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2015-2016学年河北省沧州市高三(下)4月调研数学试卷(文科)(解析版)

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2015-2016 学年河北省沧州市高三(下)4 月调研数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|y=x ,x∈R},则 A∩B=( A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{1} D.? 2. (5 分)设复数 z= A. B. C. (i 为虚数单位) ,则|z|=( D. ) )
2



3. (5 分)同时掷两个均匀的正方体骰子,则向上的点数之和为 5 的概率为( A. B. C. D.

4. (5 分)焦点为(6,0)且与双曲线

﹣y =1 有相同渐近线的双曲线的方程为(

2



A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1 )

5. (5 分)执行如图的程序框图,如果输出结果为 2,则输入的 x=(

A.0

B.2

C .4

D.0 或 4

6. (5 分)若函数 f(x)=

,则 f(f(2) )=(



A.1

B.

C.

D.5

7. (5 分)命题 p:直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 互为平行的充要条件是 a=﹣2;命题 q: 若平面 α 内存在不共线的三点到平面 β 的距离相等, 则 α∥β. 对以上两个命题, 下列结论正确的是 ( ) A.命题“p 且 q”为真 B.命题“p 或¬q”为假 C.命题“¬p 且 q”为真 D.命题“p 或 q”为假

1页

8. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的恒不为 0 的函数,对任意实数 x,y∈R,都有 f(x﹣y)= 知 f(1)=2,an=f(n) ,n∈N ,则数列{an}的前 n 项和 Sn 为( n n n+1 n+1 A.2 ﹣1 B.2 C.2 ﹣1 D.2 ﹣2 9. (5 分)某几何体的三视图如图所示,此几何体的体积为(
+

,已

) )

A.4

B.6

C .8

D.9 sinx) (0≤x≤ ] C.[0,1]
2

10. (5 分)函数 y=sinx(cosx﹣ A.[ ,1+ ] B.[﹣ ,1﹣

)的值域为( D.[﹣ ,1﹣

) ]

11. (5 分)已知点 M(﹣1,﹣2)是抛物线 y =2px(p>0)的准线上一点,A,B 在抛物线上,点 F 为抛 物线的焦点,且有|AF|+|BF|=8,则线段 AB 的垂直平分线必过点( ) A. (3,0) B. (5,0) C. (3,2) D. (5,4) 3 2 12. (5 分) 已知函数 f (x) =x +ax +bx+1, 函数 y=f (x+1) ﹣1 为奇函数, 则函数 f (x) 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C .2 D.3 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)已知向量 , 满足| |=1,| |= , + =( ,1) ,则 cos< , >= .

14. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=

的取值范围是



15. (5 分)已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,该四棱锥外接球 的体积为 8 π,则△PBC 的面积为 . 16. (5 分)已知 a,b,c 分别是锐角△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,a=1,b=2cosC,sinCcosA﹣sin ( ﹣B)sin( +B)=0,则△ABC 的内角 B 的大小为 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) * 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N ,且 a5+a6=24,S3=15. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)某中学从高三甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩如下: 甲班:92,80,79,78,85,96,85
2页

乙班:81,91,91,76,81,92,83 (Ⅰ)若竞赛成绩在 90 分以上的视为“优秀生”,则从“优秀生”中任意选出 2 名,乙班恰好只有 1 名的概率 是多少? (Ⅱ)根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图,指出甲班学生成绩的众数,乙班学生成绩中位数, 并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况.

19. (12 分)在三棱 ABC﹣A′B′C′中,侧棱 AA′⊥底面 ABC,AC⊥AB,AB=2,AC=AA′=3, (Ⅰ)若 F 为线段 B′C 上一点,且 = ,求证:BC⊥平面 AA′F;

(Ⅱ)若 E,F 分别是线段 BB′,B′C 的中点,设平面 A′EF 将三棱柱分割成左右两部分,记它们的体积分 别为 V1 和 V2,求 V1.

