nbhkdz.com冰点文库

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文科数学试题卷


2015 年高三教学测试(二)
文科数学
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的密 封线内填写学校、班级、学号、姓名. 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,全卷满 分 150 分,考试时间 120 分钟.

试题卷

参考公式: ① 棱柱的

体积公式: V ? Sh ; ② 棱锥的体积公式: V ?

1 Sh ;③棱台的体积公式: 3

V?

1 4 ④球的体积公式: ⑤球的表面积公式:S ? 4?R 2 ; h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) ; V ? ?R 3 ; 3 3

其中 S , S1 , S 2 表示几何体的底面积, h 表示几何体的高,R 表示球的半径.

第Ⅰ 卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 cos? ? ? A.
5 , ? ? [0, π] ,则 tan ? ? 5 1 B. ? 2

1 2

C. ? 2

D.2

2.计算: log4 3 ? log9 2 ?

1 1
正视图

1 A. 4
C.4

1 B. 6
D.6

2
侧视图

3.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 π A. π B. 2 C.

R?1

2

π 3

D.

π 6

俯视图

(第 3 题)

高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 1 页 共 6 页

?x ? 1 ? 4.已知实数 x, y 满足: ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 2( x ? 3) ?

A.6

B.4

C. ? 2

D. ? 4

5.在△ ABC 中, “ sin A ? cos B ”是“△ ABC 为锐角三角形”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π 6.函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象可由函数 y ? cos 2 x 的图象 3
A.向左平移 C.向左平移

5π 而得到 12 π 而得到 12

B.向右平移 D.向右平移

5π 而得到 12 π 而得到 12

7.设 F1 、 F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,A 为双曲线的 a 2 b2

左顶点, 以 F1 F2 为直径的圆交双曲线一条 渐近线于 M、 N 两点, 且满足 ?MAN ? 120? , 则该双曲线的离心率为
21 A. 3 19 B. 3

y
N A
F1

C.

5 3

D. 3

O
M

F2 x

(第 7 题)

? x ? k (1 ? a 2 ) 8.已知函数 f ( x ) ? ? 2 2 ? x ? 4 x ? (3 ? a )

( x ? 0) ( x ? 0)

,其中 a ? R . 若对任意的非零实数 x1 ,

存在唯一的非零实数 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则 k 的取值范围为 A. k ? 0 C. 0 ? k ? 8 B. k ? 8 D. k ? 0 或 k ? 8

高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 2 页 共 6 页

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每题 6 分,第 13-15 题每题 4 分,共 36 分) 9.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x ? 1 ? x ? 1} , B ? { x x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ?
A ? ( ? U B) ?





▲ . ▲ ;

10.若向量 a 与 b 满足 | a |? 2 ,| b |? 2 , (a ? b) ? a .则向量 a 与 b 的夹角等于

| a ? b |?

▲ . ▲ ;若 f (a ) ? 1 ,则 a ? ▲ .

?2 x ? 1 ( x ? 0) 11.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f ( 2) ? ?? x ? 2 x ( x ? 0)

12.若实数 x , y ? 0 且 xy ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是

▲ ,

x2 ? 4 y2 的最小值是 x ? 2y

▲ .

13.已知圆 x 2 ? y2 ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点为 M ( 3 , 1) ,则直线 AB 的方程为 14.已知数列 {a n } 的首项 a1 ? 1 ,且满足 a n?1 ? a n ? a n a n?1 (n ? 2) , 则 a1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a 2014 a 2015 ? ▲ .

▲ .

15.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB ? AD ? 2 , AA1 ? 3 ,棱 AD 在平面 ? 内,则 长方体在平面 ? 内的射影所构成的图形面积的取值范围是
C1 D1 A1
C





B1

D

B

?

A
(第 15 题)

高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 3 页 共 6 页

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 三角形 ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin A sin B ? sin2 C ,其中,角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求

a?b 的取值范围. c

17.(本题满分 15 分) 已知数列 {a n } 是等比数列,且满足 a 2 ? a 5 ? 36 , a 3 ? a 4 ? 1 2 8 . (Ⅰ)求数列 { an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {a n } 是递增数列,且 bn ? a n ? log2 a n (n ? N*) ,求数列 {bn } 的前 n 项 和 Sn .

