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3.2.1复数的代数形式的加减运算及其几何意义2010.5.10


1、复数的加法

我们规定:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
探究: 复数的几何意义;复数的加法的交换 律、结合律.

2、复数的减法 (1)规定:复数减法是加法逆运算; (2)法则:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (a,b,c,d∈R ) 3、复数相等定义: a+bi=c+di 得

a=c,b=d.

复数的加(减)法与多项式加(减)法 是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部 与虚部分别相加(减) ,即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+ (b±d)i.

4、复数的代数形式的乘法运算法则:

(a ? bi )( c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc )i

例 1.计算

(1)3 ? 4i )( 3 ? 4i );(2) ? i ) . ( (1
2

5、共轭复数的概念:两个复数的实部相等, 虚部互为相反数。

探究 1:

(1)复数Z ? a ? bi (a、b ∈ R )与其共轭复数 Z的模有何关系? (2)互为共轭复数的 与Z之积与各自的模 Z 又有何关系? (3) Z 1 ? Z 2 ? Z 1 ? Z 2成立吗?

例 2. 计算(1 ? 2i )( 3 ? 4i )( ?2 ? i ).

小 结: (1)实数集中的乘法公式在复数集中仍然 成立; (2)复数的混合运算也是乘方,乘除,最 后加减,有括号应先处理括号里面的.

练习: 填空

(1)a ? bi )( a ? bi ) ? (
* 4n

;z ? z ?
? ? ,i .
4 n ?1

?
? ,

.

(2) n ? N ,则i 设 i
4 n? 2

?

,i

4 n? 3

1 3 1 3 (3)设? ? ? ? i (或? ? ? ? i ),则 2 2 2 2 2 3 1?? ?? ? ,? ? .

7、复数的除法

z1 a ? bi ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i (c ? di ? 0) 2 2 z2 c ? di c ? d c ?d

复数的几何意义(一)
复数z=a+bi (数) z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形)

y

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

复数的几何意义(二)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ
y

z=a+bi Z(a,b)
a
b

o

x

复数的模的几何意义
??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y

| z | = a 2 ? b2

z=a+bi Z (a,b)
O

x

新课讲解

1.复数加法运算的几何意义?
Z1+ Z2=OZ1 +OZ2 =

OZ

符合向量加法 的平行四边形 法则.

y
Z2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

2.复数减法运算的几何意义?
复数z1-z2 向量Z2Z1

y
符合向量减 法的三角形 法则. Z2(c,d) Z1(a,b)

o

x

|z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.

(1)|z-(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离

(2)|z+(1+2i)|
点A到点(-1, -2)的距离

(3)|z-1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, -2)的距离

练习:已知复数m=2-3i,若复数 z满足不等式|z-m|=1,则z所对
应的点的集合是什么图形? 以点(2, -3)为圆心,

1为半径的圆上

3、复数加减法的几何意义
(1) |z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形 z2 z2-z1

C

z1+z2

B

(2) | z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 矩形 o

z1 A

(3) |z1|= |z2|,| z1+ z2|= | z1- z2|

平行四边形OABC是

正方形

三、复数加减法的几何意义的运用

练习:

设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1

|z2+z1|=

2,

求|z2-z1|

2


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