20. (12 分)如图,已知 P 是以 F1(﹣1,0) ,以 4 为半径的圆上的动点,P 与 F2(1,0)所连线段的垂直 平分线与线段 PF1 交于点 M. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)已知点 E 坐标为(4,0) ,直线 l 经过点 F2(1,0)并且与曲线 C 相交于 A,B 两点,求△ABE 面积 的最大值.

21. (12 分)已知函数 f(x)=x﹣ +alnx(a∈R) . (1)若函数 f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)已知 g(x)= x +(m﹣1)x+ ,m≤﹣
2

,h(x)=f(x)+g(x) ,当时 a=1,h(x)有两个极

值点 x1,x2,且 x1<x2,求 h(x1)﹣h(x2)的最小值. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分)如图,在△ABC 中,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,交△ABC 的外接圆于点 E,延长 AC 交 △DCE 的外接圆于点 F,DF= .
3页

(Ⅰ)求 BD; (Ⅱ)若∠AEF=90°,AD=3,求 DE 的长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23.在直角坐标系中,直线 l: 极坐标系中,曲线 C:ρ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知点 P(2,1) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且 =2 ,求 tana. (t 为参数,0≤a<π) ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的

[选修 4-5:不等式选讲] 2 24.已知函数 f(x)=|x ﹣1| (1)解不等式 f(x)≤2+2x; (2)设 a>0,若关于 x 的不等式 f(x)+5≤ax 解集非空,求 a 的取值范围.

4页

2015-2016 学年河北省沧州市高三(下)4 月调研数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 1. (5 分) (2016?河北模拟)已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|y=x ,x∈R},则 A∩B=( ) A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{1} D.? 【分析】求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:∵A={﹣1,0,1},B={x|y=x ,x∈R}=R, ∴A∩B=A={﹣1,0,1}, 故选:A. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

2. (5 分) (2016?河北模拟)设复数 z= A. B. C. D.

(i 为虚数单位) ,则|z|=(



【分析】直接利用复数的模的运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z= (i 为虚数单位) ,则|z|= = = .

故选:B. 【点评】本题考查复数的模的求法,考查计算能力. 3. (5 分) (2016?河北模拟)同时掷两个均匀的正方体骰子,则向上的点数之和为 5 的概率为( A. B. C. D. )

【分析】使用排列数公式计算基本事件个数和符合条件的基本事件个数,利用古典概型的概率计算公式计 算概率. 【解答】解:同时掷两个均匀的正方体骰子,共有 ? =36 个基本事件,

其中向上的点数之和为 5 的基本事件共有 4 个,分别是(1,4) , (2,3) , (3,2) (4,1) . ∴向上的点数之和为 5 的概率为 P= .

故选:A. 【点评】本题考查了古典概型的概率计算,属于基础题.
2

4. (5 分) (2016?河北模拟)焦点为(6,0)且与双曲线

﹣y =1 有相同渐近线的双曲线的方程为(



A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

5页

【分析】设所求的双曲线方程是 值,即得所求的双曲线方程.

﹣y =K,由焦点(6,0)在 x 轴上,知 k>0,截距列出方程,求出 k

2

【解答】解:由题意知,可设所求的双曲线方程是 由 2k+k=c =36,∴k=12, 故所求的双曲线方程是: ﹣ =1.
2

﹣y =K,∵焦点(6,0)在 x 轴上,∴k>0,

2

故选:A. 【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,解题的关键是根据渐近线方程相同 设所求的双曲线方程,属于中档题. 5. (5 分) (2016?河北模拟)执行如图的程序框图,如果输出结果为 2,则输入的 x=( )

A.0

B.2

C .4

D.0 或 4 的值,分类讨论求出对应

【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是计算并输出 x= 的 x 的范围,综合讨论结果可得答案. 【解答】解:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是计算并输出 x= ∵输出结果为 2, ∴ 或 ,

的值,

∴解得 x=4. 故选:C. 【点评】本题主要考查选择结构的程序框图的应用,关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件,属 于基础题.

