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广东省深圳高级中学2017届高三上学期第一次考试理科数学试卷


2016—2017 学年深圳市高级中学高三年级第一次考试

理 科 数 学
命题人:雷 蕾 王会丹 审题人:张宏伟
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 上单调递增的是 A.y=ex B.y=lnx2 C

.y= x D.y=sinx ( )

? π? 2.函数 f(x)=sin x-cos?x+6?的值域为 ? ? A.[-2,2] B.[- 3, 3]
3 2

( C.[-1,1] ? 3 3? D.?- , ? 2 2 ? ?

).

3.已知函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是

( A.(-1,2) C.(-3,6)
4.若 f ( x ) ? x ? 2
2

).

B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ?
0

1





1 1 C. D.1 3 3 5.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于
A. ?1 B. ?

(

).

3 A. 2

3 3 B. 2
2 2

C.

3+ 6 2

D.

3+ 39 4
( )

6.函数 y ? ln cos x(? ? ? x ? ? ) 的图象是

·1·

π? π ? 7. 将函数 y=sin?6x+4?的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍, 再向右平移8个单位, ? ? 得到的函数的一个对称中心是 ?π ? A.?2,0? ? ?
7 9
? 1

( ?π ? C.?9,0? ? ? ?π ? D.?16,0? ? ?

).

?π ? B.?4,0? ? ?

8.. 设 a ? ( ) 4 , b ? ( ) 5 , c ? log 2

9 7

1

7 ,则 a, b, c 的大小顺序是 9
C、 c ? b ? a D、 b ? c ? a





A、 b ? a ? c

B、 c ? a ? b

9.若 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? , f (0) ? A. f ( x ) 在 ( ? C. f ( x ) 在 (0,

2 ,则(



? ?

?

, ) 单调递增 4 4

B. f ( x ) 在 ( ?

? ?

, ) 单调递减 4 4

10.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图像分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为 ( ) A.1 1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2

2

) 单调递增

D. f ( x ) 在 (0,

?

2

) 单调递减

11.已知函数 f ( x) ?

x e
x

( x ? R) ,若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好有 3 个不相等的实数根,
( )

则实数 m 的取值范围为 A. (1,

2e ? 1) 2e

B. (0,

2e ) 2e

C. (1, ? 1)

1 e

D. (

2e ,1) 2e

12 .设 a ?

x 2 ? xy ? y 2 , b ? p xy , c ? x ? y ,若对任意的正实数 x, y ,都存在以 a, b, c 为三边长
( C. ( , ) )

的三角形,则实数 p 的取值范围是 A. (1,3) B. ?1, 2?

1 7 2 2

D.以上均不正确

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
x ?1 ? ? 2e , ( x ? 2) 13.函数 f(x)= ? ,则不等式 f(x)>2 的解集为 2 ? ?log3 ( x ? 1), ( x ? 2)



·2·

14.已知 sin ?

7? 4 3 ? ? 2? ? ,则 sin ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? 6 5 ? ? 3 ?

? ? 的值是 ?



15. 在

中,内角

、 、 的对边分别为 、 、 ,且 .



,则

面积的最大值为

16. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件

? ? 1 ? x 2 , x ? [?1, 0] (1) f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , (2) f ( x) ? f ( ?2 ? x), (3) f ( x) ? ? ? ?1 ? x, x ? (0,1]

?2 x , x?0 ? g ( x )= f ( x ) ?log 1 x, x ? 0 的图像在区间[-3, 3 ]上公共点个数为 则函数 与函数 ? ? 2



三、解答题: 本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图 ?ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, 且 AD?AC ? 0 , sin ?BAC ? (Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cos C .

???? ????

2 2 , AB ? 3 2, BD ? 3 . 3

18 (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当 天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝,

n ? N )的函数解析式.
(Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列,数学期 望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,从平均利润来看,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由.

·3·

19(本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是菱形,
D1
A1

C1 B1

AC ? BD ? O , AO ? 底面 ABCD , AB ? AA1 ? 2 . 1
(Ⅰ)证明:平面 ACO ? 平面 BB1D1D ; 1 (Ⅱ)若 ?BAD ? 60 ,求二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值.
?

D O A B

C

20. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间;

2a ?a ? R? x

(Ⅱ)当 x ? 2 , x ln ? x ?1? ? a ? x ? 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知函数

f ? x ? ? 5 ? ln x , g ? x ? ?

kx ?k ? R? x ?1

(I)若函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与函数 y ? g ? x ? 的图像相切,求 k 的值; (II)若 k ? N ,且 x ? ?1, ?? ? 时,恒有 f ? x ? ? g ? x ? ,求 k 的最大值.
?

?

?

(参考数据: ln 5 ? 1.61 , ln 6 ? 1.7918 , ln

?

2 ? 1 ? 0.8814 )

?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. E 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A, B, D, E 在 ? O 上, ED 、 AB 的延长线交于 点 C , AD 、 BE 交于点 F , AE ? EB ? BC .

D F C B O A

? ? BD ? ; (1)证明: DE
(2)若 DE ? 2 , AD ? 4 ,求 DF 的长.
·4·

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知曲线 C : ? ? 2 2 sin ? ? ? (1)将曲线 C 的方程化成直角坐标方程; (2)求 P, Q 两点的最短距离.

? ?

??

? ?? ? , P 为曲线 C 上的动点,定点 Q ?1, ? . 4? ? 4?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (1)求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (2)若 ?x ? R, f ? x ? ? t 2 ?

