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雅礼中学2011届高三文科数学第3次周考

时间:2012-02-28


2011 届高三文科数学第三 雅礼中学 2011 届高三文科数学第三次周练习
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 在每小题给出的四个选项中 目要求的. 目要求的 1.下列命题中是真命题的为 . A. ?x ∈ R , x < x + 1
2



( B. ?x ∈ R , x ≥ x + 1
2



C. ?x ∈ R , ?y ∈ R , xy = y
2

2

D. ?x ∈ R , ?y ∈ R , x > y

2

2.在边长为 1 的等边 ?ABC 中,设 BC = a, CA = b, 则a ? b = ( A. ?

uuu r

r uuu r

r

r r



1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

3.已知命题 p : 围是 A. ( ?3, ?1]

2x < 1 ,命题 q : ( x + a )( x ? 3) > 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 x ?1
( B. [ ?3, ?1] C. ( ?∞, ?3] )
开始



D. ( ?∞, ?1]

4.已知如右程序框图,则 输出的 i 是( A. 9 B. 11 D. 15 C. 13

S =1

5.函数 y = sin(ωx + ? )( x ∈ R, ω > 0,0 ≤ ? < 2π ) 的部分图象如图,则( A. ω = C. ω =


i=3

π π
2 4

,? = ,? =

π π
4 4

B. ω =

π
3

,? =

π
6


5π D. ω = , ? = 4 4

π

S ≥ 1000 ?


输出 i

S = S *i
i=i+2

结束

(第 5 题图)

(第 4 题图)

6.若一圆锥与一球的体积相等,且此圆锥底面半径与此球的直径相等,则此圆锥侧面积与此球的表面积 之比为( ) A. 2 : 2 B. 5 : 2 C. 3 : 2 D. 3 : 2 )

7.圆 x 2 + ( y ? 1) 2 = 4 中过点 Q(1,2),且与圆相交截得的弦长最短时的直线方程是( A. x + y ? 1 = 0 C. x + y ? 3 = 0 B. x ? y ? 1 = 0 D. x ? y ? 3 = 0

2 8.已知 y = f ( x ) 是奇函数,且满足 f ( x + 2) + 3 f ( ? x ) = 0, 当 x ∈ [0,2] 时, f ( x ) = x ? 2 x ,则当

1

x ∈ [?4,?2] 时, f (x) 的最小值为(
A. ? 1 B. ?



1 3

C. ?

1 9

D.

1 9

小题, 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 填空题

9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的

表面积为

平方单位.

10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a , b, c ,且

16 题图

a = 15, b = 10, A = 600 ,则 cos B =

.

11.若幂函数 f ( x ) 的图象经过点 A(4, 2) ,则它在 A 点处的切线方程为

12.已知双曲线 C :

x2 y2 ? = 1( a > 0, b > 0 ) 的离心率 e = 2 ,且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1, a2 b2


则双曲线 C 的方程为

) = 2 与圆 ρ = 2 的公共点个数是_______. 4 a b 4 6 12 14 2004 2006 14..已知 = ad ? bc ,则 + + LL + = c d 8 10 16 18 2008 2010
15. 若数列 {an } 满足

13. 极坐标系下,直线 ρ cos(θ ?

π

?1? 1 1 ? = d ( n ∈ N ? ,d 为常数),则称数列 {an } 为调和数列,已知数列 ? ? an +1 an ? xn ?
,若 x5 > 0, x16 > 0, 则x5 ? x16 的最大值

为调和数列,且 x1 + x2 + L + x20 = 200 ,则 x1 + x20 = 为 .

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 16.已知向量 m = ( a + c, b) , n = ( a ? c, b ? a ) ,且 m ? n = 0 ,其中 A、B、C 是 ? ABC 的内角, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A + sin B 的取值范围;

17.甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛成绩记录如下: 甲: 78 76 74 90 82 乙: 90 70 75 85 80 (1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲乙两人成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理 由。
2

18.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=4,CB=2, ∠ACB = 60 ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。
o

(1)证明:平面 AEB ⊥ 平面 BB1C1C ; (2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。

A1

E

C1 B1

P

A F B

C

19.某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产 品的有关数据如下表:(单位:万美元) 项 目 类 别 年固定成本 20 40 每件产品成 本 每件产品 销售价 10 18 每年最多可 生产的件数 200 120

A 产品 B 产品

m
8

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料价格决定,预计

m ∈ [6,8] .另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 2 万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在
当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系 并指明其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.

