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重庆市重庆一中2013-2014学年高二上学期期中考试 数学文

时间:2013-12-06


秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2015 级高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(文科)2013.11
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改

动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一、选择题(每个小题 5 分,共 50 分,将答案涂写在答题卡的相应位置上) 1、若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围为( m 1? m
B. m ? 0 C. ?



A. m ? 1

1 ?m?0 2


D.

1 ? m ?1 2

2、命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为(

A. 对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 C. 存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0
3、圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 的半径为(
2 2

B. 不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0 D. 存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0


A. 2

B. 4

C. 6

D. 2
)

4、设 l, m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题中正确的是(

A. 若 l // m, m ? ? ,则 l // ? C. 若 l ? ? , l ? m ,则 m // ?

B. l ? m, m ? ? ,则 l ? ? D. 若 l ? ? , m // ? ,则 l ? m
)条件

5、“ m ? 2 ”是“直线 mx ? y ? 1 ? 0 和直线 4 x ? my ? 2 ? 0 互相平行”的(

A. 充分不必要 C. 充分必要
6、设不等式组 ?

B. 必要不充分 D. 既不充分又不必要

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标 ?0 ? y ? 2


原点的距离大于 2 的概率是(

A.

? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4 ?? 4

第1页 共7页

7、当 k 变化时,直线 kx ? y ? 3k ? 0 和圆 x ? y ? 16 的位置关系是(
2 2



A. 相交

B. 相切
2 2

C. 相离

D. 不确定

8、已知点 A 为双曲线 x ? y ? 1 的左顶点,点 B 和 C 在双曲线的右支上,△ ABC 是等边 三角形,则△ ABC 的面积是( )

A. 3

B. 2 3

C. 3 3

D. 4 3
? ?? ? ??

5 x2 y2 9、 (原创)设椭圆 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? PF2 ? , 2 4 3
则 PF1 ? PF2 ? ( )

7 9 D. 2 2 10、 (原创)在四面体 ABCD 中,已知 AB ? x , 该四面体的其余五条棱的长度均为 2,则
A. 2 B. 3 C.
下列说法中错误的是( )

A. 棱长 x 的取值范围是: 0 ? x ? 2 3 B. 该四面体一定满足: AB ? CD C. 当 x ? 2 2 时,该四面体的表面积最大 D. 当 x ? 2 时,该四面体的体积最大
二、填空题(每个小题 5 分,共 25 分,将答案填写在答题卷的相应位置上) 11、已知直线 l 的一个方向向量为 a ? (?2,3) ,则直线 l 的斜率为 12、若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积等于
?

2 1 正视图 2 左视图

俯视图
13、 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆公共汽车发往 A 地, 李磊不定时的到车站等车去 A 地, 则他最多等 3 分钟的概率为

x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线和圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切, 14、 已知双曲线 则该双曲线的离 m
心率为
第2页 共7页

2 x2 x, 15、 (原创) 已知点 P( x, y ) 在椭圆 ? y 2 ? 1 上运动,设 d ? x 2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 2 2
则 d 的最小值为 三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 75 分,前三个题每题 13 分,后三个题每题 12 分, 解答时应在答题卷上写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 16、 (原创)某早餐店的早点销售价格如下: 饮料 单价 面食 单价 豆浆 1元 油条 1元 牛奶 2.5 元 面包 4元 粥 1元 包子 1元

假设小明的早餐搭配为一杯饮料和一个面食. (1)求小明的早餐价格最多为 3 元的概率; (2)求小明不喝牛奶且不吃油条的概率.

17、如右图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为矩形, 且 PD ? 平面 ABCD ,且 PD ? CD , 设点 E, F 分别为棱 PB, PC 的中点 (1)求证: EF // 平面 PAD (2)求证: PC ? 平面 DEF

18、已知下面两个命题: 命题 p : ?x ? R ,使 x ? ax ? 1 ? 0 ;
2

命题 q : ?x ? R ,都有 ax ? ax ? 1 ? 0
2

若“ ?p ”为真命题,“ p ? q ”也是真命题,求实数 a 的取值范围.

第3页 共7页

19、已知过点 P(1,2) 的直线 l 和圆 x ? y ? 6 交于 A, B 两点.
2 2

(1)若点 P 恰好为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程; (2)若 AB ? 2 5 ,求直线 l 的方程.

20、 (原创)如右图,已知 ABCD 是边长为 2 的 正方形, EA ? 平面 ABCD , FC ? 平面 ABCD , 设 EA ? 1 , FC ? 2 (1)证明:平面 EAB ? 平面 EAD ; (2)求四面体 BDEF 的体积; (3)求点 B 到平面 DEF 的距离.

21、 (原创)已知椭圆

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴长度为 4 2 2 a b

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 A, B 为该椭圆上的两个不同点, C (2,0) ,且 ?ACB ? 90 , 当 ?ABC 的周长最
?

大时,求直线 AB 的方程.

