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江苏专用2018版高考数学大一轮复习集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书理

时间:2017-10-13


第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存 在量词教师用书 理 苏教版

1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断

p
真 真 假 假 2.全称量词和存在量词 量词名词 全称量词 存在量词

q
真 假 真 假

p∧q
真 假 假 假

p∨q
真 真 真 假

綈p 假 假 真 真

常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

表示符号 ? ?

3.全称命题和存在性命题 命题名称 全称命题 存在性命题 命题结构 对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立 命题简记 ? x∈M,p(x) ? x∈M,p(x)

4.含有一个量词的命题的否定 命题 ? x∈M,p(x) ? x∈M,p(x) 【知识拓展】 1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即有真为真; (2)p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即有假即假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反. 2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”. 【思考辨析】
1

命题的否定 ? x∈M,綈 p(x) ? x∈M,綈 p(x)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题 p∧q 为假命题,则命题 p、q 都是假命题.( × ) (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题.( √ ) (3)若命题 p、q 至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.( √ ) (4)命题綈(p∧q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是真命题.( × ) (5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( × ) (6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.( × )

1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“? x>-1,x +x-2 016>0”的否定是______________. 答案 ? x>-1,x +x-2 016≤0 解析 命题“? x>-1,x +x-2 016>0”的否定是“? x>-1,x +x-2 016≤0”. 2.已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的______________条件. 答案 充分不必要 解析 綈 p 为真知 p 为假,可得 p∧q 为假;反之,若 p∧q 为假,则可能是 p 真 q 假,从而 綈 p 为假,故“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件. 3.(教材改编)若不等式 x -x>x-a 对? x∈R 都成立,则 a 的取值范围是________. 答案 a>1 解析 方法一 不等式 x -x>x-a 对? x∈R 都成立,即不等式 x -2x+a>0 恒成立. 结合二次函数图象得其 Δ <0,即 4-4a<0,所以 a>1. 方法二 不等式 x -x>x-a 对? x∈R 都成立,也可看作 a>-x +2x 对? x∈R 都成立,所以
2 2 2 2 2 2 2 2

2

a>(-x2+2x)max,而二次函数 f(x)=-x2+2x 的最大值为

0-2 =1,所以 a>1. 4×?-1?

2

4.已知实数 a 满足 1<a<2,命题 p:y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,命题 q:|x|<1 是

x<a 的充分不必要条件,则下列命题:
①p∨q 为真;②p∧q 为假;③(綈 p)∧q 为真;④(綈 p)∧(綈 q)为假.其中正确的命题是 ________. 答案 ①④ 解析 由 y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,得 a>1 且 2-a>0,即 1<a<2.所以 p 是真命 题.由|x|<1, 得-1<x<1.又 1<a<2, 所以|x|<1 是 x<a 的充分不必要条件.所以 q 也是真命题. 从而①④正确.

? π? 5.(2015·山东)若“? x∈?0, ?,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. 4? ?
答案 1

2

? π? 解析 ∵函数 y=tan x 在?0, ?上是增函数, 4? ?
∴ymax=tan π =1. 4

依题意,m≥ymax,即 m≥1. ∴m 的最小值为 1.

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 例1 (1)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2 >0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,
x

则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p∧q ②(綈 p)∧(綈 q) ③(綈 p)∧q ④p∧(綈 q) (2)(2016·盐城模拟 ) 若命题“p∨q”是真命题,“綈 p 为真命题”,则 p________ ,

q________.(填“真”或“假”)
答案 (1)④ (2)假 真 解析 (1)∵p 是真命题,q 是假命题, ∴p∧(綈 q)是真命题. (2)∵綈 p 为真命题,∴p 为假命题, 又∵p∨q 为真命题,∴q 为真命题. 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假. 已知命题 p: 若 x>y, 则-x<-y; 命题 q: 若 x>y, 则 x >y .在命题①p∧q; ②p∨q; ③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是________. 答案 ②③ 解析 当 x>y 时,-x<-y, 故命题 p 为真命题,从而綈 p 为假命题. 当 x>y 时,x >y 不一定成立, 故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题. 由真值表知:①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(綈 q)为真命题;④(綈 p)∨q 为假 命题.
2 2 2 2

3

题型二 含有一个量词的命题 命题点 1 全称命题、存在性命题的真假 例 2 不等式组?
?x+y≥1, ? ? ?x-2y≤4

的解集记为 D,有下面四个命题:p1:? (x,y)∈D,x+2y≥

-2,p2:? (x,y)∈D, x+2y≥2,p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3,p4:? (x,y)∈D,x+2y≤ -1. 其中的真命题是________. 答案 p1,p2 解析 画出不等式组?
?x+y≥1, ? ? ?x-2y≤4

的可行域 D 如图阴影部分所示, 两直线交于点 A(2, -1),

设直线 l0 的方程为 x+2y=0.由图象可知,? (x,y)∈D,x+2y≥0,故 p1 为真命题,p2 为真 命题,p3,p4 为假命题.