20.在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知以 O 为圆心的圆与直线 l : y = mx + (3 ? 4m) , (m ∈ R ) 恒有公共点, 且要求使圆 O 的面积最小. (1)写出圆 O 的方程; uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内动点 P 使 | PA | 、 | PO | 、 | PB | 成等比数列,求 PA ? PB 的范围; uuuu uuur r (3)已知定点 Q( ?4 ,3),直线 l 与圆 O 交于 M、N 两点,试判断 QM ? QN × tan ∠MQN 是否有 最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线 l 的方程,若不存在,给出理由.

21.已知函数 f ( x) = x 2 ? mx(m ∈ R ), g ( x) = ln x. (1)记 h( x) = f ( x) ? g ( x), 当 m = 1 时,求函数 h(x) 的单调区间; (2)若对任意有意义的 x ,不等式 f ( x) > g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围; (3)求证:当 m > 1 时,方程 f ( x) = g ( x) 有两个不等的实根

3

2011 届高三文科数学第三 雅礼中学 2011 届高三文科数学第三次周练习
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 在每小题给出的四个选项中 目要求的. 目要求的 1.下列命题中是真命题的为 . A. ?x ∈ R , x < x + 1
2

( C ) B. ?x ∈ R , x ≥ x + 1
2

C. ?x ∈ R , ?y ∈ R , xy = y
2

2

D. ?x ∈ R , ?y ∈ R , x > y

2

2.在边长为 1 的等边 ?ABC 中,设 BC = a, CA = b, 则a ? b = ( A A. ?

uuu r

r uuu r

r

r r



1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

3.已知命题 p : 围是 A. ( ?3, ?1]

2x < 1 ,命题 q : ( x + a )( x ? 3) > 0 ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 x ?1
( D) B. [ ?3, ?1] C. ( ?∞, ?3] )
开始

D. ( ?∞, ?1]

4.已知如右程序框图,则 输出的 i 是( C A. 9 B. 11 D. 15 C. 13

S =1 i=3

5.函数 y = sin(ωx + ? )( x ∈ R, ω > 0,0 ≤ ? < 2π ) 的部分图象如图,则( C ) A. ω = C. ω =

π π
2 4

,? = ,? =

π π
4 4

B. ω =

π
3

,? =

π
6


5π D. ω = , ? = 4 4

π

S ≥ 1000 ?


输出 i

S = S *i
i=i+2

结束

(第 5 题图)

(第 4 题图)

6.若一圆锥与一球的体积相等,且此圆锥底面半径与此球的直径相等,则此圆锥侧面积与此球的表面积 之比为( B ) A. 2 : 2 B. 5 : 2 C. 3 : 2 D. 3 : 2 )

7.圆 x 2 + ( y ? 1) 2 = 4 中过点 Q(1,2),且与圆相交截得的弦长最短时的直线方程是( C A. x + y ? 1 = 0 C. x + y ? 3 = 0 B. x ? y ? 1 = 0 D. x ? y ? 3 = 0

2 8.已知 y = f ( x ) 是奇函数,且满足 f ( x + 2) + 3 f ( ? x ) = 0, 当 x ∈ [0,2] 时, f ( x ) = x ? 2 x ,则当

4

x ∈ [?4,?2] 时, f (x) 的最小值为( C )
A. ? 1 B. ?

1 3

C. ?

1 9

D.

1 9

小题, 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 填空题:

9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的

表面积为

3+ 5

平方单位.