11 t 恒成立, 求实数 t 的取值范围. 2

2016—2017 学年深圳市高级中学高三年级第一次考试

理科数学答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请将答案写在答卷的表格内) 题号 答案 二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分,请将答案写在答卷上) 13._______________ 14.__________________ 15. _________________16. _____________ 三、解答题(第 17-21 题,每题 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分) 17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D1

C1 B1

A1
D
19.

C O B

A
·5·

2016—2017 学年深圳市高级中学高三年级第一次考试

理科数学答案
1. B

2 . B

3 . B

4 .【 解 】 设 m ?
1

? f ? x ?dx
0

1

, 则 f ( x) ?

2

, x ? 2m

?

1

0

1 1 1 1 1 f ( x)dx ? ? x 2 ? 2? f ( x)dx dx ? x3 ? 2mx ? ? 2m ? m ,所以 m ? ? . 0 0 3 3 3 0

?

?

5.B 解析 设 AB=c,BC 边上的高为 h. 由余弦定理,得 AC2=c2+BC2-2BC· ccos 60° ,即 7=c2+4 4ccos 60° ,即 c2-2c-3=0,∴c=3(负值舍去). 3 3 3 又 h=c· sin 60° =3× 2 = 2 ,故选 B.
6 .A



7. A 8..

C

9.D【解析】∵ f ( x) ? ∴ f (0) ? ∴ f ( x) ? 10. D

2 sin(? ? ) ? 2 ,∴ ? ? ? 2k? ? , k ? Z ,取 ? ? . 4 4 2 4 2 sin(2 x ?

?

? 2? ? 2 sin(? x ? ? ? ) , ? ? ? 2 ,∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ? ) , 4 T 4

?

?

?

?

? ) ? 2 cos 2 x ,故选 D. 4 4

?

11. A..当 x≤0 时, f ( x) ?

?x x 为减函数, f ( x)min ? f (0) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? x , ex e 1 ? 2x 1 1 ? 1? f ?( x) ? ,则 x ? 时, f ?( x) ? 0 , 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 ? 0, ? 上递增,在 x 2 2 2 xe ? 2?

2e ?1? ?1 ? .其大 ? ,? ? ? 上递减, f ( x)极大值 ? f ? ? ? ?2 ? ? 2 ? 2e

致图象如图 3 所示,若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好 有 3 个不相等的实数根,则 0 ? m ? 1 ?
1? m ?1? 2e ,故选 A. 2e

2e ,即 2e
图3

·6·

12 . A. 答案. A 【解析】 因 x , y 为正实数, 则c ? a, 要使 a, b, c 为三边的三角形存在, 则?

?a ? b ? c , ?a ? c ? b

即 c ? a ? b ? a ? c 恒成立,故

x y x y ? ?2 ? ? ?1 ? p ? y x y x

x y x y ? ?2? ? ? 1 ,令 y x y x

t?

x y ? ,则 t ? 2 ,取 y x

13.(1,2)∪( 10 ,+∞)

14. ?

4 5

15.

【解析】由余弦定理







,可推出

,又由





,当 ,∴
16. 6

时,

面积的最大值为


?? ? ? ?BAD ? ? cos BAD , ?2 ?

17. 解: (Ⅰ)因为 AD ? AC ,所以 sin BAC ? sin ? 所以 cos BAD ?

2 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 3 2 2 2 cos BAD 在 ?ABD 中,由余弦定理可知, BD ? AB ? AD ? 2 AB?AD? 2 即 AD ? 8 AD ? 15 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 解之得 AD ? 5 或 AD ? 3 , 由于 AB ? AD ,所以 AD ? 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 BD AB ? (Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理可知, , sin BAD sin ADB 1 2 2 又由 cos BAD ? 可知 sin BAD ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 3 3 AB sin BAD 6 所以 sin ADB ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? BD 3
·7·

因为 ?ADB ? ?DAC ? ?C ?

?
2

? ?C ,即 cos C ?

6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 3

18 解: (Ⅰ)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 , 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 , 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15), (n ? N) . (n ? 16) ? 80

……………4 分

(Ⅱ) (i) X 可取 60 , 70 , 80 .

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为 X P

60 0.1

70 0.2

80 0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 ,

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 .
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

……………10 分

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
因为 76.4 ? 76 得,应购进 17 枝. 19 解:19(Ⅰ)证明:因为 AO ? 平面 ABCD , 1 ……………4 分 D1
A1

C1

BD ? 平面 ABCD ,
所以 A1O ? BD .………………1 分 因为 ABCD 是菱形,所以 CO ? BD .………2 分

B1

D O B

C

CO .… A 因为 AO 1 ? CO ? O ,所以 BD ? 平面 A 1
因为 BD ? 平面 BB1D1D ,

所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO .…………………………………………………4 分 1 (Ⅱ) :因为 AO ? 平面 ABCD , CO ? BD ,以 O 为原点, OB , OC , OA1 方 1 向为 x , y , z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.………………………5 分

???

??? ?

??? ?

·8·

因为 AB ? AA1 ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

所以 OB ? OD ? 1 , OA ? OC ? 3 , OA1 ?

AA12 ? OA2 ? 1 .………………6 分

则 B ?1,0,0 ? , C 0, 3, 0 , A 0, ? 3, 0 , A 1 ? 0,0,1? , 所以 BB1 ? AA1 ? 0, 3,1 , OB1 ? OB + BB1 ? 1, 3,1 .………………………7 分 设平面 OBB1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 因为 OB ? ?1, 0, 0? , OB1 ? 1, 3,1 ,

?

?

?

?

??? ?

??? ?

?

?

??? ?

??? ? ??? ?

?

?
D

z
A1

D1

C1

B1

???

??? ?

?

?