6. (5 分) (2016?河北模拟)若函数 f(x)=

,则 f(f(2) )=(



A.1

B.

C.

D.5

6页

【分析】直接利用分段函数的表达式,逐步求解函数值即可.

【解答】解:函数 f(x)=



则 f(f(2) )=f(2 ﹣3×2+1)=f(﹣1)=

2

= .

故选:C. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 7. (5 分) (2016?河北模拟)命题 p:直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 互为平行的充要条 件是 a=﹣2;命题 q:若平面 α 内存在不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β.对以上两个命题,下 列结论正确的是( ) A.命题“p 且 q”为真 B.命题“p 或¬q”为假 C.命题“¬p 且 q”为真 D.命题“p 或 q”为假 【分析】对于命题 p:对 a 分类讨论,利用两条直线相互平行的充要条件即可得出.对于命题 q:若平面 α 内存在不共线的三点到平面 β 的距离相等,可得 α∥β 或相交,即可判断出真假. 【解答】解:命题 p:a=﹣1 时,两条直线不平行;a≠﹣1 时,两条直线方程分别化为:y=﹣ x+ ,y= ﹣ ∴ x﹣ ,由于两条直线相互平行, , ,解得 a=﹣2 或 1.

∴直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 互为平行的充要条件是 a=﹣2 或 1,因此 p 是假命题. 命题 q:若平面 α 内存在不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β 或相交,因此是假命题. 对以上两个命题,下列结论正确的是命题“p 或 q”为假. 故选:D. 【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件、平面的位置关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 8. (5 分) (2016?河北模拟)设 f(x)是定义在 R 上的恒不为 0 的函数,对任意实数 x,y∈R,都有 f(x ﹣y)=
n

,已知 f(1)=2,an=f(n) ,n∈N ,则数列{an}的前 n 项和 Sn 为(
n n+1 n+1

+



A.2 ﹣1 B.2 C.2 ﹣1 D.2 ﹣2 【分析】令 x=n,y=1,由条件可得 f(n)=f(n﹣1)f(1)=2f(n﹣1) ,进而发现数列{an}是以 2 为首项, 以 2 的等比数列,运用等比数列的求和公式可以求得 Sn. 【解答】解:对任意实数 x,y∈R,都有 f(x﹣y)= 且 f(1)=2,an=f(n) , 可得 f(x)=f(x﹣y)f(y) , 令 x=n,y=1,可得 f(n)=f(n﹣1)f(1)=2f(n﹣1) , 即有数列{an}是 2 为首项,2 为公比的等比数列, n 则 an=2 , Sn= =2
n+1



﹣2.

7页

故选:D. 【点评】本题考查数列的求和公式,注意运用赋值法和等比数列的定义及通项公式,考查运算能力,属于 基础题. 9. (5 分) (2016?河北模拟)某几何体的三视图如图所示,此几何体的体积为( )

A.4 B.6 C .8 D.9 【分析】由三视图可知该几何体为底面边长分别为 3,4 的长方形,侧立的一个四棱锥,其中一个长方形的 侧面垂直于底面,高为 2. 【解答】解:由三视图可知该几何体为底面边长分别为 3,4 的长方形, 侧立的一个四棱锥,其中一个长方形的侧面垂直于底面,高为 2. 故其体积 V= ×2=8.

故选:C. 【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题.

10. (5 分) (2016?河北模拟)函数 y=sinx(cosx﹣ A.[ ,1+ ] B.[﹣ ,1﹣ ] C.[0,1]

sinx) (0≤x≤ D.[﹣

)的值域为( ]



,1﹣

【分析】由三角函数公式化简可得 y=sin(2x+

)﹣

,由 0≤x≤ sinx)

和三角函数的值域可得.

