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14.3空间直线与平面位置关系


14.3(2)空间直线和平面的位置关系 【教学目标】 1、理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念. 2、根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角. 【教学重点与难点】 教学重点:斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念,求直线与平面所成角的基本方 法. 教学难点:确定直线在平面上的射影 【教学过程】 一、 情景引入 运动员起跑时, 腿部与地面

给你怎样一种形象?运动员投出的标枪落地以后, 标枪一定会垂 直地面吗?大都是怎样的状态?

【说明】运动员投出的标枪落地以后,大多是插在地面上的,它们的状态有时“偏陡”些, 有时“偏平”些,如何描述标枪落地时“偏陡”或“偏平”的程度呢?这就涉及到标枪所在 的直线与地面所成角的大小了,这节课我们要研究直线与平面所成的角 二、概念理解 定义:1.平面的斜线 当直线 l 与平面 ? 相交且不垂直时,叫做直线 l 与平面 ? 斜交, l 叫做平面 ? 的斜线. 斜线 l 与平面 ? 的交点 M 叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线 段.如图 14—22 2.射影 如图 14—22, 设直线 l 与平面 ? 斜交于点 M , 过 l 上任意点 A , 作平面 ? 的垂线, 垂足为 o , 我们把点 O 叫做点 A 在平面 ? 上的射影,直线 OM 叫做直线 l 在平面 ? 上的射影, 3.直线和平面所成角 规定直线 l 与其平面 ? 上的射影 OM 所成的锐角叫做直线 l 与平面 ? 所成的角. 我们规定,当直线 l 与平面 ? 垂直时,它们所成的角等于 90 ; 若直线 l 与平面 ? 平行或直线 l 在平面 ? 上时,它们所成的角为 0 ; 【说明】 点 o —点 A 在平面 ? 上的射影 AO —点 A 到平面的垂线段 直线 AM —平面的一条斜线 M —斜足 线段 AM —斜线段 直线 OM —斜线 AM 在平面上的射影 线段 OM —斜线段 AM 在平面 ? 上的射影 问题 2:

A

?

O

M

图 14—22

1.直线 l 与平面 ? 所成的角的大小与点 A 在 l 上的取法有关吗? 2.直线和平面所成角的范围是多少? 3.证明: PQ 与平面 ? 内经过点 Q 的直线所成的所有角中, ?PQP 1 最小. [说明] 直线 l 与平面 ? 所成的角的大小与点 A 在 l 上的取法无关; 直线和平面所成角的范围 是 ? 0,

? ?? ? ?? ;斜线和平面所成角的范围是 ? 0, ? ? ? 2? ? 2?

二、例题分析 例 1.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中的棱长为 ? , 求直线 AB1 和平面 A1B1C1D1 所成的角; (2)求直线 DB1 和平面 A1B1C1D1 所成的角; (3)求直线 A 1B 和平面 A 1B 1CD 所成的角 解: (1) 45 ; (2) arcsin
?

D1 A1 B1

C1

Dj

C B

A

3 ? ; (3) 30 . 3

【说明】 通过本例熟练掌握正方体的棱与面、 对角线与面的关 系,掌握求平面的斜线与平面所成角的其本步骤: “一找二证 三求”. 例 2、如图, ?BOC 在 ? 内, OA 是 ? 的斜线,

A C B O

?AOB ? ?AOC ? 60? , OA ? OB ? OC ? a ,求: OA
和平面 ? 所成角的大小 分析:此题关键是确定 A 在 ? 内的射影. 在 本 例 中 , 可 直 接 作 AH ? BC 于 H , 进 而 证 明

AH ? 平面? ,从而确认 H 是 A 在 ? 内的射影.
也可过 A 作 AH ? 平面? 于 H ,进而证明 H 在 BC 上. 可求得 OA 和平面 ? 所成角的大小为 45 .
?

【注意】○ 1 求直线与平面所成角时,首先要明确直线在该平面上的射 影(找出或作出射影),其次再转化为求三角形的内角问题。 ○ 2 一般地,凡已知直线与平面所成角时,同样先要找出直线在该平面 上的射影,才能进一步求出相关的量。 例 3、 P 为 ?ABC 所在平面外一点, O 为 P 在平面 ABC 上的射影.

(1)若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 O 点是 ?ABC 的____心; (2)若 P 到 ?ABC 三边距离相等,且 O 在 ?ABC 内部,则点 O 是 ?ABC 的____心; (3)若 PA ? BC, PB ? BC, PC ? AB ,则点 O 是 ?ABC 的____心; (4)若 PA, PB, PC 与底面 ABC 成等角,则点 O 是 ?ABC 的____心. 解:如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, O 是 P 点在平面 ? 上的射影. (1)若 PA, PB, PC 两两互相垂直,由可证得 BC ? OA, AB ? OC ,

AC ? OB , 即此时点 O 是三角形三边高的交点, 故此时点 O 是三角形的垂心, 故应填: 垂.
(2)若 P 到 ?ABC 三边的距离相等, E, F , D 分别是点 P 在三个边上的垂足,故可证得

OE , OF , OD 分别垂直于三边且相等,由内切圆的加心的定义知,此时点 O 是三角形的内
心,故应填:内; (3)若 PA ? BC ,PB ?BC ,因为 PO ⊥底面 ABC ,所以 AO ⊥ BC ,同理 BO ⊥ AC , 可得 O 是 ?ABC 的垂心;故应填:垂. (4)若 PA, PB, PC 与底面 ABC 成等角,由条件可证得 OA ? OB ? OC ,由三角形外心的 定义知此时点 O 是三角形的外心,故应填:外; 拓展:三垂线定理:平面内的一条直线,如果与穿过这个平面的 一条斜线在这个平面上的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。


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