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第十节 导数概念、导数的运算


第十节 导数概念、导数的运算
1、 物体的瞬时速度及函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 ⑴瞬时速度:瞬时速度 v(t ) 是平均速度 v(t , d ) ? ⑵函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 ①定义: ②符号:

f (t ? d ) ? f (t ) 在 d 趋于 0 时的极限。 d

f ( x0

? d ) ? f ( x0 ) ? f‘ ( x0 ) (d ? 0) d

③函数 f ( x) 的导函数:一阶导数 f ?( x) ;二阶导数 f ??( x) …… 2、导数的实际意义 ⑴物理意义: f ?(t ) 为瞬时速度 v(t ) ⑵几何意义: 函数 f ( x) 在 x0 处的导数 f ?( x0 ) 是在 y ? f ( x) 上点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜 率。相应地,切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 3、导数公式表 ⑴ (c)? ? 0 ⑵ ( x )? ? ax
a

(c为 常 数 )
a ?1

⑹ (log a x)? ?

1 (a > 0, a ? 1, x > 0) x ln a

(a ? 0)

⑺ (sin x)? ? cos x ⑻ (cosx)? ? ? sin x

⑶ (e )? ? e
x

x

x x ⑷ (a )? ? a (ln a)

(a > 0, a ? 1) ( x > 0)

⑼ (tan x)? ?

⑸ (ln x ) ? ?

1 x

1 cos 2 x 1 ⑽ (cot x ) ? ? ? sin 2 x

4、导数运算法则 ⑴ (c ? f ( x))? ? c ? f ?( x) ⑷(

1 f ?( x) )? ? ? f ( x) ( f ( x))2 g ( x) g ?( x) f ( x) ? g ( x) f ?( x) )? ? f ( x) ( f ( x))2

⑵ ( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) ⑶ ( f ( x) g ( x))? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 练习

⑸(

1、 匀速运动物体的运动方程是 s ? s(t ) ? s0 ? v0 t ,求物体在时刻 t 的瞬时速度。

2、 一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离 h (单位:m)与时间 t (单位:s)之
2 间的函数关系为 h ? t ,求 t ? 5s 时此球在垂直方向的瞬时速度。

3、 一质点运动的方程为 s ? 9 ? 2t

2

⑴求质点在 ?2,2 ? d ?这段时间内的平均速度。 ⑵求质点在 t ? 1 时的瞬时速度。

4、 一质点沿直线运动,如果有始点经过 t 秒后的位移为 s ? 零的时刻是( A、1 秒末和 2 秒末 ) B、2 秒末

1 3 5 2 t ? t ? 6t ,那么速率为 3 2
D、3 秒末

C、2 秒末和 3 秒末

5、 求曲线 y ? x ? 1 在点 P(1, 2)处的切线的斜率。
2

6、 求曲线 y ? 2 x 在点 P(1, 2)处的切线的方程。
2

7、 求曲线 x ? y ? 0 在点(2,8)处的切线方程。
3

3 8、 质点的运动方程是 s ? t ( s 的单位:m ; t 的单位:s),求质点在 t ? 3 的速度。

9、 求曲线 f ( x) ? x ln x 在点 x ? e 处的切线方程。

10、若函数 y ? sin x ,求函数在点(0,0)处的切线的斜率。

11、求下列函数的导数 ⑴ y ? x6 ⑹ y ? log2 x

⑵ y ? e3

⑺ f ( x) ? 2 x 2 ? 3

⑶y ?3

x

⑻ f ( x) ? cos x ? sin x

⑷ y ? cot x

⑼ g ( x) ? x ln x
2

⑸y?

x5

⑽ g ( x ) ? log 3 x ?

1 x

12、若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 y 轴,求 a 的值。
2

a 13、若曲线 y ? x ? 5 (a ? R) 在点(1,2)处的切线经过坐标原点,求 a 的值。


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