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1.3.2函数的奇偶性1,2两课时

时间:2017-08-07


课题导入
观察下列两组函数 (1)f(x)=x2 与 f(x)=|x|; 1 (2)f(x)=-x 与 f(x)=x.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

[问题 1]

试分别作出它们的图象.

[提示]<

br />
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

[问题 2]
[提示]

它们的图象有什么特征?
2

f(x)= x ,f(x)= |x|的图象关于 y 轴对称,而 1 f(x)=- x, f(x)= 关于原点对称. x [问题 3] 对于上述函数 f(-x)与 f(x)有什么关系? [提示] 对于函数 f(x)= x2, f(- x)= x2, f(-x)= f(x) 对于函数 f(x)= |x|, f(-x)= |- x|= |x|, f(-x)= f(x) 对于函数 f(x)=-x, f(- x)=x, f(- x)=- f(x) 1 1 对于函数 f(x)= , f(-x)=- , f(-x)=- f(x). x x
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

1.3.2函数的奇偶性

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

目标引领
1.了解函数奇偶性的含义.(难点) 2.掌握判断函数奇偶性的方法.(重点、难点) 3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系 .(易混点)

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

独立自学
1.奇函数和偶函数的定义是什么? 2.奇函数与偶函数的对称性是怎样的? 3.如何判断一个函数是奇函数还是偶函数?

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

引导探究一
1.偶函数的定义: 任意 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内________ f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)就叫 一个 x,都有_____________ 做偶函数. 2.奇函数的定义: 任意 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内________ f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x)就叫 一个 x,都有______________ 做奇函数.
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

3.奇、偶函数的图象特征 原点 成中心对称图形; (1)奇函数的图象关于_________ 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中 心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. y轴 (2)偶函数的图象关于_________ 对称;反之,如果 一个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函 数.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

对奇、偶函数的理解 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称,若x是定义 域中的一个数值,则-x也必然在定义域中,因此 函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条 件是定义域关于原点对称. (2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的 ,这一点与函数的单调性不同,从这个意义上来讲 ,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性 是函数的“整体”性质. (3)如果奇函数y=f(x)的定义域内有零,则由奇函数 的定义知f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

例 1.下列函数为奇函数的是( ) A.y=-|x| B.y=2-x 1 C.y= 3 D.y=-x2+8 x
解析: A、D两项,函数均为偶函数,B项中函 数为非奇非偶,而C项中函数为奇函数. 答案: C

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

例2.已知函数f(x)=x4,则其图象( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析: f(-x)=(-x)4=x4=f(x) ∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称. 答案: B

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

3.已知函数f(x)=ax2+2x是奇函数,则实数a= ________. 解析: 由奇函数定义有f(-x)+f(x)=0,得a( -x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0. 答案: 0

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

m 4.已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=3. x (1)求 m; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解析: (1)∵ f(1)=3,即 1+ m=3, ∴ m=2. 2 (2)由 (1)知, f(x)= x+ ,其定义域是{x|x≠0},关于 x 原点对称, ? 2? 2 ? ? 又 f(- x)=-x+ =-?x+ ?=-f(x),所以此函数 ? x? -x

是奇函数.
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

引导探究二
判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x )= -x; x (2)f(x )=|x-2|+|x+2|;

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

x2+2x (3)f(x )= ; x+ 2 ?1+x ?x>0? (4)f(x )=? . ?1-x ?x<0? [思路点拨]

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

(1)f(x )的定义域为{x|x≠0}, ?1 ? 1 1 ? ? - x 又 f(- x)= - (-x)=- + x=-? ?=- f(x). ? x ? x -x ∴ f(x)是奇函数. (2)f(x )的定义域是 R, 又 f(- x)= |-x+2|+ |- x-2|= |x- 2|+|x+2|= f(x), ∴ f(x)是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域是 (-∞,-2)∪ (-2,+∞), 不关于原点对称,∴ f(x)是非奇非偶函数.
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(4)f(x )的定义域是(-∞, 0)∪ (0,+∞),关于原 点对称. 当 x>0 时,-x<0, f(- x)= 1- (-x)=1+ x=f(x); 当 x<0 时, -x>0, f(-x)= 1+ (-x)= 1-x= f(x). 综上可知,对于 x∈(-∞, 0)∪ (0,+∞),都有 f(- x)= f(x), f(x)为偶函数.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: (1)定义法:若函数定义域不关于原点对称,则 函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对 称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判 断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性. , (2)图象法:若函数图象关于原点对称,则函数 为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为 偶函数.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x )= x-1+ 1-x; 2 (2)f(x )=|x|+ x ; 3x (3)f(x )= 2 ; x +3 (4)f(x )= 1-x2+ x2-1.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