A

O

C B x

y

? ? x ? 0, 所以 ? ? ? x ? 3 y ? z ? 0.
令 y ? 1 ,得 n ? 0,1, ? 3 .…………9 分

?

?

同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m ? ?1,0, ?1? .………………………………10 分 所以 cos ? n, m ??

3 6 .…………………………………………………11 分 ? 4 2 2

因为二面角 B ? OB1 ? C 的平面角为钝角, 所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ? 20.

6 4

.……………………………………12 分

解 :( Ⅰ ) 由 题 易 知 函 数
2

f ? x? 的 定 义 域 为

?1, ???



f ?( x) ?

1 2a x ? 2ax ? 2a ,……………2 分 ? 2 ? x ?1 x x 2 ( x ? 1) 2 2 设 g ( x) ? x ? 2ax ? 2a, ? ? 4a ? 8a ? 4a(a ? 2)
①当? ? 0,即0 ? a ? 2时, g ( x) ? 0, 所以f ?( x) ? 0, f ( x)在(1, ??)上是增函数 ………………………………3 分

②当a ? 0时, g ( x)的对称轴x ? a, 当x ? 1时, g ( x) ? g (1) ? 0 所以f ?( x) ? 0, f ( x)在(1, ??)是增函数
………………………………4 分

·9·

③当a ? 2时, 设x1 , x2 ( x1 ? x2 )是方程x 2 ? 2ax ? 2a ? 0的两个根 则x1 ? a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? a ? a 2 ? 2a 当1 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(1, x1 ), ( x2 , ??)上是增函数 当x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 )上是减函数
综合以上可知:当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,无单调减区间; 当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调递增区间为 1, a ? a2 ? 2a , a ? a 2 ? 2a , ?? , 单调减区间为 a ? a 2 ? 2a , a ? a 2 ? 2a ; ………………………………5 分

?

?

?

??

?

………………………………6 分

(Ⅱ)当 x ? 2 时, x ln ? x ? 1? ? a ? x ? 2 ? ? ln ? x ? 1? ? a ?

2a ? f ( x) ? a ? 0 x

………………………………………………7 分

令h( x) ? f ( x) ? a,由 (Ⅰ)知 ①当a ? 2时, f ( x)在(1, ??)上是增函数, 所以h( x)在(2, ??)上是增函数

因为当x ? 2时, h( x) ? h(2) ? 0, 上式成立;
②当a ? 2时, 因为f ( x)在(a - a 2 ? 2a , a ? a 2 ? 2a )上是减函数, 所以h( x)在
(2, a ? a 2 ? 2a )上是减函数,

所以当x ? (2, a ? a 2 ? 2a )时, h( x) ? h(2) ? 0, 上式不成立.
综上, a 的取值范围是 ? ??,2? . ………………………………………………12 分 21. 【解析】 : (I)已知 f ?1? ? 5 ,且 f ? ? x ? ?

1 ,从而得到 f ? ?1? ? 1 . x

函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为: y ? 5 ? x ? 1 ,即 y ? x ? 4 .………………2 分

?

?

kx ? k ? R ? 相切于点 P ? x0 , y0 ? , x ?1 k 从而可得 g? ? x0 ? ? 1, g ? x0 ? ? x0 ? 4 ,又 g ? ? x ? ? ,因此有 2 ? x ? 1?
方法 1:设直线 y ? x ? 4 与 g ? x ? ?

k ? ? ?1 2 ? g ? x0 ? ? ? x0 ? 1? ? x0 ? 2 ? x0 ? ?2 ? ,解得 ? 或? .………………5 分 ? ? k ? 9 ?k ? 1 ? kx0 ? x ? 4 0 ? ? x0 ? 1 ?y ? x ? 4 ? 2 方法 2:联立 ? kx ,得 x ? ?5 ? k ? x ? 4 ? 0 , y? ? x ?1 ?
所以 ? ? ? 5 ? k ? ? 16 ? 0 ,解得 k ? 1或k ? 9 .………………5 分
2

·10·

(II)方法一:当 x ? ?1, ?? ? 时, 5 ? ln x ? 等价于当 x ? ?1, ?? ? 时 k ? 设 h ? x? ?

? x ? 1?? 5 ? ln x ? 恒成立.
x

kx 恒成立, 1? x
………………6 分

x ? 4 ? ln x ? x ? 1? x2 x 1 x ?1 ? 0 ,所以 p ? x ? 在 x ? ?1, +?? 递增。 记 p ? x ? ? x ? 4 ? ln x ? x ? 1? ,则 p? ? x ? ? 1 ? ? x x 又 p ? 5? ? 1 ? ln5 ? 0 , p ? 6? ? 2 ? ln 6 ? 0 ,………………8 分

? x ? 1?? 5 ? ln x ?

? x ? 1? ,则 h? ? x ? ?

所以 p ? x ? 在 x ? ?1, +? ? 存在唯一的实数根 m ? ? 5,6? ,使得 p ? m? ? m ? 4 ? ln m ? 0 因此,当 x ? ?1, m? 时, p ? x ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 ,则 h ? x ? 在 x ? ?1, m? 递减; 当 x ? ? m, ??? 时, p ? x ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 ,则 h ? x ? 在 x ? ? m, ??? 递增; 所以 x ? ?1, +? ? 时, h ? x ?min ? h ? m ? ?