第4页 共7页

2013 年重庆一中高 2015 级高二上期半期考试

数 学 答 案(文科)2013.11
一、选择题: BDDDC 二、填空题:11: ? 三、解答题: 16:解:设豆浆,牛奶,粥依次用字母 a, b, c 表示,油条,面包,包子依次用字母 A, B, C 表 示,则小明早晨所有可能的搭配如下: aA, aB, aC, bA, bB, bC, cA, cB, cC 总共有 9 种不同的搭配方式。

DAC C D
12: 2 13:

3 2

3 10

14:

2 3 3

15: 5 ? 2

4 9 4 (2)小明不喝牛奶且不吃油条包含的结果为: aB, aC, cB, cC ,共有 4 种,其概率为 9 17: 证明: (1)由已知 EF 为 ?PBC 的中位线,所以 EF // BC ,又因为 BC // AD ,所以 EF // AD ,而 AD ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ,所以 EF // 平面 PAD (2)由已知 PC 在平面 ABCD 中的射影为 CD , BC ? 面 ABCD , BC ? CD ,由三垂
(1)明的早餐价格最多为 3 元包含的结果为: aA, aC, cA, cC ,共有 4 种,其概率为 线定理可知: BC ? PC ,而 EF // BC ,所以 PC ? EF ? ? ? (?) ; 又因为 ?PCD 为等腰三角形, F 为 PC 中点,所以 PC ? DF ? ? ? (?? ) ; 由 (?), (?? ) 可知: PC ? 平面 DEF 18:解:命题 p 等价于: a ? 4 ? 0 ,解出: a ? 2 或者 a ? ?2
2

命题 q 等价于: a ? 0 或者 ?

?

a?0

2 ?? ? a ? 4 a ? 0

,解出: 0 ? a ? 4

由已知 p 为假命题, q 为真命题,所以 ? 综上 a 的取值范围为: 0 ? a ? 2

?? 2 ? a ? 2 ,解出 0 ? a ? 2 ? 0?a?4

第5页 共7页

19:解: (1)易知圆心为原点 O ,由已知 OP ? l ,所以 k OP ? k l ? ?1 ,而 k OP ? 2 ,解出

1 k l ? ? ,由点斜式可得直线的方程为: x ? 2 y ? 5 ? 0 2
(2)当直线 l 的斜率不存在时刚好满足 AB ? 2 5 ,此时直线方程为 x ? 1; 若直线斜率存在,设为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,整理为 kx ? y ? (2 ? k ) ? 0 由垂径定理圆心到直线的距离 h ?

d r 2 ? ( )2 ? 1 2

所以 h ?

2?k k ?1
2

? 1 ,解出 k ?

3 ,此时直线的方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 4

综上可知满足条件的直线方程为: x ? 1或者 3x ? 4 y ? 5 ? 0 20:解: (1)由已知: AB ? EA , AB ? DA ,所以 AB ? 平面 EAD , 而 AB ? 平面 EAB ,所以平面 EAB ? 平面 EAD (2)四面体 BDEF 的体积 V ? V ABCDEF ? VE ? ABD ? VF ? BCD ? 2VB ? ACFE ? VE ? ABD ? VF ? BCD

1 1 1 1 ? 2( S ACFE ? BD) ? S ?ABD ? EA ? S ?BCD ? FC 3 2 3 3 1 (1 ? 2) ? 2 2 1 1 ? 2[ ? ? 2 ] ? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 2 ? 2 3 2 3 3
所以四面体 BDEF 的体积为 2 (3)先求 ?DEF 的三条边长: DE ? 在直角梯形 ACFE 中易求出 EF ? 3 , 由余弦定理知 cos ?EDF ?

EA2 ? AD 2 ? 5 , DF ? FC 2 ? CD 2 ? 2 2 ,

5?8?9 2? 5 ?2 2

?

1 10

,所以 sin ?EDF ?

3 10



S ?DEF ?

1 1 3 ? DE ? DF ? sin ?EDF ? ? 5 ? 2 2 ? ? 3; 2 2 10

点 B 到平面 DEF 的距离为 h ,由体积法知:

1 1 VBDEF ? S ?DEF ? h ? ? 3 ? h ? 2 ,解出 h ? 2 3 3 所以点 B 到平面 DEF 的距离为 2

第6页 共7页

? c 2 ? ?a ? 2 2 ? 2 ? ? a 21:解: (1)有已知可得: ? 2b ? 4 ,解出 ? b ? 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? c?2 ? ? ?
所以椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 8 4

(2)易知 C (2,0) 恰好为椭圆的右焦点,设该椭圆的左焦点为 C ' (?2,0) , 设 ?ABC 的周长为 l ,则:

l ? AB ? AC ? BC ? ( AC '? BC ' ) ? AC ? BC ? ( AC ? AC ' ) ? ( BC ? BC ' ) ? 4a ? 8 2
所以周长的最大值为 8 2 ,当线段 AB 经过左焦点 C ' (?2,0) 时取等号。 由于直线 AB 的斜率不能为 0,否则 A, B, C 三点共线,与 ?ACB ? 90 相矛盾。所以可假
?

设直线 AB 的方程式为: x ? my ? 2 将该直线和椭圆联立化简得: (m ? 2) y ? 4my ? 4 ? 0
2 2

假设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由韦达定理知: y1 ? y 2 ?
? ?? ? ??
?

4m ?4 , y1 y 2 ? 2 2 m ?2 m ?2

由已知 ?ACB ? 90 ,所以: CA? CB ? 0 即: ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y 2 ) ? 0 即: ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? y1 y 2 ? 0 即: (my1 ? 4) ? (my 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 0 即: (m ? 1) y1 y 2 ? 4m( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0
2

将韦达定理代入上式得: (m ? 1) ?
2

?4 4m ? 4m ? 2 ? 16 ? 0 ,解出: m ? ? 7 2 m ?2 m ?2

所以直线 AB 的方程为: x ? ? 7 y ? 2

第7页 共7页


重庆一中2012-2013学年高二上学期期末考试 数学文

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