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江西省吉安一中2015届高三上学期第一次段考数学试卷(文科)


江西省吉安一中 2015 届高三上学期第一次段考数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)复数 Z 满足(1+i)Z=|1﹣i|,是 Z 的虚部为() A.﹣ i B. i C. ﹣ D.

2. (5 分)将函数 y=sinx+co

sx 的图象向左平移 m(m>0)个长度单位后,所得到的函数为 偶函数,则 m 的最小值是() A. B. C. D.

3. (5 分)已知全集 U=R,A={x|log2x<0},B={x| ≤1}则(?UA)∩B=() A.(1,+∞) (﹣∞,﹣ ] B. B.(﹣∞, ] C. (0, ] D.

6. (5 分)已知数列{an}满足 an+1=an﹣an﹣1(n≥2)a1=1,a2=3,记 Sn=a1+a2+…+an,则下列 结论正确的是() A.a2014=﹣1,S2014=2 C. a2014=﹣3,S2014=2 B. a2014=﹣3,S2014=5 D.a2014=﹣1,S2014=5 B. C.

7. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 D. (0,2]

8. (5 分)若

为单位向量,且 的最大值为()

=0,

,则

A.

﹣1

B. 1

C.

D.2

9. (5 分)设函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,对任意 x∈R 都有 f′(x)>f(x)成立,则() A.3f(ln2)>2f(ln3) B. 3f(ln2)=2f(ln3) C. 3f(ln2)<2f(ln3) D.3f(ln2)与 2f(ln3)的大小不确定

10. (5 分)已知正三角形 ABC 的边长为 2,D,E 分别为边 AB,AC 上的点(不与△ ABC 的顶点重合)且 DE∥BC,沿 DE 折起,使平面 ADE⊥平面 BCED,得如图所示的四棱锥, 设 AD=x,则四棱锥 A﹣BCED 的体积 V=f(x)的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)在函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的一个周期内,当 x= 值 ,当 x= 时有最小值﹣ ,若 φ∈(0, ) ,则函数解析式 f(x)=. 时有最大

12. (5 分)在实数的原有运算中,我们补充定义新运算“⊕”如下:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a <b 时,a⊕b=b .设函数 f(x)=(1⊕x)x﹣(2⊕x) ,x∈,则函数 f(x)的值域为.
2

13. (5 分)已知幂函数 的值为.

在区间(0,+∞)上单调递增,则实数 m

14. (5 分)已知函数 f(x)=x , (x∈) ,g(x)=a sin(2x+ 使得 g(x)=f(x1)成立,则实数 a 的取值范围是.

2

2

)+3a,x∈) ,?x1∈,总?x0∈,

15. (5 分)已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ①对于任意 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ②对于任意 a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)存在最小值; ③对于任意 a∈(0, +∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立;

x

④存在 a∈(﹣∞,0) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的序号是. (写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx?cos (1)求 θ 的值; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 求角 C. 17. (12 分)已知 m∈R,设 p:不等式|m ﹣5m﹣3|≥3;q:函数 f(x)=x +mx +(m+ )x+6 在(﹣∞,+∞)上有极值.求使 p 且 q 为真命题的 m 的取值范围. 18. (12 分)已知等差数列 {an}的公差大于 0,且 a3,a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根,数列 {bn}的前 n 项的和为 Sn,且 Sn=1﹣ (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,求证 cn+1≤cn.
2 2 3 2 2

+cosx?sinθ﹣sinx(0<θ<π)在 x=π 处取最小值.



19. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边, =(2b﹣c,cosC) , =(a, cosA) ,且 ∥ . (1)求角 A 的大小; (2)求 y=2sin B+cos(
2

﹣2B)的值域.
2

20. (13 分)已知 f(x)=x +bln(x+1)其中 b∈R. (1)若对 f(x)定义域内的任意 x,都有 f(x)≥f(1) ,求 b 的值; (2)若函数 f(x)在其定义域内是单调函数,求 b 的取值范围; (3)若 b=﹣1,证明:对任意的正整数 n,不等式 f( )<1+ + +…+ 都成立.

