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北京市海淀区2013届高三4月一模数学试题[文科]及答案


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海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (文) 2013.4

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8

小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B

6 D

7 B

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) 9. 0 10. ?

1 2

11. 16 14. 2,

12. 4

13. a ? 4

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( ) ? 2 ? ( 3 ?

π 3

3 1 2 ? ) ?1 2 2

………………2 分

因为 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x )2

? 2 ? (3sin 2 x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ) ? 2 ? (1 ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x )
? 1 ? 2 sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x
………………6 分 ………………8 分所以 f ( x ) 的 ………………4 分

π = 2sin(2 x ? ) 6
周期为 T ?

2π 2π ? ?π |? | 2

………………9 分

(II)当 x ? [ ? 所以当 x ? ?

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [? , ] 6 3 3 3 6 6 6

?
6

时,函数取得最小值 f ( ?

?
6

) ? ?1

………………11 分当 x ?

?
6

时,

函数取得最大值 f ( ) ? 2

?

6

………………13 分

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 ………………2 分

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40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3
(II)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

………………4 分

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
………………8 分(Ⅲ)因为两科 考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A ………………9 分

设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成绩等级为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为

? ? { {甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} } ,一共有 6 个基本事件 …11 分
设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个,则 P ( B ) ?

17.解: (I)证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD ,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD ………………1 分 ………………2 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

1 . 6

………………13 分

?CAD ? 30? ,所以, DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1 3

………………8 分 ………………9 分 ………………11 分

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所 以 MN / / 平面 PDC (Ⅲ)假设直线 l / / CD ,因为 l ? 平面 PAB , CD ? 平面 PAB , 所以 CD / / 平面 PAB

………………12 分

又 CD ? 平面 ABCD ,平面 PAB ? 平面 ABCD ? AB ,所以 CD / / AB ……………13 分 这与 CD 与 AB 不平行,矛盾所以直线 l 与直线 CD 不平行 18.解: (I)因为 f '( x ) ? x 2 ? k
2 2

………………14 分 ………………2 分

当 k ? 4 时, f '( x ) ? x ? 4 ,令 f '( x ) ? x ? 4 ? 0 ,所以 x1 ? 2, x2 ? ?2

f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
x

( ??, ?2)
?

?2
0 极大值

( ?2, 2)
?

2
0 极小值

(2, ??)
?

f '( x ) f ( x)

?

?

?

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………………4 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?2) , (2, ??) 单调递减区间是 ( ?2, 2) (II)令 g ( x ) ? f ( x ) ? k ,所以 g ( x ) 只有一个零点 因为 g '( x ) ? f '( x ) ? x ? k
2

………………6 分 ………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

当 k ? 0 时, g ( x ) ? x 3 ,所以 g ( x ) 只有一个零点 0 当 k ? 0 时, g '( x ) ? x ? k ? 0 对 x ? R 成立,
2

所以 g ( x ) 单调递增,所以 g ( x ) 只有一个零点 当 k ? 0 时,令 g '( x ) ? f '( x ) ? x ? k ? 0 ,解得 x1 ?
2

k 或 x2 ? ? k ……………10 分

所以 g '( x ), g ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x

( ??, ? k )
?

? k
0 极大值

(? k , k )
?

k
0 极小值

( k , ??)
?

g '( x ) g ( x)

?

?

?

g ( x ) 有且仅有一个零点等价于 g ( ? k ) ? 0 2 9 即 g ( ? k ) ? k k ? k ? 0 ,解得 0 ? k ? 3 4 9 的取值范围是 k ? 4 19.解:(I)设椭圆的焦距为 2c ,
因为 a ? 所以 b ? 1 所以椭圆 C :

………………11 分 ………………12 分 综上所述,k ………………13 分

2,

c 2 ,所以 c ? 1 ? a 2

………………2 分

x2 ? y2 ? 1 2

………………4 分

(II)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ? 所以 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ? 0 ,

? y ? kx

2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 1 ? 2k 2

………………6 分

所以 AB ?

(1 ? k 2 )

8 8(1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 1? k
2

………………8 分

点 M ( 2,0 )到直线 l 的距离 d ?

………………10 分

则 GH ? 2

7 2k 2 ? 3 1? k2

………………11 分

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 因为 AG ? BH ,所以 AB ? GH
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G H B

………………12 分

所以

8(1 ? k 2 ) 7 2k 2 ? ? 4( ) 1 ? 2k 2 3 1? k2
………………14 分

解得 k 2 ? 1 ,即 k ? ?1 20.解: (I) 因为 ?x + ?y =3( ?x, ?y 为非零整数)

故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 (0,0) 的“相关点”有 8 个………………1 分又因为

( ?x ) 2 ? ( ?y ) 2 ? 5 ,即 ( x1 ? 0) 2 ? ( y1 ? 0) 2 ? 5
所以这些可能值对应的点在以 (0,0) 为圆心, 5 为半径的圆上 (II) 设 M (xM ,y M ) ,因为 M ? ? ( H ), L ? ? ( M ) 所以有 | xM ? 9 | ? | y M ? 3 |? 3 , | xM ? 5 | ? | y M ? 3 |? 3 所以 | xM ? 9 |?| xM ? 5 | ,所以 xM ? 7, y M ? 2 或 y M ? 4 所以 M (7, 2) 或 M (7, 4) (III) 当 n ? 2k , k ? N 时, | P0 Pn | 的最小值为 0
*

………………3 分

………………5 分 ………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

当 n =1 时,可知 | P0 Pn | 的最小值为 5

,可得 P3 (x0 ,y0 +1) : 当 n =3 时,对于点 P ,按照下面的方法选择“相关点”

P0 (x0 ,y0 ) ? P 1 (x0 +2,y0 +1) ? P 2 (x0 +1,y0 +3) ? P 3 (x0 ,y0 +1) 故 | P0 Pn | 的最小值为 1
*

………………11 分

当 n ? 2k ? 3, k ? 1, k ? N , 时,对于点 P ,经过 2k 次变换回到初始点 P0 (x0 ,y0 ) ,然后经过 3 次变换回 到 Pn (x0 ,y0 +1) , 故 | P0 Pn | 的最小值为 1 综上,当 n =1 时, | P0 Pn | 的最小值为 5 当 n ? 2k , k ? N 时, | P0 Pn | 的最小值为 0
*

当 n ? 2k ? 1, k ? N 时, | P0 Pn | 的最小值为 1
*

………………13 分

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