nbhkdz.com冰点文库

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二下学期期末数学理试题

时间:2013-06-25


金山中学 2012-2013 年度第二学期期末考试

高二理科数学 试题卷
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的).

2 ? 2i ( i 为虚数单位)的虚部等于( ) (1 ? i) 2 A. ? 1 B. 1 C. i D. 2 ? ?? 2.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 ? 0, ? 上单调递减的函数是( ) ? 2? ?x A. y ? 2 . B. y ? x3 . C. y ? x sin x D. y ? ? x ? cos x
1. 复数 z ? 3.已知 ?ABC 中, a ?
?

A. 30 4.将甲、乙、丙三名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学 生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 ( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 5.设双曲线 离心率为( A.

2, b ? 3, B ? 60? ,那么角 A 等于( ) ? ? B. 45 C. 90 D. 135
?

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线的 2 a b
). B. 5 C.

5 D. 5 2 6. 已 知 平 面 ? ? 平 面 ? , ? ? ? ? l , 点 A ? ? , 直 线 AB ∥ l , 直 线 AC ? l , 直 线 m ∥ ? ,m∥ ? ,则下列关系
中不一定成立的是( ) A. AB ∥ m B. AC ? m C. AB ∥ ? D. AC ? ?

5 4

7.已知向量 a, b 和它们的夹角 ? ?? a, b ? ,定义 a ※ b ? a ? b sin ? , 若 a ? ?? 3,0?, b ? ?1,2? ,则 a ※ b ? (?????? ) 8.已知函数 f ?x ? 为定义在 ?? ?,??? 上的可导函数,且 f ?x ? ? f ?(x) 对于 x ? R 恒成立, 且 e 自然对数 的底数,则( ) A. 6 B. 6 5 C. ? 3 5 D. ? 3

) A. f (1) > e ? f (0) 、 f (2013 < e 2013 f (0) ) C. f (1) > e ? f (0) 、 f (2013 > e 2013 f (0)

) B. f (1) < e ? f (0) 、 f (2013 > e 2013 f (0) ) D. f (1) < e ? f (0) 、 f (2013 < e 2013 f (0)

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答案卡中横线上.) 9.已知命题“ ?x ? R, x ? 2ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是
2

.

第 1 页 共 9 页

10.设 f ?x ? ? ?

lg x?????? ? 0 x ? ? a 若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? 2 x , ? x ? ?0 3t dt???? ? 0????? ?



11.若集合 A ? ?? 1,1?, B ? ?0,2? ,则集合 z z ? x ? y, x ? A, y ? B 中的 元素的个数为 . 12.某几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的 体积的大小是 . 13.已知 ?1 ? ax? ? 1 ? 10x ? bx2 ? ? ? a 5 x 5 则 b ?
5

?

?

.

14.若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数, 则有: (m ? n)a p ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 ,类比上述性质,相应地, 对等比数列 {bn } ,有 .

三.解答题(本题共 6 小题,共 80 分.第 15,16 题每题各 12 分,17~20 题每题 各 14 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 15. 函数 f ?x ? ? A sin(?x ? ? ) ?? A ? 0, ? ? 0,? ? 1)求函数 y ? f ?x ? 的解析式; 2)当 x ? ?? ? ,?

? ?

?
2

?? ?

?

? , x ? R ? 的部分图象如图所示. 2 ?

? ?

??
6? ?

时,求 f ?x ? 的取值范围.

16.学校为 3 名学生提供甲、乙、丙、丁 4 个不同兴趣小组,每个同 学任选其中一个。 1)求 3 个同学选择 3 个不同兴趣小组的概率; 2)求选择甲兴趣小组的人数的数学期望。 17.如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC? 6 ,平面

PAC ? 平面 ABC , PD ? AC 于点 D ,点 O 为 AC 的中点,
AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
1)求证: BO ? 平面 PAC 2)证明:△ PBC 为直角三角形; 3)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的余弦值. 18.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? 0 ,它的前 n 项和为 S n ,若 S 5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成 等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?

19 . 已 知 点 A( 2 ,0) , 动 点 M , N 满 足 OA ? OM ? 2ON , 其 中 O 是 坐 标 原 点 , 若
第 2 页 共 9 页

K AM ?K ON ? ?