10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a , b, c ,且

a = 15, b = 10, A = 60 ,则 cos B =
0

6 . 3

16 题图

11.若幂函数 f ( x ) 的图象经过点 A(4, 2) ,则它在 A 点处的切线方程为 x ? 4 y + 4 = 0

12.已知双曲线 C :

x2 y2 ? = 1( a > 0, b > 0 ) 的离心率 e = 2 ,且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1, a2 b2 x2 ? y2 =1 3

则双曲线 C 的方程为



) = 2 与圆 ρ = 2 的公共点个数是___1 个_____. 4 a b 4 6 12 14 2004 2006 14..已知 = ad ? bc ,则 + + LL + = -2008 c d 8 10 16 18 2008 2010
15. 若数列 {an } 满足

13. 极坐标系下,直线 ρ cos(θ ?

π

?1? 1 1 ? = d ( n ∈ N ? ,d 为常数),则称数列 {an } 为调和数列,已知数列 ? ? an +1 an ? xn ?
20 ,若 x5 > 0, x16 > 0, 则x5 ? x16 的最大

为调和数列,且 x1 + x2 + L + x20 = 200 ,则 x1 + x20 = 值为 100 .

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 16.已知向量 m = ( a + c, b) , n = ( a ? c, b ? a ) ,且 m ? n = 0 ,其中 A、B、C 是 ? ABC 的内角, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边。 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A + sin B 的取值范围; 解:(I)由 m ? n = 0 得 ( a + c )( a ? c ) + b(b ? a ) = 0 ? a 2 + b 2 ? c 2 = ab … …2 分 由余弦定理 cos C =

a2 + b2 ? c2 ab 1 = = 2ab 2ab 2

……4 分

又 0 < C < π ,则 C =

π
… …6 分

3
5

(II)由(I)得 C =

π
3

,则 A + B =

2π 3

sin A + sin B = sin A + sin(
Q0 < A <

2π 3 3 π ? A) = sin A + cos A = 3 sin( A + ) …9 分 3 2 2 6 < A+ ∴

2π 3



π
6

π
6

<

5π ………10 分 6



1 π < sin( A + ) ≤ 1 2 6

3 π < 3 sin( A + ) < 3 2 6
3 , 3 ] ………………13 分 2

即 sin A + sin B 得取值范围是 [

17.甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加 5 次预赛成绩记录如下: 甲: 78 76 74 90 82 乙: 90 70 75 85 80 (1)用茎叶图表示这两组数据; (2)从甲乙两人成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理 由。 甲 乙 (1) 468 2 0 7 8 9 05 05 0 ………………………………………3 分

(2)从甲乙两人得成绩各随机抽取一个,所有情况如下: (78,90) (78,70) (78,75) (78,85) (76,90) (76,70) (76,75) (76,85) (74,90) (74,70) (74,75) (74,85) (90,90) (90,70) (90,75) (90,85) (82,90) (82,70) (82,75) (82,85) 共有 25 种 而甲大于乙的情况有 12 种,.∴ P =
2

(78,80) (76,80) (74,80) (90,80) (82,80)

12 ……………………………………8 分 25
2

(3) x甲 = 80 , x乙 = 80 ,而 s甲 = 32 , s乙 = 50
2 2 Q s甲 < s乙 ,,∴ 选甲参加更合适。…………………………………………………12 分

18.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=4,CB=2, ∠ACB = 60 ,E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点。
o

(1)证明:平面 AEB ⊥ 平面 BB1C1C ;
6

(2)证明: C1 F // 平面 ABE; (3)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积。 (1)证明:在 ?ABC中 ,∵AC=2BC=4, ∠ABC = 60 ∴ AB = 2 3 …………………………………1 分 P ∴ AB + BC = AC
2 2 2 0

A1

E

C1 B1

∴ AB ⊥ BC ……………………………2 分 由已知 AB ⊥ BB1 ∴ AB ⊥ 面 BB1C1C ……3 分

A F B

C

又∵ AB ? 面 ABE,故 ABE ⊥ 面 BB1C1C …4 分 (2)证明:取 AC 的中点 M,连结 C1 M , KM ……………………5 分 在 ?ABC中, FM // AB , ∴直线 FM//面 ABE………………………………………………...6 分 在矩形 ACC1 A1 中,E、M 都是中点 ∴ C1 M // AE ∴直线 C1 M // 面 ABE ………………….7 分 ∴ 面 ABE // 面 FMC1

又∵ C1 M ∩ FM = M

故 C1 F // 面 AEC ………………………………………………8 分 (3)在棱 AC 上取中点 G,连结 EG、BG,在 BG 上取中点 O, 连结 PO,则 PO// BB1 ,

∴ 点 P 到面 BB1C1C 的距离等于点 O 到平面 BB1C1C 的距离。……………10 分
过 O 作 OH//AB 交 BC 与 H,则 OH ⊥ 平面 BB1C1C 在等边 ?BCG 中可知 CO ⊥ BG,∴ BO = 1 在 Rt?BOC 中,可得 OH =

3 2

∴V P ? B1C1F =

3 ………………………………………………………………12 分 3

7

19.某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产 品的有关数据如下表:(单位:万美元) 项 目 类 别 A 产品 B 产品 年固定成本 20 40 每件产品 成本 每件产品 销售价 10 18 每年最多可 生产的件数 200 120

m
8

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料价格决定,预计

m ∈ [6,8] .另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x 2 万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在
当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系 并指明其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划. (Ⅰ)设年销售量为 x 件,按利润的计算公式,有生产 A、B 两产品的年利润 y1 , y2 分别为:

y1 = 10 × x ? ( 20 + mx ) = (10 ? m ) x ? 20

0 ≤ x ≤ 200 且 x ∈ N ………3 分

y2 = 18 × x ? ( 40 + 8 x ) ? 0.05 x 2 = ?0.05 x 2 + 10 x ? 40
∴ y2 = ?0.05 ( x ? 100 ) + 460, 0 ≤ x ≤ 120, x ∈ N .
2

…… 6 分

(Ⅱ)Q 6 ≤ m ≤ 8 ,,∴10 ? m > 0 ,∴ y1 = (10 ? m) x ? 20 为增函数,
又0 ≤ x ≤ 200, x ∈ N ∴ x = 200 时,生产 A 产品有最大利润为 (10 ? m ) × 200 ? 20 = 1980 ? 200m

(万美元) 又 y2 = ?0.05 ( x ? 100 ) + 460, 0 ≤ x ≤ 120, x ∈ N . ∴ x = 100 时,生产 B 产品
2

有最大利润为 460(万美元) 作差比较: ( y1 ) max ? ( y 2 ) max

LLLLLL 10 分

6 ?> 0,   ≤ m < 7.6 ? = (1980 ? 200m) ? 460 = 1520 ? 200m?= 0,   m = 7.6 …12 分 ?< 0,   6 < m ≤ 8 7. ?

所以:当 6 ≤ m < 7.6 时,投资生产 A 产品 200 件可获得最大年利润; 当 m = 7.6 时,生产 A 产品与生产 B 产品均可获得最大年利润; 当 7.6 < m ≤ 8 时,投资生产 B 产品 100 件可获得最大年利润. ……… 20.在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知以 O 为圆心的圆与直线 l : y = mx + (3 ? 4m) , (m ∈ R ) 恒有公共点, 且要求使圆 O 的面积最小. (1)写出圆 O 的方程; uuu r uuu r uuu r uuu uuu r r (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内动点 P 使 | PA | 、 | PO | 、 | PB | 成等比数列,求 PA ? PB 的范围; uuuu uuur r (3)已知定点 Q( ?4 ,3),直线 l 与圆 O 交于 M、N 两点,试判断 QM ? QN × tan ∠MQN 是否有 最大值,若存在求出最大值,并求出此时直线 l 的方程,若不存在,给出理由. 解:(1)因为直线 l : y = mx + (3 ? 4m) 过定点 T(4,3) ,由题意,要使圆 O 的面积最小, 定点 T
8

(4,3)在圆上, 所以圆 O 的方程为 x 2 + y 2 = 25 .
2 2 (2)A(-5,0),B(5,0),设 P ( x0 , y0 ) ,则 x0 + y0 < 25 ……(1)

uuu r uuu r uuu uuu uuu r r r uuu r uuu uuu r r PA = (?5 ? x0 , ? y0 ) , PB = (5 ? x0 , ? y0 ) ,由 | PA |,| PO |,| PB | 成等比数列得, | PO |2 =| PA | ? | PB | ,
2 2 2 2 2 2 即 x0 + y0 = ( x0 + 5) 2 + y0 ? ( x0 ? 5) 2 + y0 ,整理得: x0 ? y0 =