21. (14 分)已知函数 f(x)=e (x +ax+b)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=3,其中有 e 为自然对数的底数. (1)求 a,b 的值; (2)当﹣2<x<t 时,证明 f(t)> ;

x

2

(3) 对于定义域为 D 的函数 y=g (x) 若存在区间?D 时, 使得 x∈时, y=g (x) 的值域是. 则 称是该函数 y=g(x)的“保值区间”.设 h(x)=f(x)+(x﹣2)e ,x∈(1,+∞) ,问函数 y=h(x)是否存在“保值区间”?若存在,求出一个“保值区间”,若不存在,说明理由.
x

江西省吉安一中 2015 届高三上学期第一次段考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)复数 Z 满足(1+i)Z=|1﹣i|,是 Z 的虚部为() A.﹣ i B. i C. ﹣ D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴Z=

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解:∵复数 Z 满足(1+i)Z=|1﹣i|, = . = ,

∴Z 的虚部为﹣

故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 2. (5 分)将函数 y=sinx+cosx 的图象向左平移 m(m>0)个长度单位后,所得到的函数为 偶函数,则 m 的最小值是() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式,再由其关于 y 轴对称得到 sin(x+m+ )= sin(﹣x+m+ ) ,再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的

性质可求得 m 的值,从而得到最小值. 解答: 解:y=sinx+cosx= y= sin(x+m+ sin(x+ )然后向左平移 m(m>0)个单位后得到

)的图象为偶函数,关于 y 轴对称



sin(x+m+

)=

sin(﹣x+m+

) )+cosxsin(m )

∴sinxcos(m ∴sinxcos(m ∴cos(m ∴m

)+cosxsin(m+ )=0 )=0 ,m=2kπ+ .

)=﹣sinxcos(m

=2kπ+

.k∈Z

∴m 的最小值为

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式. 注意平移时要根据左加右 减上加下减的原则进行平移. 3. (5 分)已知全集 U=R,A={x|l og2x<0},B={x| ≤1}则(?UA)∩B=() A. (1,+∞) B. 分析: 解对数不等式 log2x<0,可以求出集合 A,进而求出集合 CuA,解分式不等式可以 求出集合 B,代入(CuA)∩B 即可得到答案. 解答: 解:∵A={x |log2x<0}=(0,1) ∴CuA=(﹣∞,0]∪ B.(﹣∞, ] C.(0, ] D.(﹣∞,﹣ ]

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件

的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入 y=kx﹣3k 中,求

出 y=kx﹣3k 对应的 k 的端点值即可.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如图示:

因为 y=kx﹣3k 过定点 D(3,0) . 所以当 y=kx﹣3k 过点 A(0,1)时,找到 k=﹣ 当 y=kx﹣3k 过点 B(1,0)时,对应 k=0. 又因为直线 y=kx﹣3k 与平面区域 M 有公共点. 所以﹣ ≤k≤0.

故选 A.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可 行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优 解. 6. (5 分)已知数列{an}满足 an+1=an﹣an﹣1(n≥2)a1=1,a2=3,记 Sn=a1+a2+…+an,则下列 结论正确的是() A.a2014=﹣1,S2014=2 B. a2014=﹣3,S2014=5 C. a2014=﹣3,S2014=2 D.a2014=﹣1,S2014=5 考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的递推关系得到数列{an}是周期数列,即可得到结论. 解答: 解:∵an+1=an﹣an﹣1(n≥2)a1=1,a2=3, ∴a3=3﹣1=2,a4=2﹣3=﹣1,a5=﹣1﹣2=﹣3,a6=﹣3﹣(﹣1)=﹣2,a7=﹣2﹣(﹣3)=1, a7=1 ﹣(﹣2)=3 … 即数列{an}是周期数列,周期是 6, 则 a2014=a335×6+4=a4=﹣1, a1+a2+…+a6=1+3+…+(﹣ 2)=0, 则 S2014=335×(a1+a2+…+a6)+a1+a2+a3+a4=1+3+2﹣1=5, 故选:D 点评: 本题主要考查数列的通项公式和前 n 项和, 根据数列的递推关系得到数列{an}是周 期数列是解决本题的关键.

7. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 D. (0,2]

B.

C.

