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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质(1)教学案

时间:2016-09-30


江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第 2 讲 函数的概念、 图象与性质 (1)教学案
复备栏 教学内容:函数的概念、图象与性质(1) 教学目标: 理解函数及其表示,掌握函数的图象;掌握函数的性质。 教学重点: 一是识图,二是用图,通过数形结合的思想解决问题。 教学难点: 单调性、奇偶性、周期性等综合应用. 教学过程: 一、知识点复习: 1.必记的概念与定理 (1

)若函数在其定义 域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应法则,这 样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数. (2)单调性:利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结 论.由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (3)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于 y 轴对称,在 关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性; 奇函数的图象关于坐标原点对 称,在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. (4)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足 f(x+T)=f(x)(T≠0),由 函数周期性的定义可知 T 是函数的一个周期; 应注意 nT(n∈Z 且 n≠0)也是函数的周期. 2.记住几个常用的公式与结论 图象变换规则 (1)水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移 a 个 单位而得到. (2)竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移 b 个 单位而得到. (3)y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. (4)y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. (5)y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. (6)要得到 y=|f(x)|的图象,可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻 折到 x 轴上方,其余部分不变. (7)要得到 y=f(|x|)的图象,可将 y=f(x),x≥0 的部分作出,再利用偶函数的图象关于 y 轴的对称性,作出 x<0 时的图象. (8)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0; (9)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反之亦然;利用奇函数 的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同; 利用偶函 数的图象关于 y 轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反. 3.需要关注的易错易混点 (1)在求分段函数的值 f(x0)时,一定要首先判断 x0 属于定义域的哪个子集,然后再代

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入相应的关系式 ;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合 的并集. (2)从定义上看, 函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质, 是局部的特 征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调. (3)单调区间只能用区间表示, 不能用集合或不等式表示; 如有多个单调区间应分别写, 不能用并集符号 “∪”联结,也不能用“或”联结. (4)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 二、基础训练: 1.(教材习题改编)若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(-1)=________.
?1+b+c=0, ?b=-4, ? ? 解析:由已知得? 得? ? ? ?9+3b+c=0, ?c=3.

即 f(x)=x2-4x+3. 所以 f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8. 答案:8 2.设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到 集合 N 的函数关系的是________.

解析:由函数的定义,对定义域内的每一个 x 对应着惟一一个 y,据此排除①④,③ 中值域为{y|0≤y≤3}不合题意. 答案:② x2+1,x≤1, ? ? 3.(2014· 常州模拟)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3))=________. ,x>1, ? x ? 2 13 ?2? 解析:f(3)=3,f( f(3))= 3 2+1= 9 .

? ?

13 答案: 9 4.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是________. 解析:∵f(x)=ax2+bx 是定义在[ a-1,2a]上的偶函数, ∴a-1+2a=0, 1 ∴a=3.又 f(-x)=f(x), 1 ∴b=0,∴a+b=3. 1 答案:3

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三、例题教学: f? 2x? 例 1 (2014· 苏州调研)若函数 y=f(x)的定义域是[0,8],则函数 g(x)= ln x 的定义域 是________. [解析] 由函数 y=f(x)的定义域是[0,8]得,函数 g(x)有意义的条件为 0≤2x≤8 且 x>0, x≠1,故 x∈(0,1)∪(1,4] [答案] (0,1)∪(1,4 [方法归纳] 求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范 围,只需构建并解不等式(组)即可,函数 f(g(x))的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出([a, b]为 g(x)的值域). (2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. 变式训练: f? x? 若函数 y=f(2x)的定义域是[0,8],则函数 g(x)= 2x 的定义域是________. 解析:由函数 y=f(2x)的定义域是[0,8]得,函数 g(x)有意义的条件为 0≤2x≤16,所以 f? x? g(x)= 2x 的定义域是[0,16]. 答案:[0,16] 例 2 (1)(2014· 高考江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x∈[0,3)时, 1 f(x)= x2-2x+2 .若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有 10 个零点(互不相同), 则实数 a 的取值范围是________. (2) (2014· 南昌模拟)已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈[-1,1]时 f(x)=x2,那么函数 y =f( x)的图象与函数 y=|lg x|的图象的交点共有________个. [解析] (1)作出函数 y=f(x)在[-3,4]上的图象, f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f(1)=f(2) 1 1 =f(3)=f(4)=2,观察图象可得 0<a<2.

(2)根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:

可验证当 x=10 时,y=|lg 10|=1; 1<x<10 时,|lg x|<1;

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x>10 时|lg x|>1.结合图象知 y=f(x)与 y=|lg x|的图象交点共有 10 个.

? 1? [答案] (1) 0,2 ? ?

(2) 10

[方法归纳] 作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩 变换和对称变换.尤其注意 y=f(x)与 y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y =|f(x)|及 y=af(x)+b 的相互关系. 识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准 解析式与图象的对应关系. 用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不 等式的求解常与图象数形结合研究. 变式训练: (1)若本例(2)中 y=f(x)变为 f(x)=|x|,其他条件不变,则交点个数为________. (2)如图,函数 f(x)的图象是曲线段 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),

? 1 ? (3,1),则 f f? 3?的值等于________. ? ?

解析:(1)根据 f(x)的性质及 f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:

1 由图象知共 10 个交点 (2)∵由图象知 f(3)=1,∴f? 3? =1.

? 1 ? ∴f f? 3?=f(1)=2. ? ?
答案:(1)10 (2)2 巩固练习: 1. 若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=________. 解析:由题意知 2f(x)-f(-x)=3x+1.① 将①中 x 换为-x,则有 2f(- x)-f(x)=-3x+1.② ①×2+②得 3f(x)=3x+3,即 f(x)=x+1. 答案:x+1 2.(教材习题改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x),满足 f(x+4)=f(x),则 f(8)的值为 ________. 解析:∵f(x)为奇函数且 f(x+4)=f(x), ∴f(0)=0,T=4.∴f(8)=f(0)=0. 答案:0 3.(2014· 台州模拟)若函数 y=|2x-1|在(-∞,m]上单调递减,则 m 的取值范围是

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________. 解析:画出图象易知 y=|2x-1|的递减区间是(-∞,0],依题意应有 m≤0. 答案:(-∞,0] 4.(2014· 南京调研)若 f(x)= ____ ____. 解 析 : 设 x1>x2> - 2 , 则 f(x1)>f(x2) , 而 f(x1) - f(x2) = ax1+1 ax2+1 - = x1+2 x2+2 ax+1 在 区间(-2,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是 x+2

2ax1+x2-2ax2-x1 ? x1 -x2? ? - 2a1? 1 = >0,则 2a-1>0.得 a>2. ? x1 +2? ? + x22? ? x1 +2? ? + x22?

?1 ? 答案: 2,+∞ ? ?
课后反思:

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