解析:

?x- 1≥0 (1)∵? ∴x=1.定义域为{1}. ?1- x≥0,

不关于原点对称,∴函数 f(x)为非奇非偶函数. (2)f(x )= |x|+ x2=2|x|, 定义域为 R, 关于原点对称,具有 f(- x)= 2|-x|=2|x|= f(x), ∴ f(x)为偶函数.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

(3)f(x )的定义域是 R, 3?-x? 3x 又 f(- x)= =- 2 =-f(x), 2 ?- x? +2 x +3 ∴ f(x)是奇函数. ?1- x2≥ 0 (4)∵? 2 ∴x= ± 1,这时 f(x)= 0,定义域 ?x - 1≥ 0 为{-1,1}. ∴函数 f(x)既是奇函数,又是偶函数.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

奇偶函数的图象及应用

2 如图所示,已知 f(x)= 2 在区间[0,+∞)上的图 x +1 象,请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内 的图象,并说明你的作图依据.

[思路点拨] 先判断f(x)的奇偶性,再利用奇偶性 作出图象.
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

2 解析: 由 f(x)= 2 知 f(x)的定义域为 R,任意 x x +1 2 2 ∈R,都有 f(-x)= = 2 = f(x),所以函 2 ?- x? +1 x + 1 数 f(x)为偶函数, 故函数 f(x)的图象关于 y 轴对称,其图象如图所示.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

若知道一个函数的奇偶性,则只需把它的定义 域分成关于原点或y轴对称的两部分,得到函数 在其中一部分上的性质和图象,利用图象的对 称性就可以推出函数在另一部分上的性质和图 象.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

2.(1)如图给出了偶函数 y=f(x)的局部图象,则 f(1)________f(3).(填“>”或“<”)

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

(2)如图给出奇函数 y=f(x)的局部图象,则 f(-2) 的值是________.

(3)若偶函数 f(x)在(-∞,0]上为增函数,则满足 f(1)≤f(a)的实数 a 的取值范围是________.
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

解析: (1)方法一:∵函数 y= f(x)是偶函数, ∴ f(- 3)= f(3), f(- 1)= f(1),又由图象可知,f(- 3)>f(- 1),∴ f(3)>f(1). 方法二:∵函数 y= f(x)是偶函数, ∴其图象关于 y 轴对称,如图,

∵ f(- 3)>f(-1),∴ f(3)>f(1).
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第一章 集合与函数概念

栏目导引

3 (2)由图象知 f(2)= , 2 又∵f(- x)=- f(x), 3 ∴ f(- 2)=-f(2)=- . 2 (3)由已知偶函数 f(x)在 (- ∞,0]上为增函数, 所以 f(x)在 (0,+∞)上是减函数, ?a≤ 0 ?a>0 ∴ f(1)≤f(a)?? 或? ?0<a≤1 或 ?1 ≥ a ?- 1≤a -1≤a≤0. 故 a∈[- 1,1]. 3 答案: (1)< (2)- (3)[-1,1] 2
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第一章 集合与函数概念

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利用函数奇偶性求解析式

若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2 -2x+3,求f(x)的解析式. [思路点拨] 先将x<0时解析式转化到x>0上求解, 同时注意根据f(x)是定义在R上的奇函数求得f(0).

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

解析: 当 x<0 时,-x>0, f(- x)= (- x)2-2(- x)+3= x2+2x+ 3, 由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=- f(- x), 所以 f(x)=-x2-2x-3. 即当 x<0 时, f(x)=-x2-2x-3. ?x2- 2x+3 ?x>0? ? 故 f(x)=?0 ?x= 0? . ? 2 ?-x -2x-3 ?x<0?

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

解答该类问题的思路是: (1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就 设在哪个区间内. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解 出 f(x). 注意,若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时, 则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必f(0)=0.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

3.(1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( ) A. 3 B. 1 C.-1 D.-3 (2)已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函 数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当 x∈ (0,+∞)时,f(x)=________.