高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 4 页 共 6 页

18.(本题满分 15 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABC ,2 AC ? PC ? 2 , AC ? BC , D 、E 、 且有 MN // BC . F 分别为 AC 、AB 、AP 的中点,M 、N 分别为线段 PC 、PB 上的动点, (Ⅰ)求证: MN ? 面 PAC ; (Ⅱ)探究: 是否存在这样的动点 M,使得二面角 E ? MN ? F 为直二面角?若存在, 求 CM 的长度;若不存在,说明理由. P

M F D A C E
(第 18 题)

N

B

19.(本题满分 15 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦点为 F, 抛物线上横坐标为 与其到准线的距离相等. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ) 设过点 P(6, 0) 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点, 若以 AB 为直径的圆过点 F , 求直线 l 的方程.

1 的点到抛物线顶点的距离 2

y

A

O F

P B

x

(第 19 题) 高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 5 页 共 6 页

20.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? | ax ? 1 | , a ? R . (Ⅰ)若 a ? ?2 ,且存在互不相同的实数 x1 , x 2 , x 3 , x 4 满足 f ( x i ) ? m ( i ? 1,2,3,4) , 求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 [1,2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

2015 年高三教学测试(二)
文科数学
1.C; 5.B; 2.A; 6.B; 3.D; 7.A;

参考答案
4.C; 8.D.

一.选择题(本大题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

8. 【解析】由题意,对任意的非零实数 x1 ,都存在唯一的非零实数 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,使得
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,也即函数图象除 x ? 0 外,其余均是一个函数值对应两个自变量,结

合图象可知: k(1 ? a 2 ) ? (3 ? a) 2 ,即 (k ? 1)a 2 ? 6a ? 9 ? k ? 0 当 a ? R 时始终有解, 因此 ? ? 36 ? 4(k ? 1)(9 ? k ) ? 0 , k 2 ? 8k ? 0 ,因此 k ? 0 或 k ? 8 .

二、填空题(本大题共 7 小题,第 9-12 题每空 3 分,第 13-15 题每空 4 分,共 36 分) 9. [ ?1,0] , [ ?1,2 ) 13. x ? y ? 4 ? 0 10. 14.

?
4

, 10

11.3,1 15. [4,2 13 ]

12. 2 2 , 2

2014 2015

15.【解析】四边形 ABCD 和 ADD1 A1 的面积分别为 4 和 6,长方体在平面 ? 内的射影可 由这两个四边形在平面 ? 内的射影组合而成. 显然, S min ? 4 . 若记平面 ABCD 与平面 ?
高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 6 页 共 6 页

所成角为 ? ,则平面 ADD1 A1 与平面 ? 所成角为
4 cos ? 和 6 cos(

?
2

? ? . 它们在平面 ? 内的射影分别为

?
2

? ? ) ? 6 sin? , 所 以 , S ? 4 cos? ? 6 sin? ? 2 13 sin(? ? ? ) ( 其 中 ,

tan ? ?

2 ? ) ,因此, S max ? 2 13 ,当且仅当 ? ? ? ? 时取到. 因此, 4 ? S ? 2 13 . 3 2

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 14 分) 三角形 ABC 中,已知 sin2 A ? sin2 B ? sin A sin B ? sin2 C ,其中,角 A、B、C 所对 的边分别为 a、b、c . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求

a?b 的取值范围. c
a 2 ? b2 ? c 2 1 ?? , 2ab 2
?6 分

16.【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab , ∴由余弦定理得: c o C s ? ∴C ?

2? . 3

(Ⅱ)由正弦定理得: 又?A ? B ?

a?b s i n A? s i n B 2 ? ? 3( s i A n?s i n B) c sin C 3

?
3

,∴ B ?

?
3

? A,

∴s i n A? s i n B?si n A ? s i n ( ? A) ? s i nA (? ), 3 3 而0? A?

?

?

?
3

,∴

?
3

? A?

?
3

?

