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湖北省荆门市2014届高三数学元月调考试题 理

时间:2014-02-12


湖北省荆门市 2014 届高三数学元月调考试题 理(扫描版)新人教 A

1

2

3

荆门市 2013-2014 学年度高三元月调考 数学(理)参考答案及评分说明 命题:荆门外校 审题:市教研室 龙泉中学

4

一.选择题 1~10 二.填空题 11.2 12. [0,

DBDAC

DBCDC 13. (? ,1)

16 ] 5

1 2

14. (1 , ? ?)

15. (1) n2 ? 1 ;(2)8

三.解答题

π 16. (Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 2sin x cos( x ? ) 6 π ? cos x(cos x ? 3 sin x) ? 2sin x cos( x ? ) 6 π π ? 2cos x sin( x ? ) ? 2sin x cos( x ? ) 6 6 π ? 2sin(2 x ? ) …………………………………………………………………… 6 …4 分 π π π 7π π 1 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ , ], sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 2 6 6 6 6 2 ∴ 函 数 的 值 域 是 f ( x) ……………………………………………………………6 分 [?1, 2] π π 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 ,则 sin(2 A ? ) ? , 6 6 2 π π π 7π 由题意可知: 0 ? A ≤ ,则 , ? 2A ? ≤ 6 6 6 2 π 5π ∴ 2A ? ? 6 6 π ……………………………………………………………9 分 A? 3
由余弦定理,有 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2





∴ 4 ? b2 ? c 2 ? bc ? (b ? c)2 ? 3bc ≥ (b ? c) 2 ? 3( 故 , 所 以 b ? c ≤4 4. …………………………………………………12 分

b ? c 2 (b ? c)2 , ) ? 2 4 最 大 b?c





17. (1)易知半圆 CMD 的半径为 x,故半圆 CMD 的弧长为 πx , [来源:学科网 ZXXK] ∴ 2 x ? 2 y ? πx ? 4 ? y ? …4 分 依题意知:0 < x < y,∴ 0 ? x ? ∴ y? …6 分

4 ? (2 ? π) x 2
4 , 4?π

………………………………………………

4 ? (2 ? π) x 4 (0 ? x ? ) 2 4?π

………………………………………………

5

(2) 设凹槽的强度为 T, 则有 T ? 3(2 xy ? 分

πx 2 ) 2

………………………………………8

??
0分 因为 0 ?

3(4 ? 3π) 4 2 8 3 (x ? ) ? 2 4 ? 3π 4 ? 3π

…………………………………………1

4 4 4 ,∴当 x ? 时,凹槽的强度最大, ? 4 ? 3π 4 ? π 4 ? 3π


答 大.

4 时 , 凹 4 ? 3π ………………………………………………12 分
:

x?











18.方法 1: (I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD , ∴ 平 面 AB ? PAD, ………………………………………………………………2 分 ∵E、F 为 PA、PB 的中点, ∴EF//AB, ∴EF ? 平面 PAD; ……………………………………………………………4 分 (II)过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O, ∵ 平面PAD ? 平面ABCD ,则 PO ? 平面 ABCD. 连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, ……………………… 6 分 ∵PA=PD ? AD ? 4 ,∴ OP ? 2 3, OD ? OA ? 2 , 得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C (4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3 ) ,

E (0,?1, 3 ), F (2,?1, 3 ), G(4,0,0) ,故 EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3 ) , ??? ? ? ? ?n ? EF ? 0 ?2 x ? 0 ,即 ? 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 ? ???? , ?4 x ? y ? 3z ? 0 ?n ? EG ? 0, ? ? 取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) , ………………………………………………………… …7 分 平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1), 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是: n ? n1 1 | cos ? n, n1 ?? ? ,锐二面角的大小是 60? ; ………………………………… 8 | n || n1 | 2
分 (III)设 AM ? x , M ( x, ?2,0) ,则 MF ? (2 ? x,1, 3 ) , 设 MF 与平面 EFG 所成角为 ? , ???? ? ???? ? n ? MF ???? ? ? 则 sin ? ?| cos ? n, MF ?? | n || MF | ∵M 靠近 A, ∴ x ?1 x ?1或 x ? 3, 分

3 (2 ? x) ? 4
2

?