? m ? 1?? 5 ? ln m ?

m ? m ? 1?? m ? 1? ? m ? 1 ? 2 ………………10 分 由①可得 ln m ? m ? 4 ,所以 h ? m ? ? m m 1 ? 36 49 ? 而 m ? ? 5,6? , m ? ? 2 ? ? , ? ,又 h 3 ? 2 2 ? 8 m ? 5 6 ? ? 36 ? p 3 ? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? ln 3 ? 2 2 ? 0 ,所以 m ? 5,3 ? 2 2 , 因此 h ? m ? ? ? ,8 ? , ? 5 ? ? 又 k ? N ,所以 kmax ? 7 .………………12 分 kx kx 方法二:当 x ? ?1, ?? ? 时, 5 ? ln x ? 恒成立,记 h ? x ? ? 5 ? ln x ? 1? x 1? x 等价于当 x ? ?1, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 恒成立. ………………6 分

?

?

?

?

?

?

?

?

h? ? x ? ?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? 1 1 k ? ? 2 x ?1 ? x ?2 x ?1 ? x ?
2

①当 ? ? ? k ? 2 ? ? 4 ? 0 时,即 0 ? k ? 4 时,

h? ? x ? ? 0 恒成立, h ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 5 ?
②当 k ? 0 时, h? ? x ? ? 0 恒成立,

k ? 3 ? 0 .………………7 分 2

k ? 3 ? 0 .………………8 分 2 ③当 k ? 4 时, ? ? 0 时,设 h? ? x ? ? 0 ,的两根为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,

h ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 5 ?

则?

h ? x ? 在 x ? ?1, x2 ? 单调递减,在 x ? ? x2 , ??? 单调递增,
·11·

?0 ? x1 ? 1 ? x1 ? x2 ? k ? 2 ? 2 2 ,所以 ? ,且 x2 ? ? 2 ? k ? x2 ? 1 ? 0 x ? 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? 1

所以 h ? x ?min ? h ? x2 ? ? 5 ? ln x2 ? 由 于

kx2 ………………9 分 1 ? x2
, 所 以 , 所 以

x22 ? ? 2 ? k ? x2 ? 1 ? 0

k?

x22 ? 2 x2 ? 1 1 ? x2 ? ? 2 h ? x ?min ? h ? x2 ? ? 5 ? ln x2 ? ?1? x2 ? ? ln x2 ? x2 ? 4 x2 x2
1 1? x ?1 ? ?0 x x

设 H ? x ? ? ln x ? x ? 4 ? x ? 1? ,则 H ? ? x ? ?

H ? x ? ? ln x ? x ? 4 在 ?1, ?? ? 上递减,且 H ?5? ? ln5 ?1 ? 0, H ? 6? ? ln 6 ? 2 ? 0
所以 H ? x ? 在 x ? ?1, +? ? 存在唯一的实数根 m ? ? 5,6? ,使得 H ? m? ? ln m ? m ? 4 ? 0 因此,当 x ? ?1, m? 时, H ? x ? ? 0 ;当 x ? ? m, ??? 时, H ? x ? ? 0

1 ? 2 ………………10 分 m 1 1 ? 36 49 ? 而 m ? ? 5,6? , m ? ? 2 ? ? , ? ,又 m ? 3 ? 2 2 时, m ? ? 2 ? 8 m m ? 5 6 ?
所以 k ? m ?

H 3 ? 2 2 ? ln 3 ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 0 ,
1 ? 36 ? ? ? 2 ? ? ,8 ? , 又 k ? N ,所以 kmax ? 7 .…………12 分 m 5 ? ? 22. 【解析】 (1)证明:∵ EB ? BC ,∴ ?C ? ?BEC . ∵ ?BED ? ?BAD ,∴ ?C ? ?BED ? ?BAD . ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB , ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD . ∴ ?EAD ? ?C ,∴ ?BAD ? ?EAD .
所以 m ? 5,3 ? 2 2 , 因此 m ?

?

?

?

?

?

?

? ? BD ? . ∴ DE
(2)由(1)知 ?EAD ? ?C ? ?FED , ∵ ?EAD ? ?FDE ,∴ ?EAD ∽ ?FED ,∴ ∵ DE ? 2 , AD ? 4 ,∴ DF ? 1 . 23. 解: (1)由 ? ? 2 2 sin ? ? ?

……………5 分

DE AD ? . DF ED
……………10 分

? ?

??

2 ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ,得到 ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? , 4?

? 曲线 C 的直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 .

……………5 分

? 2 2? ?1,1? 的距离为 (2) Q 点直角坐标为 ? ? 2 , 2 ? ? , Q 点到圆心 ? ? ?
·12·

? 2? ? 2? ? ? ?1 ? 2 ? ? ?? ?1 ? 2 ? ? ? 3, ? ? ? ?

2

2

PQ 的最短距离为 3 ? 2 .

……………10 分

1 ? ? x ? 3, x ? ? ? 2 ? 1 1 ? 24. 解: (1)由题意得 f ? x ? ? ?3 x ? 1, ? ? x ? 2 ,当 x ? ? 时, 不等式化为 ? x ? 3 ? 2 ,解得 2 2 ? ? x ? 3, x ? 2 ? ?
x ? ?5,? x ? ?5 ,当 ?

1 ? x ? 2 时, 不等式化为 3 x ? 1 ? 2 ,解得 x ? 1,?1 ? x ? 2 ,当 x ? 2 时, 不等 2

式化为 x ? 3 ? 2 ,解得 x ? ?1,? x ? 2 ,综上, 不等式的解集为

? x | x ? 1或x ? ?5? .
(2)由(1)得 f ? x ?min ? ?

……………5 分

5 2 11 1 ?1 ? ? t ? t ,解得 ? t ? 5 ,综上, t 的取值范围为 ? ,5? . 2 2 2 ?2 ?
……………10 分

2016—2017 学年深圳市高级中学高三年级第一次考试

理 科 数 学
命题人:雷 蕾 王会丹 审题人:张宏伟
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. ) 1. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 上单调递增的是( ) A.y=ex 【答案】B B.y=lnx2 C.y= x D.y=sinx

? π? 2.函数 f(x)=sin x-cos?x+6?的值域为( ? ? A.[-2,2] B.[- 3, 3]

).