命题点 2 含一个量词的命题的否定 例 3 (1)(2016·盐城模拟)命题“? x∈R,x -2x>0”的否定是____________. (2)(2015·浙江改编)命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是________. 答案 (1)? x∈R,x -2x≤0 (2)? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n. 解析 (1)将“? ”改为“? ”,对结论中的“>”进行否定. (2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知. 思维升华 (1)判定全称命题“? x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x, 证明 p(x)成立;要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x,使 p(x)成 立. (2)对全称、存在性命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. 下列命题的否定为假命题的是________.(填序号) ①? x∈R,-x +x-1<0; ②? x∈R,|x|>x; ③? x,y∈Z,2x-5y≠12;
4
2 * * 2 * * 2

④? x∈R,sin x+sin x+1=0. 答案 ① 解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题,只有①为真命题. 题型三 求含参数命题中参数的取值范围 例 4 (1)已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x +
2 2

2

ax+4 在[3, +∞)上是增函数, 若 p∧q 是真命题, 则实数 a 的取值范围是________________.
1 2 (2)已知 f(x)=ln(x +1), g(x)=( )x-m, 若对? x1∈[0, 3], ? x2∈[1, 2], 使得 f(x1)≥g(x2), 2 则实数 m 的取值范围是__________. 1 答案 (1)[-12,-4]∪[4,+∞) (2)[ ,+∞) 4 解析 (1)若命题 p 是真命题,则 Δ =a -16≥0, 即 a≤-4 或 a≥4; 若命题 q 是真命题,则- ≤3,即 a≥-12. 4 ∵p∧q 是真命题,∴p,q 均为真, ∴a 的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞). (2)当 x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当 x∈[1,2]时,
2

a

g(x)min=g(2)= -m,由 f(x)min≥g(x)min,
1 1 得 0≥ -m,所以 m≥ . 4 4 引申探究 在例 4(2)中,若将“? x2∈[1,2]”改为“? x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数 m 的取 值范围是________________. 1 答案 [ ,+∞) 2 1 解析 当 x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)= -m, 2 1 由 f(x)min≥g(x)max,得 0≥ -m, 2 1 ∴m≥ . 2 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假, 可根据每个命题的真假利用集合的运算求解 参数的取值范围; (2)含量词的命题中参数的取值范围, 可根据命题的含义, 利用函数值域(或 最值)解决.

1 4

5

(1)已知命题 p:“? x∈[0,1],a≥e ”,命题 q:“? x∈R,x +4x+a=0”. 若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是____________. (2)已知函数 f(x)=x -2x+3,g(x)=log2x+m,对任意的 x1,x2∈[1,4]有 f(x1)>g(x2)恒 成立,则实数 m 的取值范围是________________. 答案 (1)[e,4] (2)(-∞,0)
2 2

x

2

解析 (1)由题意知 p 与 q 均为真命题,由 p 为真,可知 a≥e,由 q 为真,知 x +4x+a=0 有解,则 Δ =16-4a≥0,∴a≤4.综上可知 e≤a≤4. (2)f(x)=x -2x+3=(x-1) +2, 当 x∈[1,4]时,f(x)min=f(1)=2,g(x)max=g(4)=2+m,则 f(x)min>g(x)max,即 2>2+m,解 得 m<0,故实数 m 的取值范围是(-∞,0).
2 2

1.常用逻辑用语

考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等 问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难 度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系. 一、命题的真假判断 典例 1 (1)已知命题 p:? x0∈R,x0+1<2x0;命题 q:若 mx -mx-1<0 恒成立,则-4<m<0, 那么下列说法正确的是________.(填序号) ①綈 p 为假命题 ②q 为真命题 ③p∨q 为假命题 ④p∧q 为真命题 (2)下列命题中错误的个数为________. ①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题; ②“x>5”是“x -4x-5>0”的充分不必要条件; ③命题 p:? x∈R,x +x-1<0,则綈 p:? x∈R,x +x-1≥0; ④命题“若 x -3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x -3x+ 2≠0”. 解析 (1)由于 x -2x+1=(x-1) ≥0, 即 x +1≥2x,所以 p 为假命题; 对于命题 q,当 m=0 时,-1<0 恒成立, 所以命题 q 为假命题.
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

综上可知,綈 p 为真命题,p∧q 为假命题,p∨q 为假命题. (2)对于①,若 p∨q 为真命题,则 p,q 至少有一个为真,即可能有一个为假,所以 p∧q 不 一定为真命题, 所以①错误;对于②,由 x -4x-5>0 可得 x>5 或 x<-1,所以“x>5”是“x
2 2