1 2

1)求点 M 的轨迹 E 的方程; 2)若过点 H (0, h)?? ? 1? 的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个共公点,且 l1 ? l 2 , h 的 求 ?h 值. 20. 已知函数 f ( x) ? ln( ? x 2 ) ? ax ,其中 a 为不大于零的常数. ks5u 1 (1) 讨论 f (x ) 的单调性;

1 1 1 )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e ( n ? N* , e 为自然对数的底数). 2 2 4 2 2012-2013 学年度汕头金山中学第二学期高二(期末)考试答案 理数
(2) 证明: (1 ? B A B C D D A C

?? ?,?1? ? ?1,???

,

1,

3,

2? , 3

40 ,

?b ?
p

m? n

? ?bm ?

n? p

? ?bn ?

p ?m

? 1,

15. 函数 f ?x ? ? A sin(?x ? ? ) ?? A ? 0, ? ? 0,? ? 1)求函数 y ? f ?x ? 的解析式; 2)当 x ? ?? ? ,?

? ?

?
2

?? ?

?

? , x ? R ? 的部分图象如图所示. 2 ?

? ?

??
6? ?

时,求 f ?x ? 的取值范围.

解:1)由图知 A ? 1 ,(1 分)

? ? ? 0 ?T ? ?
又? 过点 ?

2?

T 2? ? ? ? ? ? 4 3 6 2

?T ? 2????? 分) (2

?

? 2? ? ? ? 1 (3 分) ? f ?x ? ? sin(x ? ? )

?? ? ,1? ?6 ?

? s i n ( ? ? ) ? 1 (4 分) 6 2 ??

?

??

?
2

?? ?

?

?
3

?

?
6

?? ?

?? ?

?
3

2? ? ? ? ?? ? 3 6 2

(7 分) ? 函数的解析式为 y ? sin( x ?

?

2)? ?? ? x ? ?

?
6

???? ? ? )? 1 2

? ?1 ? s i nx( ?

?
3

2? ? ? ? x? ? 3 3 6
(11 分)ks5u

3

) ; 分) (8

(10 分)

∴求 f ?x ? 的取值范围是 ?? 1, ? .(12 分) 2

? ?

1? ?

16.学校为 3 名学生提供甲、乙、丙、丁 4 个不同兴趣小组,每个同学任选其中一个。 1)求 3 个同学选择 3 个不同兴趣小组的概率; 2)求选择甲兴趣小组的人数的数学期望。
第 3 页 共 9 页

解: 1) P ?
3 A4 3 ? ; ???5 分 43 8

2)设选择甲兴趣小组的人数为 ? , 则 ? ~ B ( 3, ) ∴ E? ?

1 4

????????8 分 ????????11 分

3 4

答:

?12 分

17.如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 , 平面 PAC ? 平面 ABC ,PD ? AC 于点 D , O 为 AC 的中点, AD ? 1 ,CD ? 3 , 点

PD ? 3 .
1)求证: BO ? 平面 PAC 2)证明:△ PBC 为直角三角形; 3)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的余弦值. 解:1)证明:? AB ? BC, 点 O 为 AC 的中点

? BO ? AC ?2 分 ? 平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC ? 平面 ABC =AC BO ? 平面 ABC ? BO ? 平面 PAC ?4 分 AC ? 2, BO ? BC2 ? OC 2 ? 2 2)证明:在 Rt?BOC 中, OC ? 2
同理 DO ? 1, BD ?

DO2 ? BO2 ? 3 , PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3

? PD ? AC 于点 D ,同 1)的证明可证 PD ? 平面 ABC ? BD ? 平面 ABC ? PD ? BD
在 Rt?PBD 中, PD ? 3 , PB ?

PD2 ? BD2 ? 6

?6 分

? PC 2 ? 12 ? PB2 ? PC 2

? △ PBC 为直角三角形;……….7 分

3)以点 O 为坐标原点,以 OB,OC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间直角坐 标系 O ? xyz ,?????????8 分 则 A ? 0, ?2,0? , B

??? ? PB ?

?

2,1, ?