2? , 3
?14 分

A?s i n B?( ∴s i n

3 a?b 2 3 ,1] ,∴ ? (1, ]. 2 c 3

17.(本题满分 15 分) 已知数列 {a n } 是等比数列,且满足 a 2 ? a 5 ? 36 , a 3 ? a 4 ? 1 2 8 . (Ⅰ)求数列 { an } 的通项公式;
高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 7 页 共 6 页

(Ⅱ)若数列 {a n } 是递增数列,且 bn ? a n ? log2 a n (n ? N*) ,求数列 {bn } 的前 n 项 和 Sn . 17.【解析】 (Ⅰ)因为 {a n } 是等比数列,所以 a 3 ? a 4 ? a 2 ? a 5 ? 128 ,又 a 2 ? a 5 ? 36 因此 a 2 , a 5 是方程 x 2 ? 36 x ? 128 ? 0 ,可解得:

?a1 ? 64 ?a 2 ? 4 ?a 2 ? 32 ?a 1 ? 2 ? ,或 ,因此 ,或 ? ? ? ? 1 a ? 32 a ? 4 ?q ? 2 ? 5 ? 5 ?q ? 2 ?
?1? 所以, an ? 2 n 或 a n ? 64 ? ? ? ? 2?
n ?1

? 2 7? n

?9 分

(Ⅱ)数列 {a n } 是递增数列,所以 an ? 2 n , bn ? a n ? log2 a n ? 2 n ? n

S n ? (21 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 2 n?1 ? 2 ?

n(n ? 1) 2

?15 分

18.(本题满分 15 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABC ,2 AC ? PC ? 2 , AC ? BC , D 、E 、 且有 MN // BC . F 分别为 AC 、AB 、AP 的中点,M 、N 分别为线段 PC 、PB 上的动点, (Ⅰ)求证: MN ? 面 PAC ; (Ⅱ)探究: 是否存在这样的动点 M,使得二面角 E ? MN ? F 为直二面角?若存在, 求 CM 的长度;若不存在,说明理由. 18. 【解析】 (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABC , ∴ PA ? BC , 又 AC ? BC ,∴ BC ? 面 PAC ; 又∵ MN // BC , A (Ⅱ) 由条件可得, ?FMD即为二面角 E ? MN ? F 的平面角; 若二面角 E ? MN ? F 为直二面角,则 ? FMD ? 90? .
高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 8 页 共 6 页

P

M F D ?6 分 C E
(第 18 题)

N

∴ MN ? 面 PAC .

B

在直角三角形 PCA 中,设 CM ? t , (0 ? t ? 2) ,则 PM ? 2 ? t , 在 ? MDC 中,由余弦定理可得,

DM 2 ? CM 2 ? CD2 ? 2CM ? CD cos 60? ? t 2 ?

1 1 ? t; 4 2

3 3 ? (2 ? t ) ; 4 2 1 又由 FD 2 ? FM 2 ? MD 2 ,得 2t 2 ? 3t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? . 2
同理可得, FM 2 ? PM 2 ? PF 2 ? 2PM ? PF cos 30? ? (2 ? t )2 ? ∴存在直二面角 E ? MN ? F ,且 CM 的长度为 1 或

1 . 2

?15 分

19.(本题满分 15 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦点为 F, 抛物线上横坐标为 与其到准线的距离相等. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ) 设过点 P(6, 0) 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点, 若以 AB 为直径的圆过点 F , 求直线 l 的方程.

1 的点到抛物线顶点的距离 2

y
19.【解析】 (Ⅰ)抛物线的方程为: y 2 ? 4 x .?6 分 (Ⅱ)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴 可设直线 l : x ? my ? 6 ,
? y2 ? 4 x 则由 ? 可得, y 2 ? 4my ? 24 ? 0 , x ? my ? 6 ? ? y1 ? y2 ? 4m 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? , ? y1 y2 ? ?24
O F

A

P B

x

(第 19 题)

因为以 AB 为直径的圆过点 F ,所以 FA ? FB ,即 FA ? FB ? 0 可得: ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0
高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 9 页 共 6 页

∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? 5m( y1 ? y2 ) ? 25
? ?24(1 ? m 2 ) ? 20m 2 ? 25 ? 0 ,

解得: m ? ?

1 , 2 1 ∴直线 l : x ? ? y ? 6 ,即 l : 2 x ? y ? 12 ? 0 . 2

?15 分

20.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? | ax ? 1 | , a ? R . (Ⅰ)若 a ? ?2 ,且存在互不相同的实数 x1 , x 2 , x 3 , x 4 满足 f ( x i ) ? m ( i ? 1,2,3,4) , 求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 [1,2] 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

? 2 x ? 2 x ? 1,( x ? ? ? 20.【解析】 (Ⅰ)若 a ? ?2 ,则 f ( x ) ? x 2 ? | ?2 x ? 1 |? ? ? x 2 ? 2 x ? 1,( x ? ? ?
当x?

1 ) 2 1 ) 2

1 1 时, f ( x ) min ? f (?1) ? ?2 ;当 x ? 时, f ( x ) min ? f (1) ? 0 . 2 2 y 1 1 f ( ) ? ,此时, f ( x ) 的图像如图所示 2 4
1 4

要使得有四个不相等的实数根满足 f ( x ) ? m , 即函数 y ? m 与 y ? f ( x ) 的图像有四个不同的交点,

O

x

1 因此 m 的取值范围为 (0, ) . 4

?6 分

(Ⅱ) (1)若 a ? 0 ,则 f ( x) ? x 2 ? 1 ,在 [1,2] 上单调递增,满足条件;

1 ? 2 x ? ax ? 1, ( x ? ? ) ? 1 ? a (2)若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? ? ,只需考虑 x ? ? 的时候 a ? x 2 ? ax ? 1, ( x ? ? 1 ) ? a ?
高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 10 页 共 6 页

此时 f ( x ) 的对称轴为 x ?

a a ,因此,只需 ? 1 ,即: 0 ? a ? 2 2 2

1 ? 2 x ? ax ? 1, ( x ? ? ) ? ? a (3)若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? ? ? x 2 ? ax ? 1, ( x ? ? 1 ) ? a ?
结合函数图像,有以下情况:
1 ? ○

a 1 a ? ? ,即 ? 2 ? a ? 0 时,此时 f ( x ) 在 [ ,??) 内单调递增,因此在 [1,2] 2 2 a

内也单调递增,满足条件;
2 ? ○

a 1 ? ? ,即 a ? ? 2 时, 2 a a 1 a f ( x ) 在 [ ,? ] 和 [? ,??) 内均单调递增, 2 a 2 1 a 如图所示,只需 ? ? 2 或 ? ? 1 , a 2
解得: ? 2 ? a ? ? 2 ;
1 ○ 2 可得, a 的取值范围为: ? 2 ? a ? 0 由○

y

O

?

1 a ? a 2

x

由(1) 、 ( 2) 、 (3)得,实数 a 的取值范围为: ? 2 ? a ? 2

?15 分

命题人 沈勤龙、黄海平、吴旻玲、刘 舸

吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华 2015 年 3 月

高三教学测试(二) 文科数学 试题卷 第 11 页 共 6 页


浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文科数学试题卷

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文科数学试题卷_数学_高中教育_教育专区。2015...1 2 π 3 D. π 6 俯视图 (第 3 题) 高三教学测试(二) 文科数学 ...

浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(一)数学文试题 Word版含答案

浙江省嘉兴市2016届高三教学测试()数学文试题 ...答题卷的密封 线内填写学校、班级、学号、姓名; 2...(?2015 ,13) ,且 a n ? a n?1 ? (1,1)...

浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(理)试题

浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区...2015 年高三教学测试(二)理科数学注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题纸,考生...

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文科数学试题

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文科数学试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文科数学试题_...

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)数学文试题(扫描版)

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)数学文试题(扫描版)_数学_高中教育_教育专区...2015 年高三教学测试(二)文科数学 1.C; 5.B; 2.A; 6.B; 3.D; 7.A...

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文综试题

浙江省嘉兴市2015年高三教学测试(二)文综试题_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。2015 年高三教学测试(二)文科综合能力测试 12 页。满分 300 分,考试用时...

浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(二)文科数学试题及答案

浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(二)文科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2016 年高三教学测试(二)文科数学注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须...

浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(二)数学文试题

浙江省嘉兴市2016届高三教学测试(二)数学文试题_数学_高中教育_教育专区。浙江省嘉兴市 2016 年高三教学测试(二) 文科数学注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷...

浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(文)

浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(二)数学(文)_高三数学_数学_高中教育_...2015 年高三教学测试(二)文科数学注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题纸,考生...