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2016最新修改直线与圆锥曲线的位置关系11


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课题:直线与圆锥曲线 的位置关系

高考中此部分内容的相关情况 题 型 2003年 2004年 2005年

题量 分值 题量 分值 题量 分值

选择题 1题 ,5分 1题 ,5分
填空题 解答题 1题,12分 1题,4分



主要考查:直线与圆锥曲线公共点个数问题,相交 时的弦长,弦中点或相关轨迹问题,三角形面积 问题,对称性问题,存在性问题,与向量综合等问题

直线与圆锥曲线的位置关系
一.直线与圆锥曲线一般有哪几种位置关系?

相交,相切,相离
二. 问题一:过定点P(0,-1)的直线l与下列曲线C 只有一个公共点,分别求直线方程。 1. x2+2y2=1 2. 2x2-y2=1 3. y2=4x

变式:直线y=kx-1与双曲线2x2-y2=1的右支交 于不同两点,则k的范围为_____________.

直线与圆锥曲线的位置关系
1 .设l方程为y=kx-1 ? y ? kx ? 1 消y后 由? 2 2 ?x ? 2 y ? 1 (2k2+1)x2-4kx+1=0 △=8k2-4=0
2 2 k? 或2 2
2 x ?1 l 方程为: y ? ? 2

2 .设l方程为y=kx-1 ? y ? kx ? 1 消y后 由? 2 2 ?2 x ? y ? 1 (2 -k2)x2+2kx-2=0
?2 ? k 2 ? 0 或 2= 0 2 - k ? ?? ? 16 ? 4k 2 ? 0

k= ?2 或 ? 2 l 方程为: y ? ?2 x ? 1

当l斜率不存在时不满足题意.

y ? ? 2x ?1

直线与圆锥曲线的位置关系
3. (1)当l斜率不存在时x=0与抛物线y2=4x 只有一个公共点,满足条件。 (2)若l斜率存在可设方程为y=kx-1

? y ? kx ? 1 消y后 k2x2-2(k+2)x+1=0 由? 2 ? y ? 4x ?k 2 ? 0 2=0 或 k ? ? ? ? 16k ? 16 ? 0

k ? ?1或k=0

l 方程为: x=0或y=-x-1或y=-1

直线与圆锥曲线的位置关系
变式1:直线y=kx-1与双曲线2x2-y2=1的右支 交于不同两点,则k的范围为_____________. 思路:消y后得(2-k2)x2+2kx-2=0------(1) 方程(1)有两不等的正根

? 2?k ? 0 ?? ? 16 ? 4k 2 ? 0 ? ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 2 ? k 2 ? 0 ? ? x1 x2 ? ?2 2 ? 0
2

得: 2 ? k ? 2

2?k

有何启发?
位置关系问题

斜率是否存在

? Ax ? By ? C ? 0 解组 ? ? f ( x, y ) ? 0
(或my2+ny+p=0) ax2+bx+c=0解的问题

a=0 至多一个交点

a≠0

>0

=0

<0

数形结合!

相 交 相 切 相 离

直线与圆锥曲线的位置关系
问题2: x2 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线l:x+y=-1 设双曲线C: 2 a 相交于两个不同的点A、B (1)是否存在a,使得|AB|=2 6. (2)是否存在a使得线段AB的中点为M(-2,1). (3) 是否存在a,使得OA⊥OB. ??? ? 5 ??? ? (4)若直线l与y轴的交点为P,且 PA ? PB , 12 求a的值.

直线与圆锥曲线的位置关系
(1)是否存在a,使得|AB|=2 6 分析:联立方程组 消y后得:(1-a2)x2-2a2x-2a2=0
4a ( 2 ? a ) | AB |? 2 ? ?2 6 2 |1? a | 1 3 2 解得:a = 或 2 2
2 2

y

A

O

注意:检验
B

直线与圆锥曲线的位置关系

(2)是否存在a使得线段AB的中点为M(-2,1) 分析:设A(x1,y1),B(x2,y2) 消y后得:(1-a2)x2-2a2x-2a2=0
2 x1 ? x2 a ? ? ?2 2 2 1? a

y B M O A P

解得:a ? 2
2

x

注意:检验
下1 下2

(2)是否存在a使得线段AB的中点为M(-2,1)

点差法: 分析:设A(x1,y1),B(x2,y2)

y1 ? y2 (x1 +x2 )-a ( y1 ? y2 ) ?0 x1 ? x2 - 4+2 a2=0
2

? ? x1 ? a y1 ? a ? 2 2 2 2 ? ? x2 ? a y 2 ? a
2 2 2 2

y B
M O A P

x

解得:a ? 2
2

注意:检验

直线与圆锥曲线的位置关系
(3) 是否存在a,使得OA⊥OB
y

OA ? OB ? OA ? OB ? 0
设A(x1,y1),B(x2,y2)

x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
消y后得:(1-a2)x2-2a2x-2a2=0 2 2 2a ?2a x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 2 1? a 1? a

A

O

B

y1 ? y2 ? (? x1 ?1) ? (? x2 ?1) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1=1
?2a ?1 ? 0 2 1? a
2

解得:a ?
2

1

注意:检验

直线与圆锥曲线的位置关系
??? ? 5 ??? ? (4)若直线l与y轴的交点为P,且 PA ? PB , 12 求a的值 y
B

O A P

x

有何启发?
相交两点 A(x1,y1),B(x1,y1)

|AB|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )
2

2

? Ax ? By ? C ? 0 解组 ? ? f ( x, y ) ? 0 (或my2+ny+p=0) ax2+bx+c=0解x1,x2
韦 达 定 理
? | AB |? 1 ? k ? |a|
2

? (1 ? k )( x1 ? x2 )
2

2

x1 ? x2 ? x0 ? ? ? 2 AB的中点 ? ? y ? y1 ? y2 0 ? 2 ?

1 ? | AB |? 1 ? 2 ? k |m|

注意对判别式的检验

b ? ? x0 ? ? 2a ? ? ? Ax0 ? By 0 ? C ? 0

直线与圆锥曲线的位置关系
三 随堂练习 1.若直线l过点(3,0),与双曲线4x2-9y2=36 3 条 只有一个公共点,则这样的直线有_______
x2 y 2 2.斜率为3的直线交椭圆 ? ? 1 于A,B两点, 25 9

3x+25y=0(椭圆内部 则线段AB的中点M的轨迹方程为______ 3. 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过 点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率取 [-1,1] 值范围是_________

直线与圆锥曲线的位置关系
四 课堂小结 1.从代数角度一般如何处理直线与圆锥曲线的位 置关系问题?应注意哪几点? 2.这节课用到哪些数学思想方法?

延伸与拓展
(2005全国卷I)已知椭圆的中心为坐标原点O, 焦点在x轴上,斜率为 1且过椭圆右焦点的 F的直线 ??? ? ??? ? ? 交椭圆于A,B两点 OA ? OB 与 a ? (3, ?1)共线. (1) 求椭圆的离心率 ???? ? ??? ? ??? ? (2) 设M为椭圆上的任意一点,且 OM ? ? OA ? ? OB 2 2 (? , ? ? R) 证明: ? ? ? 为定值


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