nbhkdz.com冰点文库

第二章基本初等函数、导数及其应用第12课时


第二章

基本初等函数、导数及其应用

第12课时

导数的应用(一)

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关 系: f′(x)>0 ,那么函

数y=f(x)在这个区间单调递增; 如果_________ f′(x)<0 ,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减; 如果_________ f′(x)=0 ,那么函数y=f(x)在这个区间为常数. 如果_________ 温馨提示:若函数y=f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0, 而f′(x)>0是y=f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

2.函数的极值与导数 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 f′(x)<0 函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧_________, f′(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的___________ 极小值点 ,f(a) 右侧_________ 极小值 . 叫函数y=f(x)的_________ 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的 f′(x)>0 , 函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧________

f′(x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的___________ 极大值点 ,f(b) 右侧_________ 极大值 . 叫函数y=f(x)的_________ 极值点 ,极大值、极小值统称 极大值点、极小值点统称为_________
极值 . 为_______
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

温馨提示:导数为0的点不一定是极值点,只有在该点两侧导

数的符号相反,即函数在该点两侧的单调性相反时,该点才
是函数的极值点,另一方面,极值点处的导数也不一定为0, 还要考察函数在该点处的导数是否存在.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

3.函数的最值与导数 连续不间断 假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条____________ 最大值与_______. 最小值 的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得_______ 可导 的,该函数的最值必在极值点或区 若函数在(a,b)内是_____ 间端点处取得.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

温馨提示:最值与极值的区别与联系: (1)“极值”是个局部概念,是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较,具有相对性;“最值”是个整体概念,是整个 定义域上的最大值和最小值,具有绝对性. (2)最值和极值都不一定存在,若存在,函数在其定义域上的 最值是唯一的,而极值不一定唯一. (3)极值只能在定义域内部取得,而最值还可能在区间端点处 取得. (4)极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其

必定是极值.
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.(2012· 高考陕西卷)设函数f(x)=xex,则( A.x=1为f(x)的极大值点

)

B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 解析:选D.求导得f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令f′(x)=ex(x+ 1)=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1 2 2. (2012· 高考辽宁卷)函数 y= x - ln x 的单调递减区间为 2 ( ) B. (0, 1] D. (0,+∞ )

A. (- 1, 1] C. [1,+∞ )

2 1 x - 1 ( x- 1)( x+ 1) 解析: 选 B. y′= x- = = (x> 0). 令 x x x

y′≤ 0,得 0< x≤ 1, ∴函数的单调递减区间为(0, 1].
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)

等于(
C.18

)
B.11 D.17或18
3 2 2

A.11或18

解析:选 C.∵函数 f(x)= x + ax + bx+ a 在 x= 1 处有极值 10, ∴ f(1)= 10,且 f′(1)= 0, 2 ? ? ?1+ a+ b+ a = 10, ?a=- 3 ? ?a= 4, 即? 解得? 或? ? ? ? ?3+ 2a+ b= 0, ?b= 3 ?b=- 11. ? ?a=- 3 而当? 时,函数在 x= 1 处无极值,故舍去. ?b= 3 ? 3 2 ∴ f(x)= x + 4x - 11x+ 16,∴ f(2)= 18.
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

17 - x 2 3 4. 函数 f(x)= + x - 3x- 4 在 [0, 2]上的最小值是 ________ . 3
3

解析: f′(x)= x2+ 2x- 3, f′(x)= 0, x∈ [0, 2], 17 得 x= 1.比较 f(0)=- 4, f(1)=- , 3 10 17 f(2)=- ,可知最小值为- . 3 3

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

5.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数, 3 则a的最大值是________ . 解析:f′(x)=3x2-a在x∈[1,+∞)上f′(x)≥0, 则f′(1)≥0?a≤3. 即a的最大值是3.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

利用导数研究函数的单调性
(2013· 高考天津卷节选)设 a∈ [- 2, 0],已知函数 f(x)

? =? 3 a+ 3 2 证明 f(x)在区间 (- 1, 1)内单调递 ? ?x - 2 x + ax, x>0.
减, 在区间 (1,+∞ )内单调递增.