-4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确;对于③,根据存在性命题的否定为全称命题, 可知③正确;对于④,命题“若 x -3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 且
2

x≠2,则 x2-3x+2≠0”,所以④错误,所以错误命题的个数为 2.
答案 (1)③ (2)2 二、求参数的取值范围 典例 2 (1)已知 p:x≥k,q: 是__________. 4 1 x (2)已知函数 f(x)=x+ ,g(x)=2 +a,若? x1∈[ ,3],? x2∈[2,3]使得 f(x1)≥g(x2), x 2 则实数 a 的取值范围是__________. 解析 (1)由 3 3

x+1

<1,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围

x+1

<1,得

3

x+1

2-x -1= <0, x+1

即(x-2)(x+1)>0,解得 x<-1 或 x>2, 由 p 是 q 的充分不必要条件,知 k>2. 1 (2)∵x∈[ ,3],∴f(x)≥2 2

x· =4,当且仅当 x=2 时,f(x)min=4,当 x∈[2,3]时, x

4

g(x)min=22+a=4+a,依题意 f(x)min≥g(x)min,∴a≤0.
答案 (1)(2,+∞) (2)(-∞,0] 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例 3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球队参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲:中国非第一名,也非第二名; 乙:中国非第一名,而是第三名; 丙:中国非第三名,而是第一名. 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________ 名. 解析 (1)由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城
7

市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过 A 城市,由此可知,乙去 过的城市为 A. (2)由题意可知:甲、乙、丙均为“p 且 q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即 只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一

1.命题 p: 若 sin x>sin y, 则 x>y; 命题 q: x +y ≥2xy.下列命题为假命题的是________.(填 序号) ①p∨q ③q 答案 ② 解析 命题 p 假,q 真,故命题 p∧q 为假命题. 1 2 2. 已知命 题“ ? x∈R ,使 2x + (a - 1)x + ≤0”是 假命题 ,则实 数 a 的取 值范围 是 2 __________. 答案 (-1,3) 1 1 2 2 解析 依题意可知“? x∈R, 2x +(a-1)x+ >0”为真命题, 所以 Δ =(a-1) -4×2× <0, 2 2 即(a+1)(a-3)<0,解得-1<a<3. 3.(2016·淮安模拟)已知命题 p:? x∈R,log2(3 +1)≤0,则下列说法正确的是________. ①p 是假命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)≤0; ②p 是假命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)>0; ③p 是真命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)≤0; ④p 是真命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)>0. 答案 ② 解析 ∵3 >0,∴3 +1>1,则 log2(3 +1)>0,∴p 是假命题;綈 p:? x∈R,log2(3 +1)>0. 4.已知 p:? x∈R,x -x+1>0,q:? x0∈(0,+∞),sin x0>1,则下列命题为真命题的是 ________.(填序号) ①p∨(綈 q) ③p∧q 答案 ① 1 2 3 2 解析 因为 x -x+1=(x- ) + >0 恒成立,所以命题 p 是真命题;? x∈R,sin x≤1,所 2 4 ②(綈 p)∨q ④(綈 p)∧(綈 q)
2

2

2

②p∧q ④綈 p

x

x

x

x

x

x

x

x

x

8

以命题 q 是假命题,所以 p∨(綈 q)是真命题. 5.(2016·泰州期末)若命题“? x∈R,ax +4x+a≤0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 (2,+∞) 解析 “? x∈R,ax +4x+a≤0”为假命题,则其否定“? x∈R,ax +4x+a>0”为真命
2 2 2

? ?a>0, 题,当 a=0,4x>0 不恒成立,故不成立;当 a≠0 时,? 2 ?Δ =16-4a <0, ?

解得 a>2,所以实数 a 的取值范围是(2,+∞). 3 x x 6.已知命题 p1:? x∈(0,+∞),有 3 >2 ,p2:? θ ∈R,sin θ +cos θ = ,则在命题 q1: 2

p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真命题是__________.
答案 q1,q4 3 x 3 x 解析 因为 y=( ) 在 R 上是增函数,即 y=( ) >1 在(0,+∞)上恒成立,所以 p1 是真命题; 2 2 π sin θ +cos θ = 2sin(θ + )≤ 2,所以命题 p2 是假命题,綈 p2 是真命题,所以命题 4

q1:p1∨p2,q4:p1∧(綈 p2)是真命题.
7.(2107·江苏淮安中学月考)已知命题:“? x∈[1,2],使 x +2x+a≥0”是真命题,则 a 的取值范围是________. 答案 [-8,+∞) 解析 由已知得,? x∈[1,2],使 a≥-x -2x 成立;若记 f(x)=-x -2x(1≤x≤2),则
2 2 2

a≥f(x)min.而结合二次函数 f(x)=-x2-2x(1≤x≤2)的图象得 f(x)的最小值为 f(2)=-22
-2×2=-8,所以 a≥-8. 8.设 p:方程 x +2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x +2(m-2)x-3m+10=0 无实 根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是__________. 答案 (-∞,-2]∪[-1,3) 解析 p:x +2mx+1=0 有两个不相等的正根,
? ?Δ =4m -4>0, ? ?-2m>0, ?
2 2 2 2