【解答】解:由三角函数公式化简可得 y=sinx(cosx﹣ =sinxcosx﹣ = sin2x+ ∵0≤x≤ ∴ ∴﹣ ∴﹣ ≤2x+ sin x= sin2x﹣ cos2x﹣ , ≤ , )≤1, )﹣ ≤1﹣ ,
2

(1﹣cos2x) )﹣ ,

=sin(2x+

≤sin(2x+ ≤sin(2x+

故选:D 【点评】本题考查三角函数的最值,涉及和差角的三角函数公式以及二倍角公式,属基础题.
8页

11. (5 分) (2016?河北模拟)已知点 M(﹣1,﹣2)是抛物线 y =2px(p>0)的准线上一点,A,B 在抛 物线上,点 F 为抛物线的焦点,且有|AF|+|BF|=8,则线段 AB 的垂直平分线必过点( ) A. (3,0) B. (5,0) C. (3,2) D. (5,4) 【分析】确定抛物线的方程,由|AF|+|BF|=8,利用抛物线的定义转化为 x1+x2+2=8,从而求出 A,B 两 点横坐标的和,设出 C 的坐标,利用 C 在 AB 的垂直平分线上得|AC|=|BC|,代入两点间的距离公式后 移向整理,代入两横坐标的和后可求 m 的值. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) (x1≠x2) , 2 ∵点 M(﹣1,﹣2)是抛物线 y =2px(p>0)的准线上一点, 2 ∴抛物线方程为 y =4x,其准线 x=1. ∵|AF|+|BF|=8, ∴由定义得 x1+x2+2=8,则 x1+x2=6. 设直线 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点 C(m,0) . 由 C 在 AB 的垂直平分线上,从而|AC|=|BC|, 即(x1﹣m) +y1 =(x2﹣m) +y2 , 即(x1+x2﹣2m) (x1﹣x2)=4x2﹣4x1=﹣4(x1﹣x2) , ∵x1≠x2,∴x1+x2﹣2m=﹣4. 又∵x1+x2=6,∴m=5, ∴点 C 的坐标为(5,0) . 即直线 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴的交点为定点(5,0) . 故选:B. 【点评】本题主要考查抛物线的定义和方程,解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征,这 也是高考常考的知识点,属中档题. 12. (5 分) (2016?河北模拟)已知函数 f(x)=x +ax +bx+1,函数 y=f(x+1)﹣1 为奇函数,则函数 f(x) 的零点个数为( ) A.0 B.1 C .2 D.3 【分析】化简 y=f(x+1)﹣1=(x+1) +a(x+1) +b(x+1)+1﹣1=x +(3+a)x +(3+2a+b)x+1+b+a,从 而可得 ﹣ ) (x﹣1+ ,从而化简出 f(x)=x ﹣3x +2x+1,求导 f′(x)=3x ﹣6x+2=3(x﹣1) ﹣1=3(x﹣1 )以确定函数的单调性,从而确定函数的零点的个数.
3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2

2

【解答】解:∵f(x)=x +ax +bx+1, 3 2 ∴y=f(x+1)﹣1=(x+1) +a(x+1) +b(x+1)+1﹣1 3 2 2 =x +3x +3x+1+ax +2ax+a+bx+b 3 2 =x +(3+a)x +(3+2a+b)x+1+b+a, ∵函数 y=f(x+1)﹣1 为奇函数, ∴ ,

解得,a=﹣3,b=2; 3 2 故 f(x)=x ﹣3x +2x+1, f′(x)=3x ﹣6x+2=3(x﹣1) ﹣1=3(x﹣1﹣ 故 f(x)在(﹣∞,1﹣ 在(1+
2 2

) (x﹣1+ ,1+

) , )上是减函数,

)上是增函数,在(1﹣

,+∞)上是增函数;
9页

且 f(1﹣ f(1+

)=1+1﹣ +



﹣4+2 +2+

+2﹣

+1>0,

)=1+1+

﹣4﹣2

+1>0,

∴函数 f(x)的零点个数为 1, 故选 B. 【点评】本题考查了函数的性质的应用及导数的综合应用,同时考查了整体思想与转化思想的应用. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2016?河北模拟)已知向量 , 满足| |=1,| |= 0 . , + =( ,1) ,则 cos< , >=

【分析】利用已知条件求出 , ,然后求解 cos< , >. 【解答】解:向量 , 满足| |=1,| |= 可知 =(0,1) , =( 则 cos< , >= ,0) , =0. , + =( ,1) ,

故答案为:0. 【点评】本题考查向量的数量积,利用观察法推出向量的坐标是解题的关键.