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性 列出关于 a 的不等式求解. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ , ∴ 即 f(|log2a|)≤f(1) , 又∵在区间,则函数 f(x)的值域为. 考点: 函数的值域. 分析: 首先理解新定义,按 x 与 1 的大小分类,将 f(x)转化为我们熟悉的函数,再求 其值域即可. 解答: 解:当﹣2≤x≤1 时,1⊕x=1,2⊕x=2,所以 f(x)=(1⊕x)x﹣(2⊕x)=x﹣2∈, 2 3 当 1<x≤2 时,1⊕x=x ,2⊕x=2,f(x)=x ﹣2∈(﹣1,6], 综上可得,函数 f(x)的值域为 故答案为: 点评: 本题考查函数的值域问题、分类讨论问题,考查对问题的分析理解能力. 可变为 f(log2a)≤f(1) ,

13. (5 分)已知幂函数 的值为 3.

在区间(0,+∞)上单调递增,则实数 m

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的定义,及在区间(0,+∞)上单调递增,建立关系式,即可求实数 m 的值. 解答: 解:由题意,∵幂函数 在区间(0,+∞)上单调递增,

∴ ∴m=3 故答案为:3 点评: 本题考查幂函数的定义与性质,考查计算能力,属于基础题. 14. (5 分)已知函数 f(x)=x , (x∈) ,g(x)=a sin(2x+
2 2

)+3a,x∈) ,?x1∈,总?x0∈,

使得 g(x)=f(x1)成立,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣4]∪, 成立得到函数 f(x)的值域是函数 g(x)的值域的子集,建立不等关系即可. 解答: 解:∵x∈

∴sin(2x+ 则

) 的值域为
2

而 f(x)=x , (x∈)的值域为 ∵?x1∈, ∴? 成立



,解得 a∈(﹣∞,﹣4]∪∪

不等式②的解为 m≤﹣1 或 m≥6. 所以,当 m≤﹣1 或 0≤m≤5 或 m≥6 时,p 为真命题. 对函数 f(x)= f′(x)=3x +2mx+m+ 令 f′(x)=0,即 3x +2mx+m+ =0, 当且仅当△ >0 时,函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上有极值. 2 由△ =4m ﹣12m﹣16>0 得 m<﹣1 或 m>4, 所以,当 m<﹣1 或 m>4 时,q 为真命题. 综上所述,使 p 且 q 为真命题时,实数 m 的取值范围为 (﹣∞,﹣1)∪(4,5]∪ 18. (12 分)已知等差数列{an}的公差大于 0,且 a3,a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根,数列 {bn}的前 n 项的和为 Sn,且 Sn=1﹣ (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,求证 cn+1≤cn. 考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列递推式. 专题: 计算题;证明题. 2 分析: (1)根据 a3,a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根,求得 a3 和 a5,则公差可求,进而 求得数列{an},的通项公式,代入 Sn=1﹣ 中根据
2 2 2

求导得,

bn=Sn﹣Sn﹣1 求得 n≥2 时的

判断出其为等比数列,公比为 进而根据等比数列的通

项公式求得 bn. (2)把(1)中求得的 an 和 bn 代入 cn=anbn,求得 cn,进而可求得 cn+1﹣cn 求得结果小于等 于 0,原式得证. 2 解答: 解: (1)∵a3,a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根,且数列{an}的公差 d>0,

∴a3=5,a5=9,公差 ∴an=a5+(n﹣5)d=2n﹣1. 又当 n=1 时,有 b1=S1=1﹣



∴数列{bn}是等比数列, ∴

(2)由(Ⅰ)知



∴ ∴cn+1≤cn. 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列的通项公式,属基础题.

19. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边, =(2b﹣c,cosC) , =(a, cosA) ,且 ∥ . (1)求角 A 的大小; (2)求 y=2sin B+cos(
2

﹣2B)的值域.

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函 数的定义域和值域;正弦定理的应用. 分析: (1)用向量的共线的充要条件及三角形中的正弦定理求得角 A. (2)用三角函数的二倍角公式化简函数,再利用正弦函数的图象求出范围. 解答: 解: (1)由 ∥ 得(2b﹣c)?cosA﹣acosC=0, 由正弦定理得 2sinBcosA﹣sinCcosA﹣sinAcosC=0,2sinBcosA﹣sin(A+C)=0, ∴2sinBcosA﹣sinB=0, ∵ (2) = , ,∴ ,= .