15 , 5

…………………………………………………10

15 . ………………………12 分 5 方法 2: (I)证明:过 P 作 P O ? AD 于 O,∵ 平面PAD ? 平面ABCD , 则 PO ? 平面 ABCD,连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系,…2 分
∴当 AM ? 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于
6

∵PA=PD ? AD ? 4 ,∴ OP ? 2 3, OD ? OA ? 2 , 得 A(0,?2,0), B(4,?2,0), C (4,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2 3 ) ,

z P

E (0,?1, 3 ), F (2,?1, 3 ), G(4,0,0) ,
故 EF ? (2,0,0), AD ? (0,4,0), PD ? (0,2,?2 3 ) , ∵ EF ? AD ? 0, EF ? PD ? 0 , ∴EF ? 平面 PAD;…………………………………4 分
E F A D y

(II) EF ? (2,0,0), EG ? (4,1,? 3 ) , 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ), B G C x ??? ? ? ? ?n ? EF ? 0 ?2 x ? 0 ,即 ? 则 ? ???? , 取z ? 1, 得n ? (0, 3,1) , ………………… 7 P ? ? ?4 x ? y ? 3z ? 0 ?n ? EG ? 0, 分 平面 ABCD 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1), …【以下同方法 1】 E 方法 3: (I)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD, AB ? AD , F ∴ AB ? 平面 PAD,……………………………………2 分 K D ∵E、F 为 PA、PB 的中点, A H ∴EF//AB,∴EF ? 平面 PAD;………………………4 分 M (II)∵ EF//HG,AB//HG,∴HG 是所二面角的棱, B G C ………………………………………………………………6 分 ∵HG // EF,∴ HG ? 平面 PAD, ∴DH ? HG,EH ? HG , ∴ ? EHA 是锐二面角的平面角,等于 60? ; …………………………………………8 分 (III)过 M 作 MK⊥平面 EFG 于 K,连结 KF, 则 ? KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成角, ……………………………………………10 分 因为 AB//EF,故 AB∥平面 EFG,故 AB 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的 距离,∵ HG ? 平面 PAD,∴平面 EFGH ? 平面 PBD 于 EH, ∴A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高,等于 3 ,即 MK ? 3 ,

15 3 , FM ? 5 ,在直角梯形 EFMA 中, AE ? EF ? 2 , ? 5 FM ∴ AM ? 1 或 AM ? 3 ∵M 靠近 A, ∴ AM ? 1 …………………………………………11 分 15 ∴当 AM ? 1 时, MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 . …………………12 分 5


1 ?1 3 ? 4 a 15 ? 10an 1 n 1 ? an ?1 ? b ?1 12 ? 4an 2 6an ? 3 5 2 ? ? ? ? . 19. (Ⅰ)? n ?1 1 1 3 ? 2an bn ? 1 3 ?1 1 ? an ? 1 2 2an ? 1 an ? 1 2 an ? 2 1 ?1

?数列 ?bn ? 1? 是等比数列,首项为 b1 ? 1 ?


1 a1 ? 1 2

- 1 ? 1 ,公比为 . …………………4

5 3

7

(Ⅱ)由 bn ?

1 1 an ? 2

,得 an bn ? 1 ?

5 5 1 bn . 由(Ⅰ)得 bn ? 1 ? ( ) n ?1 , ? bn ? 1 ? ( ) n ?1 ; 2 3 3

1 5 3 1 5 ? a n bn ? 1 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? ? ( ) n ?1 ; 2 3 2 2 3
1 5 n [( ) ? 1] 3 1 5 i ?1 3 3 3 5 3 Sn ? ? [ ? ( ) ] ? n ? 2 3 ? n ? ( )n ? 5 2 3 2 2 4 3 4 i ?1 2 ?1 3
n

……………………9

分 (Ⅲ)由 bn ?

1 1 an ? 2

,得 a n ?

1 1 1 1 1 1 ? ? bn ? ? bn ? ; ? ,? a n ? bn ? bn 2 bn 2 bn 2

由(Ⅱ)知 , bn ? 1 ? ( )

5 3

n ?1

,则数列 {bn } 是单调递增数列,所以 {

1 } 与 {?bn } 都 bn

是递减数列,因此 {a n ? bn } 是单调递减数列. 故当 n ? 1 时, a1 ? b1 ? ?1 最大. 即数列 {an ? bn } 中存在最大项且为该数列中的首项,其值为 ?1 . ………………12 分

0) .设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 ? 20(Ⅰ)由 C2 : y ? 4 x 知 F2 (1,
所以 x1 ? 1 ? 分

2

5 3



5 3

,得 x1 ?

2 3

, y1 ?

2 6 3



………………………………………………2

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
消去 b 2 并整理得 故 椭

9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0 , 解得 a ? 2 ( a ?