14. (5 分) (2016?河北模拟)设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=

的取值范围是

[ , ] . 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,结合数形结合即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: z= 的几何意义为平面区域内的点到定点 D(﹣2,﹣3)的斜率,

由图象知 CD 的斜率最小,AD 的斜率最大, 其中 C(0,2) , 由 得 ,即 A(﹣ ,1) ,由 ,解得 ,即 C(4,﹣1)

则 CD 的斜率 z=

= ,AD 的斜率 z═

= ,即 ≤z≤ ,

故答案为:[ , ].

10 页

【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键 15. (5 分) (2016?河北模拟)已知四棱锥 P﹣ABCD,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2, 该四棱锥外接球的体积为 8 π,则△PBC 的面积为 2 ? .

【分析】利用四棱锥外接球的体积为 8 π,求出四棱锥外接球的半径,利用勾股定理求出 BC,即可求出 △PBC 的面积. 【解答】解:设四棱锥外接球的半径为 R,则 ∵四棱锥外接球的体积为 8 π, ∴ ∴R=3 =8 ,
2 2

π,

设 BC=x,则 4R =4+4+x ,∴x= ∴△PBC 的面积为 故答案为:2 ? = .

, =2 ? ,

【点评】本题考查△PBC 的面积,考查学生的计算能力,正确求出四棱锥外接球的半径是关键. 16. (5 分) (2016?河北模拟)已知 a,b,c 分别是锐角△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,a=1,b=2cosC, sinCcosA﹣sin( ﹣B)sin( +B)=0,则△ABC 的内角 B 的大小为 . ﹣B)cos( ﹣B )

【分析】a=1,b=2cosC,利用正弦定理可得:sinB=2sinAcosC.由 sinCcosA﹣sin( =0,利用诱导公式可得:sinCcosA﹣ sin(2×
2

﹣2B)=0,

利用倍角公式可得:2sinCcosA=1﹣2sin B,联立化简即可得出. 【解答】解:∵锐角△ABC 中,a=1,b=2cosC,∴ ,可得 sinB=2sinAcosC.

11 页

∵sinCcosA﹣sin( ∴sinCcosA﹣sin(

﹣B)sin( ﹣B)cos(

+B)=0,sin(

+B)=

, ﹣2B)=0,

﹣B)=0,∴sinCcosA﹣ sin(2×

∴sinCcosA﹣ cos2B=0, ∴2sinCcosA=1﹣2sin B, 2 ∴2sin(A+C)=sinB+1﹣2sin B, 2 ∴2sin B+sinB﹣1=0, 解得 sinB= ,B∈ ∴B= . . ,
2

故答案为:

【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、诱导公式、和差化积公式,考查了推理能力与计算能力,属于 中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) * 17. (12 分) (2016?河北模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N ,且 a5+a6=24,S3=15. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【分析】 (1)利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出; (2)利用“裂项求和”方法即可得出. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a5+a6=24,S3=15. ∴2a1+9d=24,3a1+3d=15, 解得 a1=3,d=2. ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1. (2)bn= = = ,

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= = = .

+…+

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 18. (12 分) (2016?河北模拟)某中学从高三甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的 成绩如下: 甲班:92,80,79,78,85,96,85 乙班:81,91,91,76,81,92,83
12 页

(Ⅰ)若竞赛成绩在 90 分以上的视为“优秀生”,则从“优秀生”中任意选出 2 名,乙班恰好只有 1 名的概率 是多少? (Ⅱ)根据两组数据完成两班数学竞赛成绩的茎叶图,指出甲班学生成绩的众数,乙班学生成绩中位数, 并请你利用所学的平均数、方差的知识分析一下两个班学生的竞赛成绩情况.