? 2, 0, 0? ,C ?0,2,0? , P ? 0, ?1, 3 ? .ks5u于是 AP ? ? 0,1, 3 ? , ??? ? 3 ? , PC ? ? 0,3, ? 3 ? .
第 4 页 共 9 页

??? ?

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 则 ? ??? ? ?n ? PC ? 0. ?
即?

? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ?3 y ? 3z ? 0. ?

取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ?

2.

所以平面 PBC 的一个法向量为 n ? 分

?

2,1, 3 .???????????????12

?

设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? . ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所 以 直 线

AP







PBC

















6 .???????????????????14 分 3
若第(1)(2)问都用向量法求解,给分如下: 、 (1)以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空间 直角坐标系

E ? xyz ,???????????????????????????????? z P
?????1 分 则B

?

2, 0, 0 , C ? 0,2,0? , P 0, ?1, 3 .

?

?

?

于是 BP ? ? 2, ?1, 3 , BC ? ? 2, 2, 0 .

??? ?

?

?

??? ?

?

?

??? ??? ? ? 因为 BP?BC ? ? 2, ?1, 3 ? ? 2, 2, 0 ? 0 ,

A

E

?

??

?

D

C

y

所以 BP ? BC . 所以 BP ? BC . ?P B 为 C 直 所 以 角 三 形.??????????????????????????????7分 (2)由(1)可得, A ? 0, ?2,0? . 于是 AP ? 0,1, 3 , PB ? 角

??? ?

??? ?

x

B

??? ?

?

?

??? ?

?

??? ? 2,1, ? 3 , PC ? 0,3, ? 3 .

?

?

?

第 5 页 共 9 页

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ? 则 ? ??? 即? ? ?n ? PC ? 0. ?3 y ? 3z ? 0. ? ?
取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ? 所 以 平 面

2.
PBC
的 一 个 法 向 量 为

n?

?

2,1, 3 .????????????????????12分

?

设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? . ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

6 .?????????14 分 3

18.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ? 0 ,它的前 n 项和为 S n ,若 S 5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成 等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?
n(n ? 1) , 2
……1 分

(1)解:因为{an}是等差数列,所以 an= a1+(n-1)d, Sn ? na1 ?

依题意,有 ?

?S5 ? 70 ?5a ? 10d ? 70 ? ,即 ? 1 , ……3 分 2 2 ?a 7 ? a 2 ? a 22 ? ?(a1 ? 6d) ? (a1 ? d)(a1 ? 21d)
……4 分 ……6 分 ……7 分 ……8 分

解得 a1=6,d=4. 所以数列{an}的通项公式为 an=4n+2(n∈N*). (2)证明:由(1)可得 Sn=2n2+4n(n∈N*). 所以

1 1 1 1 1 1 ? 2 = = ( ? ), Sn 2n + 4n 2n(n + 2) 4 n n + 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? S1 S2 S3 Sn-1 Sn

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )?( ? )] 4 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2
第 6 页 共 9 页

1 1 1 1 3 1 1 1 ……10 分 ? [1 ? ? ? ]? ? ( ? ). 4 2 n ?1 n ? 2 8 4 n ?1 n ? 2 3 1 1 1 3 因为 Tn ? ? ? ( ……11 分 ? ) ? 0 ,所以 Tn ? . 8 4 n ?1 n ? 2 8 1 1 1 因为 Tn+1 ? Tn ? ( ? ) ? 0 ,所以数列{Tn}是递增数列,……13 分 4 n ?1 n ? 3 1 所以 Tn ? T1 ? ,所以 1 ? Tn ? 3 . ……14 分 6 6 8
19 . 已 知 点 A( 2 ,0) , 动 点 M, N 满 足 OA ? OM ? 2ON , 其 中 O 是 坐 标 原 点 , 若

K AM ?K ON ? ?

1 2

1)求点 M 的轨迹 E 的方程;

?h 2)若过点 H (0, h)?? ? 1? 的两条直线 l1 和 l 2 与轨迹 E 都只有一个共公点,且 l1 ? l 2 , h 的 求
值.