B ? 3 3? D.?- , ? 2? ? 2

C.[-1,1]
·13·

3.已知函数 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是

3

2

( A.(-1,2) C.(-3,6) 解析

).

B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

f′(x)=3x2+2ax+(a+6), 因为函数有极大值和极小值, 所以 f′(x)=0 有两个

不相等的实数根,所以 Δ=4a2-4×3(a+6)>0,解得 a<-3 或 a>6. 答案 B
2

4.若 f ( x ) ? x ? 2 A. ?1 【 解

?

1

0

f ( x)dx, 则 ? f ( x )dx ? (
0

1

) D.1

B. ? 】

1 3


C.

1 3
1 0

m ? ? f ? x ?dx





f(

? 2 x) ?

x ,2

m

?

1

0

1 1 1 1 1 f ( x)dx ? ? x 2 ? 2? f ( x)dx dx ? x3 ? 2mx ? ? 2m ? m ,所以 m ? ? . 0 0 3 3 3 0

?

?

1

5.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于 3 A. 2 解析 3 3 B. 2 C. 3+ 6 2 D. 3+ 39 4

(

).

设 AB=c,BC 边上的高为 h. -

由余弦定理,得 AC2=c2+BC2-2BC· ccos 60° ,即 7=c2+4 4ccos 60° ,即 c2-2c-3=0,∴c=3(负值舍去). 3 3 3 又 h=c· sin 60° =3× 2 = 2 ,故选 B. 答案 B

6.函数 y ? ln cos x(? ? ? x ? ? ) 的图象是
2 2

(A



·14·

π? π ? 7. 将函数 y=sin?6x+4?的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍, 再向右平移8个单位, ? ? 得到的函数的一个对称中心是( ?π ? A.?2,0? ? ? ?π ? B.?4,0? ? ? ).A ?π ? C.?9,0? ? ? ?π ? D.?16,0? ? ?

7 9 1 7 ?1 4 8.. 设 a ? ( ) , b ? ( ) 5 , c ? log 2 ,则 a, b, c 的大小顺序是( 9 9 7
A、 b ? a ? c B、 c ? a ? b C、 c ? b ? a D、 b ? c ? a



C

9.若 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? , f (0) ? A. f ( x ) 在 ( ? C. f ( x ) 在 (0, 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ?

2 ,则(



? ?

?

, ) 单调递增 4 4

B. f ( x ) 在 ( ?

? ?

, ) 单调递减 4 4

2

) 单调递增

D. f ( x ) 在 (0,

?

2

) 单调递减

??

2? ? ? 2 ,∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ? ) , T 4 2 sin(? ? ) ? 2 , 4

2 sin(? x ? ? ? ) , 4

?

∴ f (0) ? ∴? ?

?

?
4

? 2 k? ?

?

2

, k ? Z ,取 ? ?

?
4



·15·

∴ f ( x) ?

2 sin(2 x ?

?

? ) ? 2 cos 2 x ,故选 D. 4 4

?

10.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图像分别交于点 M,N,则当|MN|达到最小时 t 的值为 ( )D A.1 1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2

11.已知函数 f ( x) ?

x ex

( x ? R) ,若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好有 3 个不相等的实数根,


则实数 m 的取值范围为( A. (1,

2e ? 1) 2e

B. (0,

2e ) 2e

C. (1, ? 1)

1 e

D. (

2e ,1) 2e

11.当 x≤0 时, f ( x) ?
f ?( x) ? 1 ? 2x 2 xe
x

?x x 为减函数, f ( x)min ? f (0) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? x , ex e

,则 x ?

1 1 ? 1? 时, f ?( x) ? 0 , 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 ? 0, ? 上递增,在 2 2 ? 2?

2e ?1? ?1 ? .其大 ? ,? ? ? 上递减, f ( x)极大值 ? f ? ? ? ?2 ? ? 2 ? 2e

致图象如图 3 所示,若关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好 有 3 个不相等的实数根,则 0 ? m ? 1 ?
1? m ?1? 2e ,故选 A. 2e

2e ,即 2e
图3

12 .设 a ?

x 2 ? xy ? y 2 , b ? p xy , c ? x ? y ,若对任意的正实数 x, y ,都存在以 a, b, c 为三边长


的三角形,则实数 p 的取值范围是( A. (1,3) B. ?1, 2? C. ( , )

1 7 2 2

D.以上均不正确

答案.A 【解析】因 x , y 为正实数,则 c ? a ,要使 a, b, c 为三边的三角形存在,则 ?

?a ? b ? c ,即 ?a ? c ? b

c ? a ? b ? a ? c 恒成立,故

x y x y ? ?2 ? ? ?1 ? p ? y x y x

x y x y ? ?2? ? ? 1 ,令 y x y x

t?

x y ? ,则 t ? 2 ,取 y x
·16·

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
x ?1 ? ? 2e , ( x ? 2) 13.函数 f(x)= ? ,则不等式 f(x)>2 的解集为 2 ? ?log3 ( x ? 1), ( x ? 2)



(1,2)∪( 10 ,+∞) 14.已知 sin ?

7? 4 3 ? ? 2? ? ,则 sin ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? 6 5 ? ? 3 ?

? ? 的值是 ?

.?

4 5

解:由 sin ?

? 4 4 3 ? 2? ? 得 sin(? ? ) ? , ? ? ? ? sin ? ? 6 5 5 ? 3 ?
7? 6

则 sin ? ? ?

