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学案67、68:第二章《平面向量》复习课


高一数学《必修 1》导学案 67、68

编制:王常斌

审核:范友宝

高一(

)班

第___组 姓名

必修 4 平面向量(章节复习) 【课前导学】
一、知识结构:

二、知识梳理:
(一)向量的概念与几何运算 1

.向量的有关概念 ⑴向量: 既有 零向量: ⑶ 相等向量: 2.向量的加法与减法 ⑴向量的加法法则: (Ⅰ)三角形法则: (Ⅱ)平行四边形法则: ⑵ 向量的减法法则:三角形法则:由 3.实数与向量的积 ⑴ 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a .它的长度与方向规定如下: ① | ? a |= . ; ; ② 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向 当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向 当 ? =0 时, ? a ⑵ ? (μ a )= . . ( ? +μ) a = .
? ( a + b )=

又有

的量叫向量. 的向量,叫单位向量. . 叫平行向量, 也叫共线向量. 规定零向量与任一向量

的向量叫零向量.单位向量: 且 的向量叫相等向量.

⑵平行向量 (共线向量)

(四字概括) (四字概括) 的终点指向 的终点。

. .

⑶ 共线向量定理:向量 b 与非零向量 a 共线,当且仅当存在唯一个实数 λ 使得 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使得 .

4.平面向量基本定理:如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a ,

(二)平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底, 对于一个向量 a , 有且只有一对实数 x、

y,使得 a =x i +y j .我们把(x、y)叫做向量 a 的直角坐标,记作 2.向量的坐标等于起点为 3.平面向量的坐标运算: (1)若 a =(x1、y1), b =(x2、y2),λ∈R,则:
a +b = a -b =

.并且| a |=



的向量的终点坐标,即,若 P( x, y) ,则 OP ?

λa = . . 。

(2)已知 A(x1、y1),B(x2、y2),则 AB = 4.两个向量 a =(x1、y1)和 b =(x2、y2)共线的充要条件是

P 的坐标为 5.设 P1(x1、y1) ,P2(x2、y2) ,线段 PP 1 2 的中点
(三)平面向量的数量积

1.两个向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b ,过 O 点作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0°≤θ≤180°) 叫 做向量 a 与 b 的 .当 θ=0° 时, a 与 b . 叫做 a 与 b 的 ;当 θ=180° 时, a 与 b ;如果 a 与 b 的夹角

是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作

2.两个向量的数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 θ,则数量
b ,即 a · b= 数量积(或内积) ,记作 a · b= =(x2, y2),则 a ·

.规定零向量与任一向量的数量积为 0.若 a =(x1, y1), b



3.向量的数量积的几何意义: | b |cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 (θ 是向量 a 与 b 的夹角).
a· b 的几何意义是,数量 a · b 等于



4.向量数量积的性质:设 a 、 b 都是非零向量, e 是单位向量,θ 是 a 与 b 的夹角.
a =a · e= ⑴ e·

⑵ a ⊥b ?
b= ;当 a 与 b 反向时, a · b |≤ ⑸ |a ·

b= ⑶ 当 a 与 b 同向时, a ·



⑷ cosθ=
b= ⑴ a·


b= ;⑵ (λ a )·

5.向量数量积的运算律: = a ·(λ b )
c= ⑶ ( a + b )·

【预习自测】
1. 若 A(2,-1) ,B(-1,3) ,则 AB 的坐标是 A.(1,2) B.(-3,4) C. (3,-4) 2、化简下列各式: (1) ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) = (3) OA ? OC ? BO ? CO ? BA = . ; (2) MN ? MP - ON ? OM = ; ( ) D. 以上都不对

(4) ( AB ? MB) + ( BO ? BC) ? OM =__________ ( C. a ? b ( ) ) D. b ? a

3. △ABC 中, BC = a , AC = b ,则 AB 等于 A. a ? b A.30
0

B. ?(a ? b) B.45
0

4. 若| a |=1,| b |= 2 ,( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角为 C.60
0

D.75

0

2

高一数学《必修 1》导学案 67、68

编制:王常斌

审核:范友宝

高一(

)班

第___组 姓名

5.一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 2km / h ,则船实际航 行的速度的大小和方向是 .

【课中导学】
例 1:如图, ABCD 中,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN=

1 BD, 设 AB ? a, AD ? b 3
D C N

(1)试用 a 与 b 表示出 MC , (2)求证:M、N、C 三点共线.

A

M

B

例 2. 已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (1)若| c |=2 (2)若| b |=
?
?

?

?

?

?

5 ,且 c ‖ a ,求 c 的坐标
? ? ? ? ? ? 5 ,且 a +2 b 与 2 a - b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

?

?

?

例3、已知点O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5), P 为一动点,及 OP ? OA ? t AB , (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由。

【课后作业】
1. 已知 A(2,-2),B(4,3),向量 p 的坐标为(2k-1,7)且 p ∥ AB ,则 k 的值为 9 9 19 19 A. ? B. C. ? D. 10 10 10 10 2. 已知 AB ? AD ? AC ,且 AC ? a, BD ? b ,用 a, b 表示 AB ? 3、已知 a ? (1,0), b ? (1,1) , a ? ? b 与 a 垂直,则 ? ? 4. 已知| a |=3,| b |=4,且| a - b |= 37 ,则 a 与 b 的夹角为 5、已知△ABC 中,A(1,1),B(4,1),C(4,5),则 cos A = 6.设两个非零向量 e1 、 e2 不共线.如果 AB = e1 ? e2 , BC ? 2 e1 +8 e2 , CD =3( e1 - e2 ) (1)求证:A、B、D 共线;(2)试确定实数 k,使 k e1 + e2 和 e1 +k e2 共线. ( )

, BC ?

?

?

?

?

?

?



7、已知平面向量 a ? (2, 4), b ? (?4, x), c ? (3, y) ,且 a / /b, a ? c . (1)求 x, y 的值; (2)若 m ? a ? b, n ? a ? 2c ,求向量 m 与 n 的夹角的余弦值。

? 8、如图所示,支座 A 受 F 1, F 2 两个力的作用,已知 | F 1 |? 40 N ,与水平线成
角;| F2 |? 70N , 沿水平方向; 两个力的合力 | F |? 100N , 求角 ? 以及合力 F 与水平线的夹角 ? .(只需求出角 ? 和角 ? 的某一三角函数值即可)
B F1 A θ F β F2 D C

4


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