解:1)设点 M ( x, y )

(1 分)

? A( 2 ,0) , OA ? OM ? 2ON ? N (
? k AM ? y x? 2 , k ON ?
1 2

x? 2 y , ) 2 2

(3 分)

y x? 2

, (x ? ? 2)

(4 分)

? k AM ?k ON ? ?

代入化简得:

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2 ) 2

(6 分)

2)依题意直线的斜率 k 存在 设 l1 : y ? kx ? h ,则由错误!不能通过编辑域代码创建对象。知,l2 : y ? ? (7 分) 将 l1 : y ? kx ? h 代入

1 x?h 。 k

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2
由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k h ? 4(1 ? 2k )(2h ? 2) ? 0 ,即 ks5u
2 2 2 2

1 ? 2k 2 ? h2 。
第 7 页 共 9 页

(9 分)

同理,由 l2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ? 而

1 1 ? h 2 ,消去 h2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 ,从 2 k k

h2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,? h ? 1 ∴ h ? 3 。

(11 分)

由对称性直线 l1 , l 2 : y ? ? x ? h 分别过点 ? 2 ,0 , ( 2 ,0) 得 h ? 分)

?

?

2 也满足要求。(13

? 所求的 h 值为

2或 3.

(14 分)

20. 已知函数 f ( x) ? ln( ? x 2 ) ? ax ,其中 a 为不大于零的常数. 1 (1) 讨论 f (x ) 的单调性; (2) 证明: (1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e ( n ? N* , e 为自然对数的底数). 2 2 4 2

第 8 页 共 9 页

(2)由(1)知,当 a ? ?1 时,f ( x) 在 ?? ?, ?? 上单调递减, ? 当 x ? ?0,???时,由 f ( x) ? f (0) ? 0 得 ln( ? x 2 ) ? x 1 ????????10 分

? ln[(1 ?

1 1 1 1 1 1 )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 n )] ? ln(1 ? 2 ) ? ln(1 ? 2 ) ? ? ? ln(1 ? 2 n ) 2 2 4 2 2 4 2

1? 1 ? ?1 ? n ? 1 1 1 1 ? 2 2 ? ? ? ? ??? n ? ? ? ?1 ? n ? ? 1 1 2 4 2 ? 2 ? 1? 2
? (1 ? 1 1 1 )(1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 n ) ? e 2 2 4 2
???ks5u???14 分

第 9 页 共 9 页


赞助商链接

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试理科数...

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试理科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试理科数学试题及答案汕头...

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二下学期期末考试...

2015-2016学年广东省汕头市金山中学高二下学期期末考试数学理试卷_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学 2015—2016 学年度高二第二学期期末考试 数学(理科)一、...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二下学期期末生物...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二下学期期末生物试题 隐藏>> 汕头市金山中学 2012~2013 学年度第二学期期末考试 高二生物试题本试卷分第 I 卷(选择题)和...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二下学期期中考试...

世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com 汕头市金山中学 20122013 学年度第二学期期中考试 高二理科综合试题 本试卷共 10 页,满分 300 分.考试时间 150 分钟. ...

广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二数学下学期期末...

广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 理_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学 2015—2016 学年度高二第二学期期末考试 数学(理科)一...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高一下学期期末考试...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高一下学期期末考试物理试题及答案 - 汕头市金山中学 2012-2013 学年高一下学期期末考试 物理试题 一.单项选择题(本题共 6 ...

汕头市金山中学12-13学年高二数学(理)下学期期中试题_...

汕头市金山中学12-13学年高二数学(理)下学期期中试题 隐藏>> 京翰高考网:http://gaokao.zgjhjy.com/ 金山中学 2012-2013 年度第二学期期中考试 高二理科数学 ...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二下学期期末政治...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二下学期期末政治试题_政史地_高中教育_教育专区。汕头市金山中学 2012~2013 学年度第二学期期末考试 高二政治试题一、选择题...

广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二12月考试理综试题

金山中学 2012-2013 年度第一学期高二月考 10 理科综合(生物) 试题答案及评分标准一、单项选择题: C C C B D A 二、双项选择题: CD AC 三、非选择题:...

广东省汕头市金山中学2015-2016学年高二下学期期末考试...

汕头市金山中学 2015-2016 学年度第二学期期末考试 高二文科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ...