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高中数学必修1、2、4、5知识点整合

时间:2012-05-22


高中高一数学必修知识点总结

必修一 第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个 给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅 算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元 素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3.集合的表示方法:列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作:正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 二、集合间的基本关系 1.对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何 一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果 AíB,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 AíB, BíC ,那么 AíC ④ 如果 AíB 同时 BíA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个 全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的 值域.

☆求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被 开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分 都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义. ☆构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 3. 函数图象 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐 标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 说明: 函数是一种特殊的映射, 映射是一种特殊的对应, ①集合 A、 及对应法则 f 是确定的; B ②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是 不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都 有象, 并且象是唯一的; (Ⅱ) 集合 A 中不同的元素, 在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变 量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同 的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (2)分段函数 的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的 单调增区间 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么 就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的, 减函数的图象从左到右是下降的. ☆(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1, x2∈D, x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形 且 2 3 (通常是因式分解和配方) 4 定 ; 号 (即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) 5 下结论 ; (指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性

复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函 数(2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇 函数. ☆注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是 否关于原点对称; 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 作出相应结论: f(-x) = f(x) 或 f(- 2 3 若 x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇 函数. 10.函数最大(小)值 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增, 在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

第二章 基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 2.分数指数幂 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1) (2) (3)

; .

(二)指数函数及其性质 1、注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真 数, — 对数式)

两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 ; 2 自然对数:以无理数 e 为底的对数的对数 . 对数式与指数式的互 对数式 对数底数 对数 真数 (二)对数的运算性质 1 2 3 注意:换底公式 利用换底公式推导下面的结论(1) ; (2) . (二)对数函数 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 2 对数函数对底数的限制: (三)幂函数 ← → 幂底数 ← ←

指数式

→ 指数 → 幂

1、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函 数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸; (3) 时, 幂函数的图象在区间 上是减函数. 在第一象限内, 从右边趋向原点时, 当 图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数 f(x),把使 f(x)=0 成立的实数,叫做函数 f(x)的零点。 2、函数零点的意义:函数 f(x)的零点就是方程 f(x)=0 实数根,亦即函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 3、函数零点的求法: 求函数 f(x)的零点: 1 (代数法)求方程 f(x)=0 的实数根; 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 f(x)的图象联系起来,并利用函 数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 . 1)△>0,方程 f(x)=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两 个零点. 2)△=0,方程 f(x)=0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次 函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 f(x)=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.

必修二 基本概念 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理 3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等。

空间两直线的位置关系: 空间两直线的位置关系: 空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面: 平行、 相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面 直线。 两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) esp. 空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类:

(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点—— 平行或异面

直线和平面的位置关系: 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角 为 0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90° ] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线 a 和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说 直线 a 和平面 互相垂直.直线 a 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 a 的垂面。 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条 直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这 个平面平行。 直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平 面相交,那么这条直线和交线平行。

两个平面的位置关系: 两个平面的位置关系: (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系: 两个平面平行-----没有公共点; 两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行。 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。 b、相交 二面角 (1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。

(2) 二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围 为 [0°,180° ] (3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。 (4) 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。 (5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记 为 ⊥ 两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂 直 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂 直于另一个平面。 Attention: 二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法 向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系) 多面体 棱柱 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相 平行,这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形 棱锥 棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几 何体叫做棱锥 棱锥的性质: (1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形 (2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥 高的比的平方

正棱锥 正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这 样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质: (1)各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相 等,它叫做正棱锥的斜高。

(3) 多个特殊的直角三角形 esp: a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的 垂心。 b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直。且顶点在底 面的射影为底面三角形的垂心。

直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k = tan α 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 α ∈ 0 o ,90 o 时, k ≥ 0 ;
o o

当 α = 90 o 时, k 不存在。

[ ) 当 α ∈ (90 ,180 ) 时, k < 0 ;

②过两点的直线的斜率公式: k =

y 2 ? y1 ( x1 ≠ x 2 ) x 2 ? x1

注意下面四点: (1)当 x1 = x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 = k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 (x1, y1 ) 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y = kx + b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

y ? y1 x ? x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )直线两点 (x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) y2 ? y1 x2 ? x1 x y ④截矩式: + = 1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距 截距分别为 a, b 。 截距
③两点式: ⑤一般式: Ax + By + C = 0 (A,B 不全为 0) 1 注意:○各式的适用范围 2 ○特殊的方程如:平行于 x 轴的直线: y = b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x = a (a 为常数) ; (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系

平 行 于 已 知 直 线 A0 x + B0 y + C0 = 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

