴上的截距为- 的直线.b 当 B=0 时,由于 A、B 不同时为零必有 A≠0,方程化 B B C 为 x=- ,表示一条与 y 轴平行或重合的直线. A
结论 2°:关于 x,y 的一次方程都表示一条直线. 综上得:这样我们就建立了直线与关于 x,y 的二元一次方程之间的对应关系 . 我们把 Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式. 注意:一般地,需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式 (初中时学过的一次函数) 把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案,最后得出能进行互化. ④待学生通过练习后师生小结: 特殊形式必能化成一般式; 一般式不一定可以化为其他形式 (如特殊位置的直线) ,由于取点的任意性,一般式化成点斜式、两点式的形式各异,故一 般式化斜截式和截距式较常见;特殊形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截 距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形(如图 1).

图1 ⑤列表说明如下: 形 式 点斜式 斜截式 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 局限 除 x=x0 外 除 x=x0 外 各常数的几何意义 (x1,y1)是直线上一个定 点,k 是斜率 k 是斜率,b 是 y 轴上的截距

2

两点式

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? =1 a b
Ax+By+C=0

除 x=x0 和 y=y0 外 除 x=x0、y=y0 及 y=kx 外

(x1,y1)、(x2,y2)是直线上两 个定点 a 是 x 轴上的非零截距,b 是 y 轴上的非零截距 当 B≠0 时,-

截距式

一般式

无 率,-

A 是斜 B

C 是 y 轴上的截距 B

应用示例

4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3 4 4 解:经过点 A(6,-4)且斜率为- 的直线方程的点斜式方程为 y+4=- (x-6). 3 3
例 1 已知直线经过点 A(6,-4),斜率为化成一般式,得 4x+3y-12=0. 变式训练 1.已知直线 Ax+By+C=0, (1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线? (2)系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? (3)系数满足什么条件时,只与 x 轴相交? (4)系数满足什么条件时,是 x 轴? (5)设 P(x0,y0)为直线 Ax+By+C=0 上一点, 证明这条直线的方程可以写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0. 答案: (1)C=0; (2)A≠0 且 B≠0; (3)B=0 且 C≠0; (4)A=C=0 且 B≠0; (5)证明:∵P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上, ∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0. ∴A(x-x0)+B(y-y0)=0. 2.(2007 上海高考,理 2)若直线 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1 平行,则 m=____________. 答案:-

2 3

例 2 把直线 l 的方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截 距,并画出图形. 解:由方程一般式 x-2y+6=0, ① 移项,去系数得斜截式 y=

x +3. 2



由②知 l 在 y 轴上的截距是 3,又在方程①或②中,令 y=0,可得 x=-6. 即直线在 x 轴上的截距是-6. 因为两点确定一条直线,所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在 x 轴,y 轴上的 截距点),过这两点作出直线 l(图 2).

3

图2 点评:要根据题目条件,掌握直线方程间的“互化”. 变式训练 直线 l 过点 P(-6,3),且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 3 倍,求直线 l 的方 程. 答案:x+3y-3=0 或 x+2y=0. 知能训练 课本本节练习 1、2、3. 拓展提升 求证:不论 m 取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过一个定点,并求出此定点 的坐标. 解:将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0, 它表示过两直线 x+3y-11=0 与 2x-y-1=0 的交点的直线系. 解方程组 ?

? x ? 3 y ? 11 ? 0, ? x ? 2, ,得 ? . ?y ? 3 ?2 x ? y ? 1 ? 0,

∴直线恒过(2,3)点. 课堂小结 通过本节学习,要求大家: (1) 掌握直线方程的一般式, 了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系; (2)会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距式; (3)通过学习,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意语言表述能力的训练. 作业 习题 3.2 A 组 11. 设计感想 本节课的教学流程是这样设计的: 激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网 络→变式训练→迁移应用→小结归纳.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点,但 由于学生刚接触直线和直线方程的概念, 教学中要求不能太高, 因此对直角坐标系中直线与 关于 x,y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线,给出一点和 直线的方向也可以确定一条直线, 由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后, 均应统一 到一般式.直线的一般式方程中系数 A、B、C 的几何意义不很鲜明,常常要化为斜截式和截 距式,所以各种形式应会互化.

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