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第一章 集合与函数概念

栏目导引

解析: (1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 所以有 f(0)= 20+2×0+ b=0,解得 b=-1, 所以当 x≥0 时, f(x)=2x+2x-1, 所以 f(-1)=- f(1)=- (21+2×1-1)=-3. (2)当 x∈ (0,+∞)时,-x∈ (-∞,0),则 f(- x) =-x- (-x)4=-x-x4.由于函数 f(x)为偶函数,所 以 f(x)= f(-x)=- x-x4,x∈ (0,+∞),从而 f(x) 4 在区间 (0,+∞)上的解析式为 f(x)=- x-x . 答案: (1)D (2)-x-x4

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第一章 集合与函数概念

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函数奇偶性与单调性的综合应用
已知奇函数 y=f(x),x∈(-1,1).在(-1,1)上是减 函数,解不等式 f(1-x)+f(1-3x)<0. [思路点拨] f?-x?+f?1-3x?<0 ―→ 由f?x?是奇函数f?1-x?<f?3x-1?
―→ 列出关于x的不等式 ―→ 结果

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第一章 集合与函数概念

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∵ y= f(x), x∈ (-1,1)是奇函数, ∴ f(- x)=-f(x), ∴ f(1-x)+ f(1- 3x)<0 可化为 f(1-x)< - f(1-3x) 即 f(1- x)<f(3x- 1).4 分

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第一章 集合与函数概念

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又∵ y= f(x)在 (-1,1)上是减函数, ?- 1<1- x<1 ? ∴ f(1-x)<f(3x-1)??-1<1-3x<1 ? ?1- x>3x- 1
? ?0<x<2 ?0<3x<2 ?? ? 1 x< ? ? 2 ?0<x<2 ? ?0<x<2 3 ?? ? ?x<1 ? 2

8分

,10 分

1 ∴0<x< .12 分 2
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第一章 集合与函数概念

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此类问题的解答思路是:先由函数的奇偶性将不 等式两边都变成只含有“f ”的式子,然后根据函 数的单调性列出不等式(组)求解,列不等式(组)时, 注意函数的定义域也是一个限制条件.

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第一章 集合与函数概念

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4.(1)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞) 时f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关 系是( ) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) (2)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6,那么 f(x)在区间[-5,-2]上有( ) A.最小值6 B.最小值-6 C.最大值-6 D.最大值6 (3)若函数y=f(x)是奇函数,且y=f(x)在[a, b](a>0)上是单调递增的,则y=f(x)在[-b,-a]上 的单调性如何?并证明你的结论.
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第一章 集合与函数概念

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解析: (1)∵f(x)为偶函数,且当x∈[0,+∞)时, f(x)为增函数. ∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3), 又∵2<3<π, ∴f(2)<f(3)<f(π), 即f(-2)<f(-3)<f(π). (2)∵奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6, ∴可设a∈[2,5],有f(a)=6. 由奇函数的性质,f(x)在[-5,-2]上必有最大值 ,且其值为f(-a)=-f(a)=-6.

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第一章 集合与函数概念

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(3)y= f(x)在 [- b,-a]上也是单调递增的. 其证明过程如下: 设-b≤x1<x2≤-a, 则 b≥-x1>- x2≥a. 又 y= f(x)在 [a, b]上单调递增, ∴ f(-x1)>f(- x2). 而 y= f(x)是奇函数, ∴ f(- x1)=-f(x1), f(- x2)=-f(x2), ∴-f(x1)>- f(x2),即 f(x1)<f(x2). 故 y= f(x)在 [- b,-a]上也是单调递增的. 答案: (1)A (2)C
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第一章 集合与函数概念

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◎判断函数 f(x)=(x-1)

1+ x 的奇偶性. 1- x

【错解】 将解析式变形为: 21+ x f(x)=- ?1-x? =- ?1+x??1-x? 1- x =- 1- x2. ∴ f(- x)=- 1- ?-x?2=- 1- x2 ∴ f(- x)= f(x),∴ f(x)为偶函数.

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第一章 集合与函数概念

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【错因】 没有考察函数定义域的对称性.
【正解】 因为函数 f(x)的定义域-1≤x<1 不关 于原点对称,故此函数为非奇非偶函数 .

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第一章 集合与函数概念

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目标升华
1.掌握判断函数奇偶性的办法; 2.运用函数的奇偶性解决综合类问题;

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第一章 集合与函数概念

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当堂诊学
完成全品作业

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强化补清

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