【分析】 (Ⅰ)先列举出所有的基本事件,再找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可. (Ⅱ)画出茎叶图,根据众数和中位数的概念求出甲班学生成绩的众数,乙班学生成绩中位数,再求出平 均数、方差,分析即可. 【解答】解: (Ⅰ)乙班有四名学生成绩为优秀,设为 a1,a2,a3,甲班有两名学生成绩为优秀,设为 b1, b2, 则选取两名成绩为优秀的学生的所有可能为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,a3) , (a2, b1) , (a2,b2) , (a3,b1) , (a3,b2) , (b1,b2)共 10 种可能, 其中乙班恰好只有 1 名的有 6 种可能, 故乙班恰好只有 1 名的概率是概率 P= = ;

(Ⅱ)茎叶图如图. 甲班学生成绩的众数 85,乙班学生成绩中位数 83, = (78+79+80+85+85+92+96)=85,
2 2

= (76+81+81+83+91+91+92)=85,
2 2 2 2 2

= [(78﹣85) +(79﹣85) +(80﹣85) +(85﹣85) +(85﹣85) +(92﹣85) +(96﹣85) ]=40 = [(76﹣85) +(81﹣85) +(81﹣85) +(83﹣85) +(91﹣85) +(91﹣85) +(92﹣85) ]=34 统计结论甲班的平均成绩等于乙班的平均成绩; ②乙班的成绩比甲班的成绩更稳定.
2 2 2 2 2 2 2

【点评】本题考查数据的平均数公式、方差与茎叶图,古典概率,考查计算能力,属于中档题. 19. (12 分) (2016?河北模拟) 在三棱 ABC﹣A′B′C′中, 侧棱 AA′⊥底面 ABC, AC⊥AB, AB=2, AC=AA′=3, (Ⅰ)若 F 为线段 B′C 上一点,且 = ,求证:BC⊥平面 AA′F;

(Ⅱ)若 E,F 分别是线段 BB′,B′C 的中点,设平面 A′EF 将三棱柱分割成左右两部分,记它们的体积分 别为 V1 和 V2,求 V1.

13 页

【分析】 (I)过 A 作 AM⊥BC,垂足为 M,连结 MF,通过计算 CM,BM 可得

,于是 MF∥BB′∥

AA′,于是 AM? 平面 AA′F,再利用侧棱 AA′⊥底面 ABC 得出 BC⊥AA′即可得出结论; (II)作出截面 A′EF 左右两侧的几何体,则右侧为四棱锥,且底面为矩形,高与 AM 相等,利用三棱柱的 体积减去 V2 即为 V1. 【解答】解: (I)过 A 作 AM⊥BC,垂足为 M,连结 MF, ∵AA′⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴AA′⊥BC, ∵AB⊥AC,AB=2,AC=3, ∴BC= ∴CM= ∴ . = = ,AM= = . .

,BM=BC﹣CM=

∴MF∥BB′∥AA′, ∴AM? 平面 AA′F. 又 AA′? 平面 AA′F,AM∩AA′=A, ∴BC⊥平面 AA′F. (II)取 CC′中点 N,连结 EN,AN,AE, ∵AA′⊥平面 ABC,AA′∥BB′, ∴BB′⊥平面 ABC, ∵BC? 平面 ABC,AM? 平面 ABC, ∴BB′⊥AM,BB′⊥BC, 又 AM⊥BC,BC? 平面 BB′C′C,BB′? 平面 BB′C′C,BC∩BB′=B, AM⊥平面 BB′C′C, ∴V2=VA′﹣B′C′NE= 又 VABC﹣A′B′C′=S△ABC?AA′= ∴V1=VABC﹣A′B′C′﹣V2=6. = =9, =3.