? ?

?? 4 ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 6? 5 ? ?
、 、 的对边分别为 、 、 ,且 . , ,则

15. 在

中,内角

面积的最大值为 【答案】 【解析】 由余弦定理









可推出

,又由





,当 ,∴ 面积的最大值为 .

时,

16. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件

? ? 1 ? x 2 , x ? [?1, 0] (1) f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , (2) f ( x) ? f ( ?2 ? x), (3) f ( x) ? ? ? ?1 ? x, x ? (0,1]
·17·

?2 x , x?0 ? 则函数 f ( x ) 与函数 g ( x)= ?log 1 x, x ? 0 的图像在区间[-3, 3 ]上公共点个数为 6 ? ? 2



三、解答题: 本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分) 如图 ?ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, 且 AD?AC ? 0 , sin ?BAC ?

???? ????

2 2 , 3

AB ? 3 2, BD ? 3 .
(Ⅰ)求 AD 的长; (Ⅱ)求 cos C .

解: (Ⅰ)因为 AD ? AC ,所以 sin BAC ? sin ? 所以 cos BAD ?

?? ? ? ?BAD ? ? cos BAD , ?2 ?

2 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 3 2 2 2 cos BAD 在 ?ABD 中,由余弦定理可知, BD ? AB ? AD ? 2 AB?AD? 2 即 AD ? 8 AD ? 15 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 AD ? 5 AD ? 3 AD ? 3 AB ? AD 解之得 或 , 由于 ,所以 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 BD AB ? (Ⅱ)在 ?ABD 中,由正弦定理可知, , sin BAD sin ADB 1 2 2 又由 cos BAD ? 可知 sin BAD ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 3 3 AB sin BAD 6 所以 sin ADB ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? BD 3 ? 6 因为 ?ADB ? ?DAC ? ?C ? ? ?C ,即 cos C ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 3
18 (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售,如果当 天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝,

n ? N )的函数解析式.
(Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
·18·

(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列,数学期 望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,从平均利润来看,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 18 解: (Ⅰ)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 , 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 , 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15), (n ? N) . (n ? 16) ? 80

……………4 分

(Ⅱ) (i) X 可取 60 , 70 , 80 .

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0.2

0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76 ,

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44 .
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

……………10 分

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
因为 76.4 ? 76 得,应购进 17 枝. ……………4 分

19(本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A ? 底面 ABCD , 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , AO 1

AB ? AA1 ? 2 .
(Ⅰ)证明:平面 ACO ? 平面 BB1D1D ; 1
?

D1

C1

A1

B1

(Ⅱ)若 ?BAD ? 60 ,求二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值.

D O A
解:19(Ⅰ)证明:因为 AO ? 平面 ABCD , 1
·19·

C B
D1

C1 B1

A1

BD ? 平面 ABCD ,
所以 A1O ? BD .………………1 分 因为 ABCD 是菱形, 所以 CO ? BD .………………2 分 因为 AO 1 ? CO ? O , 所以 BD ? 平面 A1CO .……………………………………………………………3 分 因为 BD ? 平面 BB1D1D , 所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO .…………………………………………………4 分 1 (Ⅱ) :因为 AO ? 平面 ABCD , CO ? BD ,以 O 为原点, OB , OC , OA1 方 1 向为 x , y , z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.………………………5 分 因为 AB ? AA1 ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

???

??? ?

??? ?

所以 OB ? OD ? 1 , OA ? OC ? 3 , OA1 ?

AA12 ? OA2 ? 1 .………………6 分

则 B ?1,0,0 ? , C 0, 3, 0 , A 0, ? 3, 0 , A 1 ? 0,0,1? , 所以 BB1 ? AA1 ? 0, 3,1 , OB1 ? OB + BB1 ? 1, 3,1 .………………………7 分 z D1 设平面 OBB1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 因为 OB ? ?1, 0, 0? , OB1 ? 1, 3,1 , 所以 ?
A1

?

?

?

?

??? ?

??? ?

?

?

??? ?

??? ? ??? ?

?

?

C1

???

??? ?

?

?

B1

? ? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? z ? 0.

D O A B x

C

y

令 y ? 1,

得 n ? 0,1, ? 3 .…………………………………………………………9 分 同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m ? ?1,0, ?1? .………………………………10 分 所以 cos ? n, m ??

?

?

3 6 .…………………………………………………11 分 ? 4 2 2
·20·

因为二面角 B ? OB1 ? C 的平面角为钝角, 所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ?

6 4

.……………………………………12 分

20. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间;

2a ?a ? R? x

(Ⅱ)当 x ? 2 , x ln ? x ?1? ? a ? x ? 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题易知函数 f ? x ? 的定义域为 ?1, ?? ? , f ?( x) ? 设 g ( x) ? x2 ? 2ax ? 2a, ? ? 4a2 ? 8a ? 4a(a ? 2)

1 2a x 2 ? 2ax ? 2a , 2分 ? ? x ?1 x2 x 2 ( x ? 1)

①当? ? 0,即0 ? a ? 2时, g ( x) ? 0, 所以f ?( x) ? 0, f ( x)在(1, ??)上是增函数
………………………………3 分

②当a ? 0时, g ( x)的对称轴x ? a, 当x ? 1时, g ( x) ? g (1) ? 0 所以f ?( x) ? 0, f ( x)在(1, ??)是增函数
………………………………4 分

③当a ? 2时, 设x1 , x2 ( x1 ? x2 )是方程x ? 2ax ? 2a ? 0的两个根
2

则x1 ? a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? a ? a 2 ? 2a 当1 ? x ? x1或x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在(1, x1 ), ( x2 , ??)上是增函数 当x1 ? x ? x2时, f ?( x) ? 0, f ( x)在( x1 , x2 )上是减函数
综合以上可知:当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调递增区间为 ?1, ?? ? ,无单调减区间; 当 a ? 2 时, f ? x ? 的单调递增区间为 1, a ? a2 ? 2a , a ? a 2 ? 2a , ?? , 单调减区间为 a ? a 2 ? 2a , a ? a 2 ? 2a ; ………………………………5 分

?

