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09.02.25高二理科数学《1.1 分类计数原理与分步计数原理(2)》


长沙市第一中学高二数学备课组

选修 2-3

1.1

1.1 分类计数原理与分步计数原理(二)

一、教学目标: 1、引导学生归纳得出两个计数原理,初步区分“分类”与“分步” , 2、掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单问题. 二、教学的重点与难点 1、归纳得出分类加

法计数原理与分步乘法计数原理。 2、正确理解“完成一件事情”的含义,根据实际问题的特征,正确地区分“分步”与“分类” 。 三、教学过程 (一)复习分类计数原理与分步计数原理:做书上 P6 面的练习。 (二)举例应用 例 1.集合 A ? ? , ? 3?, B ? ?? 1 ? 2,4?.从 A 、 B 中各取 1 个元素作为点 P?x,y ? 的坐标. 1 2, , 3, (1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个? 解; (1)一个点的坐标有 x 、 y 两个元素决定,它们中有一个不同则表示不同的点.可以分为两类:

A 中的元素为 x , B 中的元素为 y 或 A 中的元素为 y , B 中的元素为 x ,共得到 3×4+4×3=24
个不同的点. (2)第一象限内的点,即 x 、 y 均为正数,所以只能取 A 、 B 中的正数,共有 2×2+2×2=8 个不同的点. 注意:有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类” “分步”可以解决的,而要将“分类” “分步”结合起来 运用.一般是先“分类” ,然后再在每一类中“分步” ,综合应用分类计数原理和分步计数原理. 例 2. 有不同的中文书 9 本, 不同的英文书 7 本, 不同的日文书 5 本. 从其中取出不是同一国文字的书 2 本, 问有多少种不同的取法? 解:取出不是同一国文字的书 2 本,可以分为三类:中英、中日、英日,而每一类中又都可分两步来取, 因此有 N ? 9 ? 7 ? 7 ? 5 ? 9 ? 5 ? 143 种不同的取法. 例 3.教材 P6 面的例 5。 例 4.教材 P7 面的例 6。 例 5.教材 P6 面的例 7。 练习;1 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的 某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种? 解: 按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。 2.如图,从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通; 从甲地到丁地有 4 条路可通, 从丁地到丙地有 2 条路可通。 甲地 乙地 从甲地到丙地共有多少种不同的走法?

3.某艺术组有 9 人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中 7 人会钢琴,3 人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各 1 人,有多少种不同的选法?
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丁地

丙地

长沙市第一中学高二数学备课组

选修 2-3

3.解:由题意可知,在艺术组 9 人中,有且仅有一人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”,只会 ) 钢琴的有 6 人,只会小号的有 2 人,把会钢琴、小号各 1 人的选法分为两类: 第一类:多面手入选,另一人只需从其他 8 人中任选一个,故这类选法共有 8 种. 第二类:多面手不入选,则会钢琴者只能从 6 个只会钢琴的人中选出,会小号的 1 人也只能从只会小 号的 2 人中选出,放这类选法共有 6×2=12 种,因此有 N ? 8 ? 6 ? 2 ? 20 种. 故共有 20 种不同的选法. 注意:像本题中的“多面手”可称为特殊“对象” ,本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类” 是常用的方法. 4.教材 P10 面的练习 作业: 《习案》作业二

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