A0 x + B0 y + C = 0 (C 为常数)
(二)垂直直线系 垂 直 于 已 知 直 线 A0 x + B0 y + C0 = 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

B0 x ? A0 y + C = 0 (C 为常数)
(三)过定点的直线系 ① 斜率为 k 的直线系: y ? ② 过两条直线 l1

y0 = k ( x ? x0 ) ,直线过定点 (x0 , y0 ) ;

: A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l2 不在直线系中。 ( A1x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ( λ 为参数) (5)两直线平行与垂直 当 l1 : y = k1 x + b1 , l 2 : y = k 2 x + b2 时,

l1 // l 2 ? k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ; l1 ⊥ l 2 ? k1 k 2 = ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (6)两条直线的交点

l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0 相交
A x + B1 y + C1 = 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x + B2 y + C 2 = 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ;

方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

(7)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点, B 则 | AB |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 )2 (8)点到直线距离公式:一点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 l1 : Ax + By + C

= 0 的距离 d =

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

(9)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

圆的方程

(1)标准方程 (x ? a ) + ( y ? b ) = r 2 ,圆心
2 2

(a, b) ,半径为 r;
? 2 2?

(2)一般方程 x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2

2 2 当 D + E ? 4 F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r = 1 D 2 + E 2 ? 4 F ? ?

2

当D 形。

2

+ E ? 4 F = 0 时,表示一个点; 当 D + E ? 4 F < 0 时,方程不表示任何图
2 2 2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax + By + C = 0 ,圆 C : ( x ? a )2 + ( y ? b )2 = r 2 ,圆心 C (a, b ) 到 l 的距离为
d= Aa + Bb + C ,则有 d A2 + B 2

> r ? l与C 相离 ; d = r ? l与C相切 ; d < r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该 直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 设圆 C1 : ( x ? a1 ) + ( y ? b1 )2 = r 2 , C 2 : ( x ? a 2 )2 + ( y ? b 2 )2 = R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 d > R + r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 当 d = R + r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r < d < R + r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d = R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d < R ? r 时,两圆内含; 当 d = 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 必修四 基本三角函数 Ⅰ

α α ∈Ⅰ α ∈Ⅱ α ∈Ⅲ α ∈Ⅳ
α α α α
2 2 2 2

α
2 ∈ Ⅰ、Ⅲ ∈ Ⅰ、Ⅲ ∈ Ⅱ、Ⅳ ∈ Ⅱ、Ⅳ
轴上的角的集合: 终边落在 y 轴上的角的集合:



轴上的角的集合: 终边落在 x 轴上的角的集合:

{α α = κπ , κ ∈ z}

? ? π ?α α = κπ + , κ ∈ z ? 2 ? ?
l = α S = r r
2

终边落在坐标轴上的角的集合: ?α α = κ 终边落在坐标轴上的角的集合:

? ?

π

? ,κ ∈ z? 2 ?

360 度 = 2 π 1 = 1 180
°

弧度

π
180
.

1 1 l r = α 2 2

弧度 = 180

弧度
°

π
弧度



基本三角函数符号记 忆: 一全,二正弦,三切,四 “一全,二正弦,三切, 余弦” 余弦”

= π

tan α cot α = 1
倒数关系: 倒数关系: SinαCscα = 1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为 1

CosαSecα = 1
tan 2 α + 1 = Sec 2α
平方关系: 平方关系: Sin α + Cos α = 1
2 2

1 + Cot 2α = Csc 2α

三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对 边对应的三角函数的平方

乘积关系: 乘积关系: Sinα = tan αCosα , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积 终边相同的角的三角函数值相等 Ⅲ 诱导公式
Cos (α + 2 k π ) = Cos α , k ∈ z tan (α + 2 k π ) = tan α , k ∈ z Sin (α + 2 k π

)=

Sin α

,

k ∈ z

角α 与角 ? α关于 x轴对称

) = ? Sin α Cos (? α ) = Cos α tan (? α ) = ? tan α
Sin (π ? α Cos tan

Sin (? α

角π ? α与角α关于y轴对称

) = Sin α (π ? α ) = ? Cos α (π ? α ) = ? tan α

角π + α与角 α关于原点对称

Sin (π + α ) = ? Sin α Cos (π + α ) = ? Cos α tan (π + α

)=

tan α



π
2

? α与角α关于y = x对称

?π ? Sin ? ? α ? = Cos α 2 ? ? ?π ? Cos ? ? α ? = Sin α 2 ? ? ?π ? tan ? ? α ? = cot α ? 2 ?

?π ? Sin ? + α ? = Cos α ? 2 ? ?π ? Cos ? + α ? = ? Sin α ? 2 ? ?π ? tan ? + α ? = ? cot α ? 2 ?

上述的诱导公式记忆口诀: 奇变偶不变,符号看象限” “ 上述的诱导公式记忆口诀: 奇变偶不变,符号看象限” Ⅴ 三角函数的性质 性 质

y = Sin x
R

y = Cos x
R

定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性

[? 1,1]

奇函数

[? 1,1]

偶函数

π π? ? ?2kπ ? 2 ,2kπ + 2 ?, k ∈ z , 增函数 ? ? π 3π ? ? ?2kπ + 2 ,2kπ + 2 ?, k ∈ z , 减函数 ? ?

[2kπ ? π ,2kπ ], k ∈ z, 增函数 [2kπ ,2kπ + π ], k ∈ z, 减函数

对称中心

(kπ ,0), k ∈ z
x = kπ +

π ? ? ? kπ + ,0 ?, k ∈ z 2 ? ?
x = kπ , k ∈ z
5 4

对称轴

π
2

,k ∈ z



5

3
4

y
2
3

y
2

1


-π /2
-8

x
1

-8

-2π -6

-3π /2 -4



-2

-π /2

O

π /2

2

π

4

3π /2

6



8

3π /2 O π /2 2 π
4 6

x 2π
8

-1

-2π-6

-3π /2

-4



-2

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

性 质 定义域

y = tan x
? ? π ? x x ≠ κπ + , κ ∈ z ? 2 ? ?

y = cot x

{x x ≠ κπ , κ ∈ z}
π
R

值 域 周期性 奇偶性 单调性

π

R

奇函数
π π ? ? ? k π ? , k π + ? , k ∈ z , 增函数 2 2? ?

奇函数

(kπ , kπ + π ), k ∈ z, 增函数
π ? ? ,0 ? , k ∈ z ? kπ + 2 ? ?

对称中心 对称轴

(k π , 0 ), k

10 8

∈ z

无 y
y

6

图 像
-15 -10 -5

4

2

x -3π /2 -π -π /2 O π /2 π 3π /2 5
10 15

-2

0

x

-4

-6

-8

-10

怎样由y = Sinx变化为y = ASin(ωx + ? ) + k
振幅变化: y = Sinx



y = ASinx 左右伸缩变化:
左右平移变化

y = ASinωx
上下平移变化

y = ASin (ωx + ? )

y = ASin (ωx + ? ) + k

Ⅵ平面向量共线定理:一般地,对于两个向量 平面向量共线定理:一般地,

a, a ≠ 0 , b, 如果有

(

)

一个实数λ , 使得b = λ a, a ≠ 0 , 则b与a是共线向量;反之如果b与a是共线向量 那么又且只有一个实数λ , 使得b = λ a.
Ⅶ 线段的定比分点 点 P 分有向线段 P P2 所成的比的定义式 P P = λ PP2 1 1 . 线段定比分点坐标公式 线段定比分点向量公式

(

)

x + λ x2 x= 1 1+ λ y1 + λ y 2 y= 1+ λ
↓ 当 λ =1时

?

. OP =

OP1 + λ OP 2 1+ λ
↓ 当 λ =1时

线段中点坐标公式
x = x1 + x 2 2

线段中点向量公式

y + y2 y= 1 2

. OP = OP 1 + OP 2

2



一般地, 一般地,对于两个非零向量 a, b 有 a ? b = a b Cos

θ ,其中θ为两向量的夹角。 其中θ 其中 为两向量的夹角。

Cos θ =

a?b a b

= x1

x1 x 2 + y 1 y 2
2 +

y1

2

x2

2

+

y2

2

特别的, 特别的, a ? a = a = a Ⅺ

2

2

或者 a = a ? a

如果 a = ( x1 , y 1 ) , b = ( x 2 , y 2 ) 且a ≠ 0 , 则a ? b = x1 x 2 + y1 y 2 特别的 , a ⊥ b ? x1 x 2 + y1 y 2 = 0 若正n边形A1 A2 ? ? ? An的中心为O , 则OA1 + OA2 + ? ? ? + OAn = 0
三角形中的三角问题
A+B+C =π , A+B+C π = 2 2 , A+B π C = 2 2 2



Sin ( A + B ) = Sin (C )

Cos ( A + B ) = ? Cos (C )

? A+ B? ?C ? Sin ? ? = Cos ? ? ? 2 ? ? 2 ?

? A+ B? ?C ? Cos ? ? = Sin ? ? 2 ? ? ? 2 ?