3 x ? -( a+ 5) x, x≤ 0,

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

设函数 f1(x)= x3-(a+ 5)x(x≤ 0), 3 a+ 3 2 f2 (x)= x - x + ax(x≥ 0), 2 (1)f′1(x)= 3x2-(a+ 5),由于 a∈ [- 2, 0], 2 从而当- 1<x≤ 0 时, f′1 (x)= 3x - (a+ 5)<3- a- 5≤ 0, 所以函数 f1 (x)在区间(- 1, 0]内单调递减. (2)f′2(x)= 3x2-(a+ 3)x+ a= (3x- a)(x- 1), 由于 a∈[- 2, 0],所以当 0<x<1 时,f′ 2 (x)<0;当 x>1 时, f′2 (x)>0.即函数 f2 (x)在区间[0, 1)内单调递减,在区间(1, +∞ )内单调递增. 综合 (1)(2)及 f1(0)= f2 (0),可知函数 f(x)在区间( - 1, 1)内单 [证明] 调递减,在区间 (1,+∞ )内单调递增.
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

(1)导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: ①求f′(x); ②确认f′(x)在(a,b)内的符号; ③作出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数. (2)导数法求函数单调区间的一般步骤:

①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f′(x); ③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;

④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.
(1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当t≠0时,求f(x)的单调区间. 解:(1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f′(x)=12x2 +6x-6,f′(0)=-6.所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线

方程为y=-6x.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

(2)f′(x)= 12x + 6tx- 6t .

2

2

t 令 f′(x)= 0,解得 x=- t 或 x= . 2 因为 t≠ 0,所以分两种情况讨论: t ①若 t<0,则 <- t. 2 当 x 变化时, f′ (x), f(x)的变化情况如下表: t? t ? ? -∞, ,- t? x (- t,+∞) ? ?2 ? 2? f′(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

t? ? 所以 f(x)的单调递增区间是?-∞, ?,(-t,+∞ );f(x)的单 2 t ? 调递减区间是? ,- t? . ? 2

t ②若 t>0,则- t< . 当 x 变化时,f′ (x), f(x)的变化情况如下表: 2 t? t ? ? - t, ,+∞ ? x (-∞,- t) ? ?2 ? 2? f′(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ t ? 所以 f(x)的单调递增区间是 (-∞,- t),? ,+∞? ;f(x)的单 ? 2 t? ? 调递减区间是?- t, ?. 2
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

由函数的单调性求参数的取值范围
1 3 (2014· 东城区检测 )已知函数 f(x)= x +mx2- 3m 2 x+ 1, 3 m∈ R. (1)当 m=1 时,求曲线 y= f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (2)若 f(x)在区间 (- 2, 3)上是减函数,求 m 的取值范围.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

1 3 2 [解 ] (1)当 m=1 时, f(x)= x + x - 3x+ 1, 3 又 f′(x)= x2+ 2x- 3, 所以 f′(2)= 5. 5 又 f(2)= , 3 5 所以所求切线方程为 y- = 5(x- 2), 3 即 15x- 3y- 25= 0. 所以曲线 y=f(x)在点 (2,f(2))处的切线方程为 15x- 3y- 25 = 0.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

(2)因为 f′(x)= x + 2mx- 3m , 令 f′(x)= 0,得 x=- 3m 或 x=m . 当 m=0 时, f′ (x)= x2≥ 0 恒成立,不符合题意. 当 m> 0 时,f(x)的单调递减区间是 (- 3m,m), 若 f(x)在区 ? ?- 3m≤- 2 间 (- 2, 3)上是减函数,则? ,解得 m≥ 3. ?m ≥ 3 ? 当 m< 0 时,f(x)的单调递减区间是 (m,- 3m), 若 f(x)在区 ? ?m≤- 2 间 (- 2, 3)上是减函数,则? ,解得 m≤- 2. ?- 3m≥ 3 ? 综上所述,实数 m 的取值范围是(- ∞,- 2]∪ [3,+∞ ).