?

?

??

?

………………………………6 分

(Ⅱ)当 x ? 2 时, x ln ? x ? 1? ? a ? x ? 2 ? ? ln ? x ? 1? ? a ?

2a ? f ( x) ? a ? 0 x

………………………………………………7 分

令h( x) ? f ( x) ? a,由 (Ⅰ)知 ①当a ? 2时, f ( x)在(1, ??)上是增函数, 所以h( x)在(2, ??)上是增函数

因为当x ? 2时, h( x) ? h(2) ? 0, 上式成立;
②当a ? 2时, 因为f ( x)在(a - a 2 ? 2a , a ? a 2 ? 2a )上是减函数, 所以h( x)在
(2, a ? a 2 ? 2a )上是减函数,

所以当x ? (2, a ? a 2 ? 2a )时, h( x) ? h(2) ? 0, 上式不成立.
综上, a 的取值范围是 ? ??,2? . ………………………………………………12 分
·21·

21. (本小题满分 12 分)已知函数

f ? x ? ? 5 ? ln x , g ? x ? ?

kx ?k ? R? x ?1

(I)若函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与函数 y ? g ? x ? 的图像相切,求 k 的值; (II)若 k ? N ,且 x ? ?1, ?? ? 时,恒有 f ? x ? ? g ? x ? ,求 k 的最大值.
?

?

?

(参考数据: ln 5 ? 1.61 , ln 6 ? 1.7918 , ln 【解析】 : (I)已知 f ?1? ? 5 ,且 f ? ? x ? ?

?

2 ? 1 ? 0.8814 )

?

1 ,从而得到 f ? ?1? ? 1. x 函数 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线方程为: y ? 5 ? x ? 1 ,即 y ? x ? 4 .………………2 分 kx ? k ? R ? 相切于点 P ? x0 , y0 ? , x ?1 k 从而可得 g? ? x0 ? ? 1, g ? x0 ? ? x0 ? 4 ,又 g ? ? x ? ? ,因此有 2 ? x ? 1?
方法 1:设直线 y ? x ? 4 与 g ? x ? ?

k ? ? ?1 2 ? g ? x0 ? ? ? x0 ? 1? ? x0 ? 2 ? x0 ? ?2 ? ,解得 ? 或? .………………4 分 ? ? k ? 9 ?k ? 1 ? kx0 ? x ? 4 0 ? ? x0 ? 1 ?y ? x ? 4 ? 2 方法 2:联立 ? kx ,得 x ? ?5 ? k ? x ? 4 ? 0 , y? ? x ?1 ?
所以 ? ? ? 5 ? k ? ? 16 ? 0 ,解得 k ? 1或k ? 9 .………………4 分
2

(II)方法一:当 x ? ?1, ?? ? 时, 5 ? ln x ? 等价于当 x ? ?1, ?? ? 时 k ? 设 h ? x? ?

? x ? 1?? 5 ? ln x ? 恒成立.
x

kx 恒成立, 1? x
………………6 分

x ? 4 ? ln x ? x ? 1? x2 x 1 x ?1 ? 0 ,所以 p ? x ? 在 x ? ?1, +?? 递增。 记 p ? x ? ? x ? 4 ? ln x ? x ? 1? ,则 p? ? x ? ? 1 ? ? x x 又 p ? 5? ? 1 ? ln5 ? 0 , p ? 6? ? 2 ? ln 6 ? 0 ,………………8 分

? x ? 1?? 5 ? ln x ?

? x ? 1? ,则 h? ? x ? ?

所以 p ? x ? 在 x ? ?1, +? ? 存在唯一的实数根 m ? ? 5,6? ,使得 p ? m? ? m ? 4 ? ln m ? 0 因此,当 x ? ?1, m? 时, p ? x ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 ,则 h ? x ? 在 x ? ?1, m? 递减; 当 x ? ? m, ??? 时, p ? x ? ? 0 ,即 h? ? x ? ? 0 ,则 h ? x ? 在 x ? ? m, ??? 递增;
·22·



所以 x ? ?1, +? ? 时, h ? x ?min ? h ? m ? ?

? m ? 1?? 5 ? ln m ?

m m ? 1 m ? ?? ? 1? ? m ? 1 ? 2 ………………10 分 由①可得 ln m ? m ? 4 ,所以 h ? m ? ? m m 1 ? 36 49 ? 而 m ? ? 5,6? , m ? ? 2 ? ? , ? ,又 h 3 ? 2 2 ? 8 m ? 5 6 ? ? 36 ? p 3 ? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? ln 3 ? 2 2 ? 0 ,所以 m ? 5,3 ? 2 2 , 因此 h ? m ? ? ? ,8 ? , ? 5 ? ? 又 k ? N ,所以 kmax ? 7 .………………12 分 kx kx 方法二:当 x ? ?1, ?? ? 时, 5 ? ln x ? 恒成立,记 h ? x ? ? 5 ? ln x ? 1? x 1? x 等价于当 x ? ?1, ?? ? 时, h ? x ? ? 0 恒成立. ………………6 分

?

?

?

?

?

?

?