由(1)得 ∴ 答:角 A 的大小;函数的值域为 ∴

, .

点评: 本题考查向量与三角函数相结合的综合问题,是 2015 届高考中常出现的形式. 20. (13 分)已知 f(x)=x +bln(x+1)其中 b∈R. (1)若对 f(x)定义域内的任意 x,都有 f(x)≥f(1) ,求 b 的值; (2)若函数 f(x)在其定义域内是单调函数,求 b 的取值范围; (3)若 b=﹣1,证明:对任意的正整数 n,不等式 f( )<1+ + +…+ 都成立.
2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1)求 f(x)=x +bln(x+1)的定义域为(﹣1,+∞) ,且 f′(x)=2x+ 由题意可得 f′(1)=2+ =0,从而求 b; (2) 由题意可得 f′(x) =2x+
3 2 2

,则

≥0 或 f′(x) ≤0 在(﹣1, +∞)恒成立,从而可解得,b
3 2 3



(3)令 h(x)=f(x)﹣x =x ﹣ln(x+1)﹣x ,可证明 x ﹣ln(x+1)<x ,从而可证对任 意的正整数 n,不等式 f( )<1+
2

+

+ …+

都成立.

解答: 解: (1)∵f(x)=x +bln(x+1)的定义域为(﹣1,+∞) , f′(x)=2x+ ,

又∵f(x)≥f(1) , ∴f′(1)=2+ =0, 解得:b=﹣4; (2)∵f′(x)=2x+ ,

若使函数 f(x)在其定义域内是单调函数, ∴f′(x)=2x+ 解得,b .
3 2 3

≥0 或 f′(x)≤0 在(﹣1,+∞)恒成立,

(3)证明:令 h(x)=f(x)﹣x =x ﹣ln(x+1)﹣x , h′(x)=﹣3x ﹣
2

+2x=

< 0,

∴h(x)在?D 时,使得 x∈时,y=g(x)的值域是.则称是该函数 y=g(x)的“保值区间”.设 h(x)=f(x)+(x﹣2)e ,x∈(1,+∞) ,问函数 y=h(x)是否存在“保值区间”?若存在, 求出一个“保值区间”,若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: (1) f (x) =e (x +ax+b) , f( ′ x) =e (x + (a+2) x+b+a) ; 由题意得
x 2 x 2 x



从而解 a,b 的值; (2)求导确定函数的单调区间,从而求得 f(x)在(﹣∞,0) , (1,+∞)上是增函数,在 (0,1)上是减函数,从而求 f(x)在(﹣2,+∞)的取值范围; (3) )h(x)=f(x)+(x﹣2)e =e (x ﹣2x+1) ,x∈(1,+∞) ,h′(x)=e (x ﹣1)>0, 从而得方程 x+ ﹣ ﹣2=0 在 (1, +∞) 存在两个根, 构建 d (x) =x+ ﹣ ﹣2 在 (1, +∞)
x x 2 x 2

存在两个零点.从而判断. 解答: 解: (1)f(x)=e (x +ax+b) ,f′(x)=e (x +(a+2)x+b+a) ; , 解得,a=﹣3,b=3; x 2 (2)证明:f′(x)=e (x ﹣x)>0; 则 x∈(﹣∞,0)∪(1,+∞) , 故 f(x)在(﹣∞,0) , (1,+∞)上是增函数, 在(0,1)上是减函数, 又∵f (﹣2)= <f(1)=e; ,
x x 2 x 2 x 2

∴t>﹣2 时,f(t)>

(3)由题意,h(x)=f(x)+(x﹣2)e =e (x ﹣2x+1) ,x∈(1,+∞) , x 2 h′(x)=e (x ﹣1)>0, 则 h(x)在(1,+∞)单调递增, 设存在, 则 即方程 x+ ﹣ ﹣2=0 在(1,+∞)存在两个根, ﹣2 在(1,+∞)存在两个零点.

构建 d(x)=x+ ﹣

又 d′(x)=

+

>0,

∴d(x)=x+ ﹣

﹣2 在(1,+∞)上单调递增,

又∵d(1)<0,d(3)>0; ∴存在(1,3)之内只有一个实数根, 因此不存在如题所述的“保值区间”. 点评: 本题考查了导数的综合应用及对新定义的接受能力,属于难题.


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