2

2

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

函数单调性确定参数范围的方法: (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则 区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则

f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

2. (2014· 安徽合肥市质量检测)已知函数 f(x)的图象与函数 h(x) 1 = x+ + 2 的图象关于点 A(0, 1)对称. x (1)求 f(x)的解析式; (2)若 g(x)= x · [f(x)- a],且 g(x)在区间[1, 2]上为增函数, 求实数 a 的取值范围.
2

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

解: (1)设 f(x)图象上任一点的坐标为 P(x, y),点 P 关于点 A(0, 1)的对称点 P ′(- x, 2- y)在 h(x)的图象上, 1 1 1 ∴ 2- y=- x+ + 2,∴ y= x+ ,即 f(x)= x+ . -x x x 2 3 2 (2)g(x)= x · [f(x)- a]= x - ax + x, 又 g(x)在区间 [1, 2]上为增函数, 2 ∴ g′ (x)= 3x - 2ax+ 1≥ 0 在 [1, 2]上恒成立, 1 即 2a≤ 3x+ 对? x∈ [1, 2]恒成立. x 1 注意到函数 r(x)= 3x+ 在[1, 2]上单调递增, x 故 r(x)min= r(1)= 4. 于是 2a≤ 4, a≤ 2. 即实数 a 的取值范围是(-∞, 2].
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

利用导数研究函数的极值(最值)
a (2013· 高考福建卷节选)已知函数 f(x)= x- 1+ x e (a∈ R,e 为自然对数的底数 ). (1)若曲线 y= f(x)在点 (1, f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的 值; (2)求函数 f(x)的极值.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

a a [解] (1)由 f(x)= x- 1+ x,得 f′(x)= 1- x. e e 又曲线 y= f(x)在点 (1,f(1))处的切线平行于 x 轴, a 得 f′(1)= 0,即 1- = 0,解得 a=e. e a (2)f′(x)= 1- x, e ①当 a≤0 时 ,f′(x)>0,f(x)为 (-∞ ,+∞)上的增函数,所 以函数 f(x)无极值. x ②当 a>0 时,令 f′(x)= 0,得 e = a, x=ln a. x∈ (-∞, ln a),f′(x)<0; x∈ (ln a,+∞ ),f′ (x)>0,

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无 极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

(1)求函数f(x)极值的步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数f′(x); ③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左 正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x) 在x0处取极小值. (2)求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤: ①求函数在(a,b)内的极值; ②求函数在区间端点的函数值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最 大值,最小的一个为最小值.
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

3.已知函数 f(x)= x3+ ax2+ bx+ c,曲线 y=f(x)在点 x= 1 2 处的切线为 l: 3x- y+ 1= 0,若 x= 时, y= f(x)有极值. 3 (1)求 a, b, c 的值; (2)求 y= f(x)在 [- 3, 1]上的最大值和最小值.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

解:(1)由 f(x)= x + ax + bx+ c,得 f′(x)= 3x + 2ax+ b.当 x= 1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+ b= 0,① 2 2 当 x= 时, y= f(x)有极值,则 f′( )= 0,可得 4a+ 3b+ 4= 0,② 3 3 由①②,解得 a= 2, b=- 4.由于切点的横坐标为 1, 所以 f(1)= 4. 所以 1+ a+ b+ c= 4.所以 c= 5. (2)由(1),可得 f(x)= x3+ 2x2- 4x+ 5,f′(x)= 3x2+ 4x- 4.令 2 f′(x)= 0,解之,得 x1 =- 2, x2= . 3

3

2

2

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

当 x 变化时, f′ (x), f(x)的取值及变化情况如下表所示: x f′(x) f(x) -3 + 8 (- 3, - 2) + ↗ (- 2, -2 2 ) 3 0 13 - 2 3 0 95 27 2 ( , 1) 3 + ↗ 1 + 4



95 所以 y= f(x)在 [- 3, 1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

利用导数求解函数的单调性、极值
(本题满分12分)(2013· 高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)= ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为

y=4x+4.
(1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

—————————[审题路线图]—————————
? ?f( 0)= 4 (1)由 f(x)的导数 f′(x)― →列方程组? ― →求出 a, b. ?f′( 0)= 4 ?

(2)令 f′(x)= 0― →求得 x 的值― →判断单调性― →求值.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

[解]

(1)f′(x)=e x(ax+ a+ b)- 2x- 4.