正弦定理: 正弦定理:

a b c a+b+c = = = 2R = SinA SinB SinC SinA + SinB + SinC

余弦定理: 余弦定理:

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bcCosA , b 2 = a 2 + c 2 ? 2acCosB c 2 = a 2 + b 2 ? 2abCosC CosA = b2 + c2 ? a2 a2 + c2 ? b2 , CosB = 2bc 2ac 2 2 2 a +b ?c CosC = 2ab
三角公式以及恒等变换

变形: 变形:

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
两角的和与差公式: Sin (α + β 两角的和与差公式: 两角的和与差公式:
Sin (α ?

)= β )=

Sin α Cos β + Cos α Sin β Sin α Cos β ? Cos α Sin β

, S (α + β ) , S (α ? β )

Cos(α + β ) = CosαCosβ ? SinαSinβ , C (α + β ) Cos(α ? β ) = CosαCosβ + SinαSinβ , C (α ? β ) tanα + tan β tan(α + β ) = 1 ? tanα tan β tanα ? tan β tan(α ? β ) = 1 + tanα tan β
二倍角公式: 二倍角公式: 变形: 变形:
tan α + tan β = tan (α + β )(1 ? tan α tan β ) tan α ? tan β = tan (α ? β )(1 + tan α tan β ) tan α + tan β + tan χ = tan α tan β tan χ 其中 α , β , χ 为三角形的三个内角

, T(α + β ) , T(α ? β )

Sin 2 α = 2 Sin α Cos α Cos 2 α = 2 Cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 Sin 2 α = Cos 2 tan α tan 2 α = 1 ? tan 2 α
2

α ? Sin 2 α

半角公式: 半角公式:

Sin Cos

α
2

=± =±

1 ? Cos α 2 1 + Cos α 2
2

α
2

tan

α
2



1 ? Cos α Sin α 1 ? Cos α = = 1 + Cos α 1 + Cos α Sin α

降幂扩角公式: 降幂扩角公式: Cos 2 α = 1 + Cos 2 α
Sin α Cos β =

, Sin 2 α =

1 ? Cos 2 α 2

1 [Sin (α + β ) + Sin (α ? β )] 2 1 积化和差公式: 积化和差公式: Cos α Sin β = [Sin (α + β ) ? Sin (α ? β )] 2 1 Cos α Cos β = [Cos (α + β ) + Cos (α ? β )] 2 1 Sin α Sin β = ? [Cos (α + β ) ? Cos (α ? β )] 2

?α + β ? ?α ? β ? Sin α + Sin β = 2 Sin ? ? Cos ? ? 2 ? ? ? 2 ? ?α + β ? ?α ? β ? Sin α ? Sin β = 2 Cos ? ? Sin ? ? 和差化积公式: 和差化积公式: ? 2 ? ? 2 ? ( ?α + β ? ?α ? β ? Cos α + Cos β = 2 Cos ? ? Cos ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?α + β ? ?α ? β ? Cos α ? Cos β = ? 2 Sin ? ? Sin ? ? 2 ? ? ? 2 ?
2 tan 1 + tan 1 ? tan 1 + tan

S + S = 2 SC S ? S = 2 CS C + C = 2 CC C ? C = ? 2 SS



α
2
2

Sin α =

α
2

万能公式: 万能公式

2

α α
2 2

Cos α =

(

S +T ?C ? +

)

tan α =

2 tan 1 ? tan

α
2
2

2

α
2

3.

柯西不等式 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2 , a, b, c, d ∈ R.

必修五
(一)解三角形 1、正弦定理:在 ?ΑΒC 中, a 、 b 、 c 分别为角 Α 、 Β 、 C 的对边, R 为 ?ΑΒC 的外接

a b c = = = 2R . sin Α sin Β sin C 正弦定理的变形公式:① a = 2 R sin Α , b = 2 R sin Β , c = 2 R sin C ; a b c ② sin Α = , sin Β = , sin C = ; 2R 2R 2R ③ a : b : c = sin Α : sin Β : sin C ; a+b+c a b c ④ . = = = sin Α + sin Β + sin C sin Α sin Β sin C 1 1 1 2、三角形面积公式: S ?ΑΒC = bc sin Α = ab sin C = ac sin Β . 2 2 2
圆的半径,则有 3、余弦定理:在 ?ΑΒC 中,有 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos Α , b 2 = a 2 + c 2 ? 2 ac cos Β ,

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
4、余弦定理的推论: cos Α =

b2 + c2 ? a 2 a 2 + c 2 ? b2 a2 + b2 ? c2 , cos Β = , cos C = . 2bc 2ac 2ab

5、射影定理: a = b cos C + c cos B, b = a cos C + c cos A, c = a cos B + b cos A
2 2 2 o 6、设 a 、 b 、 c 是 ?ΑΒC 的角 Α 、 Β 、 C 的对边,则:①若 a + b = c ,则 C = 90 ;