即 m<-1.

q:x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根,
Δ =[2(m-2)] -4(-3m+10)=4(m -m-6)<0, 即-2<m<3. 分两种情况:①p 真 q 假,m≤-2;②p 假 q 真,-1≤m<3. 综上可知,使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3). 9.下列命题中的假命题是________.(填序号)
9
2 2

①? x∈R,2

x-1

>0

②? x∈N ,(x-1) >0 π? ? ④? x0∈R,tan?x0+ ?=5 4? ?

*

2

③? x0∈R,lg x0<1 答案 ②

解析 ①中,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2

x-1

>0;②中,∵x∈N ,∴当 x=1 时,

*

1 1 2 2 (x-1) =0 与(x-1) >0 矛盾; ③中, 当 x0= 时, lg =-1<1; ④中, 当 x∈R 时, tan x∈R, 10 10 π? ? ∴? x0∈R,tan?x0+ ?=5. 4? ? 10.(2016·泰州模拟)已知函数 f(x)的定义域为(a, b), 若“? x∈(a, b), f(x)+f(-x)≠0” 是假命题,则 f(a+b)=________. 答案 0 解析 若“? x∈(a,b),f(x)+f(-x)≠0”是假命题,则“? x∈(a,b),f(x)+f(-x)

=0”是真命题,即 f(-x)=-f(x),则函数 f(x)是奇函数,则 a+b=0,即 f(a+b)=0. 11.下列结论: ①若命题 p:? x0∈R,tan x0=1;命题 q:? x∈R,x -x+1>0.则命题“p∧(綈 q)”是假 命题; ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ③命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题是:“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”. 其中正确结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题, 所以 p∧(綈 q)为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确,所以正确结论的序号为①③. 1 2 12.已知命题 p:x +2x-3>0;命题 q: >1,若“(綈 q)∧p”为真,则 x 的取值范围是 3-x ________________. 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 解析 因为“(綈 q)∧p”为真,即 q 假 p 真,而 q 为真命题时,
2 2 2 2

a b

x-2 <0,即 2<x<3,所以 q x-3

为假命题时,有 x≥3 或 x≤2;p 为真命题时,由 x +2x-3>0,解得 x>1 或 x<-3,由
? ?x>1或x<-3, ? ?x≥3或x≤2, ?

得 x≥3 或 1<x≤2 或 x<-3,

所以 x 的取值范围是{x|x≥3 或 1<x≤2 或 x<-3}.
10

13.(2016·连云港模拟)已知命题 p:? x0∈R,(m+1)·(x0+1)≤0,命题 q:? x∈R,x +

2

2

mx+1>0 恒成立.若 p∧q 为假命题,则实数 m 的取值范围为____________.
答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞) 解析 由命题 p:? x0∈R,(m+1)(x0+1)≤0 可得 m≤-1,由命题 q:? x∈R,x +mx+1>0 恒成立,可得-2<m<2,因为 p∧q 为假命题,所以 m≤-2 或 m>-1. 14.已知命题 p:“? x∈R,? m∈R,4 -2 取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 若綈 p 是假命题,则 p 是真命题, 即关于 x 的方程 4 -2·2 +m=0 有实数解, 由于 m=-(4 -2·2 )=-(2 -1) +1≤1, ∴m≤1. *15.已知函数 f(x)=
x x x
2 2 2

x

x+1

+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实数 m 的

x

x

x2-x+1 x (x≥2),g(x)=a (a>1,x≥2). x-1

(1)若? x0∈[2,+∞),使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围为________________; (2) 若 ? x1∈[2,+∞), ? x2∈[2,+∞)使得 f(x1) = g(x2) ,则实数 a 的取值范围为 ________________. 答案 (1)[3,+∞) (2)(1, 3] 解析 (1)因为 f(x)=

x2-x+1 1 1 =x+ =x-1+ +1≥2+1=3,当且仅当 x=2 时等 x-1 x-1 x-1

号成立,所以若? x0∈[2,+∞),使 f(x0)=m 成立,则实数 m 的取值范围为[3,+∞). (2)因为当 x≥2 时,f(x)≥3,g(x)≥a ,若? x1∈[2,+∞),? x2∈[2,+∞)使得 f(x1)
? ?a ≤3, =g(x2),则? ?a>1, ?
2 2

解得 a∈(1, 3].

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