【点评】本题考查了线面垂直的判定,棱锥的体积计算,属于中档题. 20. (12 分) (2016?河北模拟)如图,已知 P 是以 F1(﹣1,0) ,以 4 为半径的圆上的动点,P 与 F2(1,0) 所连线段的垂直平分线与线段 PF1 交于点 M. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程;
14 页

(2)已知点 E 坐标为(4,0) ,直线 l 经过点 F2(1,0)并且与曲线 C 相交于 A,B 两点,求△ABE 面积 的最大值.

【分析】 (1)根据题意,|MP|=|MF2|,则|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|,故 M 的轨迹 C 是以 F1,F2 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,从而可求动点 M 的轨迹 C 的方程. 2 2 (2)设直线 l 的方程为 x=my+1,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆方程联立化为(3m +4)y +6my﹣ 9=0,再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出. 【解答】解: (1)根据题意,|MP|=|MF2|, 则|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|, 故 M 的轨迹 C 是以 F1,F2 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,a=2,c=1, 所以 b= , 所以点 M 的轨迹方程为 =1.

(2)设直线 l 的方程为 x=my+1,代入 可得 3(my+1) +4y =12, 2 2 ∴(3m +4)y +6my﹣9=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣ ∴E 到直线 l 的距离为 d= ,|AB|=
2 2

=1,

,y1y2=﹣ |y1﹣y2|



∴△ABE 面积 S=

|y1﹣y2|=18



设 3m +4=t(t≥4) ,则 S=18 ∵t≥4,

2

=

=



∴t=4,m=0 时,△ABE 面积的最大值为 . 【点评】本题考查椭圆的定义与方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式,考查了推理能力 与计算能力,属于属于中档题,确定 M 的轨迹 C 是以 F1,F2 为焦点,长轴长为 4 的椭圆关键. 21. (12 分) (2016?河北模拟)已知函数 f(x)=x﹣ +alnx(a∈R) .

15 页

(1)若函数 f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)已知 g(x)= x +(m﹣1)x+ ,m≤﹣
2

,h(x)=f(x)+g(x) ,当时 a=1,h(x)有两个极

值点 x1,x2,且 x1<x2,求 h(x1)﹣h(x2)的最小值. 【分析】 (1)利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可. (2)求出函数 h(x)的表达式,求出函数 h(x)的导数,利用函数极值,最值和导数之间的关系进行求 解. 【解答】解: (1)∵f(x)=x﹣ +alnx, ∴f′(x)=1+ + ,

∵f(x)在[1,+∞)上单调递增, ∴f′(x)=1+ + ≥0 在[1,+∞)上恒成立,

∴a≥﹣(x+ )在[1,+∞)上恒成立, ∵y=﹣x﹣ 在[1,+∞)上单调递减, ∴y≤﹣2, ∴a≥﹣2; (2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ x +mx,其定义域为(0,+∞) , 求导得,h′(x)= ,
2

若 h′(x)=0 两根分别为 x1,x2,则有 x1?x2=1,x1+x2=﹣m, ∴x2= ∵m≤﹣ ∴x1∈[ ,从而有 m=﹣x1﹣ ,x1<x2, ,1] )=2lnx1+ ( ﹣ )+(﹣x1﹣ ) (x1﹣ ) , ,

则 h(x1)﹣h(x2)=h(x1)﹣h(

令 φ(x)=2lnx﹣ (x ﹣

2

) ,x∈[

,1].

则[h(x1)﹣h(x2)]min=φ(x)min, φ′(x)=﹣ ,

当 x∈(

,1]时,φ′(x)<0, ,1]上单调递减,

∴φ(x)在[

φ(x)min=φ(1)=0,
16 页

∴h(x1)﹣h(x2)的最小值为 0. 【点评】本题主要考查函数单调性,极值,最值和导数的关系,求函数的导数,利用构造法是解决本题的 关键.综合性较强,有一定的难度. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016 春?沧州月考)如图,在△ABC 中,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,交△ABC 的外接 圆于点 E,延长 AC 交△DCE 的外接圆于点 F,DF= . (Ⅰ)求 BD; (Ⅱ)若∠AEF=90°,AD=3,求 DE 的长.