②若 a 2 + b 2 > c 2 ,则 C < 90o ;③若 a 2 + b 2 < c 2 ,则 C > 90o . (二)数列 7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. an +1 ? an > 0 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. an +1 ? an < 0 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , Α , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 Α 称为 a 与 b 的等 差中项.若 b =

a+c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列 {an } 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an = a1 + ( n ? 1) d . 20、通项公式的变形:① an = am + ( n ? m ) d ;② a1 = an ? ( n ? 1) d ;③ d = ④n =

an ? a1 a ? am . + 1 ;⑤ d = n d n?m

an ? a1 ; n ?1

21、若 {an } 是等差数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν* ) ,则 am + an = a p + aq ; 若 {an } 是等差数列,且 2 n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν* ) ,则 2 an = a p + aq . 22、等差数列的前 n 项和的公式:① S n =

n ( a1 + an ) 2

;② S n = na1 +

n ( n ? 1) 2

d.

23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ∈ Ν * ,则 S2 n = n ( an + an +1 ) ,且

(

)

S偶 ? S奇 = nd ,

S奇 S偶

=

an . an +1

②若项数为 2 n ? 1 n ∈ Ν * ,则 S2 n ?1 = ( 2n ? 1) an ,且 S奇 ? S 偶 = an ,

(

)

S奇 S偶

=

n n ?1

(其中 S奇 = nan , S偶 = ( n ? 1) an ) . 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 25、 a 与 b 中间插入一个数 G , a ,G ,b 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. 在 使 则 若

G 2 = ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.注意: a 与 b 的等比中项可能是 ±G
26、若等比数列 {an } 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an = a1q n ?1 . 27、通项公式的变形:① an = am q n ? m ;② a1 = an q
?( n ?1)

;③ q n ?1 =

an a ;④ q n ? m = n . a1 am

* ,则 am ? an = a p ? aq ;若 28、若 {an } 是等比数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν )

,则 {an } 是等比数列,且 2n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν* ) an2 = a p ? aq .

?na1 ( q = 1) ? . 29、等比数列 {an } 的前 n 项和的公式: S n = ? a1 (1 ? q n ) a ? a q = 1 n ( q ≠ 1) ? 1? q ? 1? q
30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ∈ Ν * ,则

(

)

S偶 S奇

=q.

② S n + m = S n + q n ? S m .③ S n , S2 n ? S n , S3 n ? S 2 n 成等比数列( S n ≠ 0 ) . (三)不等式 31、 a ? b > 0 ? a > b ; a ? b = 0 ? a = b ; a ? b < 0 ? a < b . 32、不等式的性质: ① a > b ? b < a ;② a > b, b > c ? a > c ;③ a > b ? a + c > b + c ; ④ a > b, c > 0 ? ac > bc , a > b, c < 0 ? ac < bc ;⑤ a > b, c > d ? a + c > b + d ; ⑥ a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd ;⑦ a > b > 0 ? a > b
n n

( n ∈ Ν, n > 1) ;

⑧a > b > 0?

n

a > n b ( n ∈ Ν, n > 1) .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式 ? = b ? 4ac
2

?>0

?=0

?<0









y = ax 2 + bx + c

( a > 0 ) 的图象
一元二次方程 ax + bx
2

有两个相异实数根

有两个相等实数根

+c = 0 ( a > 0 ) 的根

x1,2 =

?b ± ? ( x1 <x2) 2a

x1 = x2 = ?

b 2a

没有实数根

ax 2 + bx + c >
一元二次 不等式的 解集

( a > 0)
ax 2 + bx + c <

{ x x < x 或x > x }
1 2

? b ? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?

R

( a > 0)
若二次项系数为负,先变为正 35、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数.

{x x

1

< x < x2 }

?

?

a+b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的 2 a+b ≥ ab . 2

36、均值不等式定理: 若 a > 0 , b > 0 ,则 a + b ≥ 2 ab ,即 37、常用的基本不等式:① a + b ≥ 2ab ( a, b ∈ R ) ;② ab ≤
2 2
2 2

a 2 + b2 ( a, b ∈ R ) ; 2

a2 + b2 ? a + b ? ? a+b? ③ ab ≤ ? ≥? ( a > 0, b > 0 ) ;④ ? ? ( a, b ∈ R ) . 2 ? 2 ? ? 2 ?
38、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x + y = s (和为定值) ,则当 x = y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

,则当 x = y 时,和 x + y 取得最小值 2 p . ⑵若 xy = p (积为定值)


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