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? 1 1 k h? ? x ? ? ? ? 2 x ?1 ? x ?2 x ?1 ? x ?
①当 ? ? ? k ? 2 ? ? 4 ? 0 时,即 0 ? k ? 4 时,
2

h? ? x ? ? 0 恒成立, h ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 5 ?
②当 k ? 0 时, h? ? x ? ? 0 恒成立,

k ? 3 ? 0 .………………7 分 2

k ? 3 ? 0 .………………8 分 2 ③当 k ? 4 时, ? ? 0 时,设 h? ? x ? ? 0 ,的两根为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,

h ? x ? 在 x ? ?1, ??? 单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 5 ?

则?

h ? x ? 在 x ? ?1, x2 ? 单调递减,在 x ? ? x2 , ??? 单调递增, kx2 所以 h ? x ?min ? h ? x2 ? ? 5 ? ln x2 ? ………………9 分 1 ? x2
由 于

?0 ? x1 ? 1 ? x1 ? x2 ? k ? 2 ? 2 2 ,所以 ? ,且 x2 ? ? 2 ? k ? x2 ? 1 ? 0 x ? 1 x ? x ? 1 ? 2 ? 1 2

x22 ? ? 2 ? k ? x2 ? 1 ? 0













k?

x22 ? 2 x2 ? 1 1 ? x2 ? ? 2 h ? x ?min ? h ? x2 ? ? 5 ? ln x2 ? ?1? x2 ? ? ln x2 ? x2 ? 4 x2 x2
1 1? x ?1 ? ?0 x x

设 H ? x ? ? ln x ? x ? 4 ? x ? 1? ,则 H ? ? x ? ?

H ? x ? ? ln x ? x ? 4 在 ?1, ?? ? 上递减,且 H ?5? ? ln5 ?1 ? 0, H ? 6? ? ln 6 ? 2 ? 0
所以 H ? x ? 在 x ? ?1, +? ? 存在唯一的实数根 m ? ? 5,6? ,使得 H ? m? ? ln m ? m ? 4 ? 0
·23·

因此,当 x ? ?1, m? 时, H ? x ? ? 0 ;当 x ? ? m, ??? 时, H ? x ? ? 0

1 ? 2 ………………10 分 m 1 1 ? 36 49 ? 而 m ? ? 5,6? , m ? ? 2 ? ? , ? ,又 m ? 3 ? 2 2 时, m ? ? 2 ? 8 m m ? 5 6 ?
所以 k ? m ?

H 3 ? 2 2 ? ln 3 ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 0 ,
所以 m ? 5,3 ? 2 2 , 因此 m ?
?

?

?

?

?

?

?

1 ? 36 ? ? 2 ? ? ,8 ? , m ? 5 ?

又 k ? N ,所以 kmax ? 7 .………………12 分 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 点 A, B, D, E 在 ? O 上,ED 、AB 的延长线交于点 C ,AD 、BE 交于点 F ,AE ? EB ? BC .

? ? BD ? ; (1)证明: DE
(2)若 DE ? 2 , AD ? 4 ,求 DF 的长. 【解析】 (1)证明:∵ EB ? BC ,∴ ?C ? ?BEC . ∵ ?BED ? ?BAD ,∴ ?C ? ?BED ? ?BAD . ∵ ?EBA ? ?C ? ?BEC ? 2?C , AE ? EB , ∴ ?EAB ? ?EBA ? 2?C ,又 ?C ? ?BAD . ∴ ?EAD ? ?C ,∴ ?BAD ? ?EAD .

E D F C B O A

? ? BD ? . ∴ DE
(2)由(1)知 ?EAD ? ?C ? ?FED , ∵ ?EAD ? ?FDE ,∴ ?EAD ∽ ?FED ,∴ ∵ DE ? 2 , AD ? 4 ,∴ DF ? 1 .

……………5 分

DE AD ? . DF ED
……………10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知曲线 C : ? ? 2 2 sin ? ? ? (1)将曲线 C 的方程化成直角坐标方程; (2)求 P, Q 两点的最短距离. 解: (1)由 ? ? 2 2 sin ? ? ?

? ?

??

? ?? ? , P 为曲线 C 上的动点,定点 Q ?1, ? . 4? ? 4?

? ?

??

2 ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ,得到 ? ? 2 ? sin ? ? 2 ? cos ? , 4?

·24·

? 曲线 C 的直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 .

……………5 分

? 2 2? (2) Q 点直角坐标为 ? , 点到圆心 ? ?1,1? 的距离为 ? 2 , 2 ? ? Q ? ?
PQ 的最短距离为 3 ? 2 .

? 2? ? 2? ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 3, ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
……………10 分

2

2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (1)求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (2)若 ?x ? R, f ? x ? ? t 2 ?

11 t 恒成立, 求实数 t 的取值范围. 2

1 ? ?? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 1 ? 解: (1)由题意得 f ? x ? ? ?3 x ? 1, ? ? x ? 2 ,当 x ? ? 时, 不等式化为 ? x ? 3 ? 2 ,解得 2 2 ? ? x ? 3, x ? 2 ? ?
x ? ?5,? x ? ?5 ,当 ?

1 ? x ? 2 时, 不等式化为 3 x ? 1 ? 2 ,解得 x ? 1,?1 ? x ? 2 ,当 x ? 2 时, 不 2

等式化为 x ? 3 ? 2 ,解得 x ? ?1,? x ? 2 ,综上, 不等式的解集为

? x | x ? 1或x ? ?5? .
(2)由(1)得 f ? x ?min ? ?

……………5 分

5 2 11 1 ?1 ? ? t ? t ,解得 ? t ? 5 ,综上, t 的取值范围为 ? ,5? . 2 2 2 ?2 ?
……………10 分

……………4 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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