25 25 2 2 ,即 x0 = + y0 2 2

(2) 由(1)(2)得: 0 ≤ y0 <
2

r r uuu uuu r r 25 uuu uuu 25 25 2 2 2 , PA ? PB = ( x0 ? 25) + y0 = 2 y0 ? ,∴ PA ? PB ∈ [? , 0) 2 2 4

uuuu uuur r uuuu uuur r uuuu uuur r (3) QM ? QN × tan ∠MQN =| QM | ? | QN | cos ∠MQN × tan ∠MQN =| QM | ? | QN | sin ∠MQN = 2 S? MQN .

由题意,得直线 l 与圆 O 的一个交点为 M(4,3),又知定点 Q( ?4 ,3), 直线 lMQ : y = 3 , | MQ |= 8 ,则当 N (0, ?5) 时 S? MQN 有最大值 32.

uuuu uuur r 即 QM ? QN × tan ∠MQN 有最大值为 32,此时直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 = 0 .
21.已知函数 f ( x) = x 2 ? mx(m ∈ R ), g ( x) = ln x. (1)记 h( x) = f ( x) ? g ( x), 当 m = 1 时,求函数 h(x) 的单调区间; (2)若对任意有意义的 x ,不等式 f ( x) > g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围; (3)求证:当 m > 1 时,方程 f ( x) = g ( x) 有两个不等的实根 解:(1)当 m = 1 时, h( x) = x 2 ? x ? ln x( x > 0),
1 2 x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2 x + 1) = = ( x > 0), ……3 分 x x x 当 0 < x < 1 时, h' ( x) < 0, ∴ h(x ) 的单调减区间为 (0,1); …………4 分 h' ( x ) = 2 x ? 1 ?

当 x > 1 时, h' ( x) > 0, ∴ h(x ) 的单调减区间为 (1,+∞). …………5 分 (2) f ( x) > g ( x) 等价于 x 2 ? mx > ln x ,其中 x > 0, ∴ m <
ln x x 2 + ln x ? 1 , 得 t ' ( x) = , …………7 分 x x2 当 0 < x < 1 时, t ' ( x) < 0, 当 x > 1 时, t ' ( x) > 0,
x 2 ? ln x ln x = x? …………6 分 x x

令 t ( x) = x ?

∴ m < t ( x) min = t (1) = 1,∴ m < 1 …………10 分

(3)设 h( x) = f ( x) ? g ( x) = x 2 ? mx ? ln x, ,其中 x > 0.
Q h' ( x ) = 2 x ? m ?
x0 =

1 2 x 2 ? mx ? 1 = = 0, 等价于 2 x 2 ? mx ? 1 = 0, 此方程有且只有一个正根为 x x2

m + m2 + 8 , …………11 分 4 且当 x ∈ (0, x0 ) 时, h' ( x) < 0, ∴ h(x ) 在 (0, x0 ) 上单调递减;

当 x ∈ ( x0 ,+∞) 时, h' ( x) > 0, ∴ h(x ) 在 ( x0 ,+∞) 上单调递增; ∴函数只有一个极值 h( x) min = h( x0 ) = x0 2 ? mx0 ? ln x0 . …………12 分
9

当 m > 1 时, x0 =

m + m2 + 8 , 关于 m 在 (1,+∞) 递增,∴ x0 ∈ (1,+∞), ln x0 > 0. …………13 分 4

Q m > 1,∴ (m 2 + 8) ? 9m 2 = 8(1 ? m 2 ) < 0, m 2 + 8 < 3m ∴ x0 ? m = m + m2 + 8 ?m= 4 m 2 + 8 ? 3m < 0, …………14 分 4

h( x) min = h( x0 ) = x0 2 ? mx0 ? ln x0 = x0 ( x0 ? m) ? ln x0 < 0, ………15 分

当 m > 1 时,方程 f ( x) = g ( x) 有两个不等的实根。………16 分

10


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