利用函数值和导数值列方程组求 a、 b是破解本题的关键 . 由已知得 f(0)= 4, f′(0)= 4. 故 b= 4, a+ b= 8. 从而 a= 4, b= 4.4 分 x 2 (2)由 (1)知, f(x)= 4e (x+ 1)- x - 4x, x f′(x)= 4e (x+ 2)- 2x- 4 x 1 = 4(x+ 2)(e - ).6 分 2 令 f′(x)= 0,得 x=- ln 2 或 x=- 2. 判断 f′( x)大于 0或小于 0是解本题的难点,也是易误点.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2, -ln 2)上单调递减.10分

当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-
e-2).12分

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

(1)解答本题易失分点:

①求导函数易出现计算错误.
②求得的单调递增区间误写成(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞). (2)解答此类问题的易误点:

①函数f(x)在某个区间内单调递增,则f′(x)≥0而不是
f′(x)>0(f′(x)=0在有限个点处取到). ②导数为0的点不一定是极值点,极大值未必大于极小值.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

4.已知二次函数 f(x)= ax + bx+ c,满足 f(0)=f(1)= 0,且 1 f(x)的最小值是- . 4 (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)设函数 h(x)= ln x- 2x+ f(x),若函数 h(x)在区间[ ,m- 2 1]上是单调函数,求实数 m 的取值范围.

2

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

解: (1)因为二次函数 f(x)满足 f(0)= f(1)= 0, 1 所以其对称轴为 x= . 2 1 又 f(x)的最小值是- , 4 1 1 故 f(x)= a(x- )2 - . 2 4 因为 f(0)= 0,所以 a= 1,故 f(x)= x2- x.

栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

(2)因为 h(x)= ln x- 2x+ x2- x= ln x+ x2- 3x, 函数的定义域 为 { x|x> 0}, ( 2x- 1)( x- 1) 1 所以 h′(x)= + 2x- 3= ,所以 h(x)的单 x x 1 1 调递增区间为 (0, ]和[1,+∞),单调递减区间为[ , 1]. 2 2 1 ? ?m- 1> , 2 根据题意,得?

? ?m- 1≤ 1,

3 解得 <m≤ 2. 2 3 故实数 m 的取值范围是( , 2]. 2
栏目 导引

第二章

基本初等函数、导数及其应用

栏目 导引


第二章基本初等函数、导数及其应用第12课时课后达标检测

第二章基本初等函数导数及其应用第12课时课后达标检测_数学_高中教育_教育专区。[基础达标] 一、选择题 1.(2013· 高考福建卷)设函数 f(x)的定义域为 R,x...

第二章基本初等函数、导数及其应用

函数的基本概念 2 第二章 基本初等函数导数及其应用 以下给出的同组函数中,...(ab≠0)是偶函数,则实数 a,b 应满足___. 第 12 课时 1.函数的单调性与...

第二章基本初等函数、导数及其应用第13课时课后达标检测

第二章基本初等函数导数及其应用第13课时课后达标检测_数学_高中教育_教育专区...20 令 y′=0,得 x=2 或 (舍去), 3 ∴ymax=6×12×2=144(cm3). 1...

2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第12课时 Word版含解析]

2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练 第2章 基本初等函数导数及其应用 第12课时 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训...

2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014届高考数学一轮复习 第2章基本初等函数导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学(理)一...

第二章基本初等函数、导数及其应用第10课时课后达标检测

第二章基本初等函数导数及其应用第10课时课后达标检测_数学_高中教育_教育专区...综上可知 0≤x≤12,若只投放一次 4 个单位的洗衣液,则有效去污时间可达 12...

第二章基本初等函数、导数及其应用第11课时课后达标检测

第二章基本初等函数导数及其应用第11课时课后达标检测_数学_高中教育_教育专区...(x+3)]′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3) =3x2+12x+...

2015届高考数学全程复习知识点同步学案:第二章 基本初等函数、导数及其应用 第12讲 导数与函数的单调性

2015届高考数学全程复习知识点同步学案:第二章 基本初等函数导数及其应用 第12讲 导数与函数的单调性_数学_高中教育_教育专区。第 12 讲 导数与函数的单调性 ...

第二章基本初等函数、导数及其应用第7课时课后达标检测

[基础达标] 一、选择题 1 1. (2014· 福州模拟)已知函数 f(x)=log2x-( )x, 若实数 x0 是方程 f(x)=0 解, 且 0<x1<x0, 3 则 f(x1)...