1 3

不合题意,舍去) . 方 程 为

C1



x2 4

?

y2 3

? 1 .……………………………………………………………… 5 分

2 2 6 (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)可知 M ( , ) , F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 3 3 ???? ? ? 5 2 6 ????? 1 2 6 ???? 2 2 6 设 N ( x0 , y 0 ) ,则 MF1 ? (? , ? ), MF2 ? ( , ? ), MN ? ( x0 ? , y0 ? ) 3 3 3 3 3 3
8

2 2 6 求得 x0 ? ? , y0 ? ? 3 3
设直线 l 为 y ? 6 x ? t ,代入

,则 kMN ? 6

x2 4

?

y2 3

? 1 得: 27 x 2 ? 8 6tx ? 4t 2 ? 12 ? 0

? x1 ? x2 ? ?

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 由 x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ( 6 x1 ? t )( 6 x2 ? t )

???

8 6t 4t 2 ? 12 , x1 x2 ? 27 27

………………………………………………………8 分

??? ?

? 7 x1 x 2 ? 6t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
求得 t ? ?2 3 ,符合 ? ? 0 .

28t 2 ? 84 48t 2 2 ? ?t ?0 27 27

故所求直线 l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 . ……………………… 13 分 方法二:由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同, 故 l 的斜率 k ? 6 .设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) .
2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12, 由? 消去 y 并化简得 ? ? y ? 6( x ? m)

???? ???? ?

????

9 x2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 .
16m 9

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ? 分

, x1 x2 ?

8m 2 ? 4 9



…………………8

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

???

??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2
? 7? 8m 2 ? 4 9 ? 6m ? 16m 9
2

? 6m 2 ?
2

1 9

(14m2 ? 28) ? 0 .

所以 m ? ? 2 .此时 ? ? (16m) ? 4 ? 9(8m ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6 x ? 2 3 ,或 y ? 6 x ? 2 3 . 分 21. (Ⅰ)当 a ? 0, b ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 3x 2 , f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0, 2 ,
9

………………… 13

根据导数的符号可以得出函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值,在 x ? 2 处取得极小值. 函数 f ( x) 在 (t, t ? 3) 上既能取到极大值,又能取到极小值,则只要 t ? 0 且 t ? 3 ? 2 即可,即只要 ?1 ? t ? 0 即可.所以 t 的取值范围是 (?1, 0) . ………4 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时,

f ( x) 1 ? ln x ? 1≥ 0 对任意的 x ? [ , ??) 恒成立, x 2 1 即 x2 ? bx ? ln x ? 1≥ 0 对任意的 x ? [ , ??) 恒成立, 2 ln x 1 1 也即 b ≤ x ? ? 在对任意的 x ? [ , ??) 恒成立. x x 2 ln x 1 1 ? ln x 1 x 2 ? ln x 令 g ( x) ? x ? . ………………… 6 ? 2? ? ,则 g ?( x) ? 1 ? x2 x x2 x x
记 m( x) ? x 2 ? ln x ,则 m?( x) ? 2 x ?



1 2 x2 ? 1 , ? x x

2 , 2 2 1 2 故也是最小值点,所以 m( x) ≥ m( ) ? ? ln ?0, 2 2 2 1 从而 g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [ , ??) 单调递增. 2 1 5 5 函数 g ( x)min ? g ( ) ? ? 2ln 2 .故只要 b ≤ ? 2ln 2 即可. 2 2 2 所 以 的 取 值 范 围 b 5 ……………………………………………………9 分 (??, ? 2ln 2] 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ( Ⅲ ) 假设 OA ? OB ,即 OA? OB ? 0 ,即 (s, f (s))? (t , f (t )) ? st ? f (s) f (t ) ? 0 ,
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点 x ?
2 2 故 (s ? a)(s ? b)(t ? a)(t ? b) ? ?1 ,即 ? ? st ? ( s ? t )a ? a ? ?? ? st ? ( s ? t )b ? b ? ? ? ?1 .



由于 s, t 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根, 故s?t ?
2 ab (a ? b), st ? , 0 ? a ? b .代入上式得 ab(a ? b)2 ? 9 .………………12 分 3 3

(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ?

9 ? 4ab ≥ 2 36 ? 12 , ab

即 a ? b ≥ 2 3 ,与 a ? b ? 2 3 矛盾, 所 以 直 线 与 直 线 OA OB 直. ……………………………………………………14 分 不 可 能 垂

10


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