【分析】 (Ⅰ)证明△ABD≌△AFD,即可求 BD; (Ⅱ)证明△AFE∽△FDE,可得 ,建立方程,即可求 DE 的长

【解答】解: (Ⅰ)在△ABC 的外接圆中,∠ABC=∠AEC, △DCE 的外接圆中,∠DEC=∠DFC,∴∠ABC=∠DFC,…(2 分) ∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD, ∵AD=AD,∴△ABD≌△AFD,∴ .…(4 分) (Ⅱ)设 DE=x,∠AEF=90°, , ,…(6 分)

由(Ⅰ)同理可得∠BAD=∠BCE,∠DCE=∠DFE,∠BAD=∠CAD, ∴∠CAD=∠DFE,∴△AFE∽△FDE,∴ ,…(8 分)


2



∴2x +3x﹣14=0,∴x=2(

不合题意,舍去) ,

∴DE=2.…(10 分) 【点评】本题考查三角形相似的判定与性质,考查三角形全等的证明,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016 春?沧州月考)在直角坐标系中,直线 l: x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C:ρ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)已知点 P(2,1) ,若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,且
2 2 2

(t 为参数,0≤a<π) ,在以 O 为极点,

=2

,求 tana.

【分析】 (Ⅰ)曲线 C:ρ=4cosθ,把 ρ =x +y ,x=ρcosθ 代入即可化为直角坐标方程.

17 页

(II)把直线 l: =2

(t 为参数,0≤a<π)代入曲线 C 的直角坐标方程可得:t +2tsina﹣3=0,由

2

,可得 t1=﹣2t2.再利用根与系数的关系及其三角函数基本关系式即可得出.
2

【解答】解: (Ⅰ)C:ρ=4cosθ,得到 C:ρ =4ρcosθ, 因为 (Ⅱ)将 ,则曲线 C 的直角坐标方程为 x +y ﹣4x=0. 代入 x +y ﹣4x=0,得到 t +2tsina﹣3=0.
2 2 2 2 2



又因为

,则 t1=﹣2t2,

所以



解得:





,则





【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、三角函数的基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 2 24. (2016?河北模拟)已知函数 f(x)=|x ﹣1| (1)解不等式 f(x)≤2+2x; (2)设 a>0,若关于 x 的不等式 f(x)+5≤ax 解集非空,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,解不等式即可; (2)通过讨论 x 的范围,去掉绝对值号,结合二次函数 的性质求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)∵f(x)≤2+2x, 2 ∴|x ﹣1|≤2+2x, 2 x≥1 或 x≤﹣1 时,x ﹣1≤2+2x,解得:1≤x≤3,x=﹣1, 2 ﹣1<x<1 时,1﹣x ≤2+2x,成立, 综上,﹣1≤x≤3; (2)①x≥1 或 x≤﹣1 时, f(x)+5≤ax, 即 x ﹣1+5≤ax, 2 即 x ﹣ax+4≤0, 2 令 h(x)=x ﹣ax+4, 若不等式 f(x)+5≤ax 解集非空, 2 则△=a ﹣16≥0, 解得:a≥4 或 a≤﹣4, ②﹣1≤x≤1 时, f(x)+5≤ax, 2 即 1﹣x +5≤ax, 2 即 x +ax﹣6≥0 在[﹣1,1]有解,
18 页
2

令 g(x)=x +ax﹣6, 若不等式 f(x)+5≤ax 解集非空, 则 f(1)≥0 即可,解得:a≥5, 综上,a≥4 或 a≤﹣4. 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及二次函数的性质,是一道中档题.

2

19 页

2016 年 11 月 7 日

20 页


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