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5.2等差数列及其前n项和


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2013 高考数学一轮强化训练 5.2 等差数列及其前 n 项和 文 新人教 A 版
1.等差数列{ an }的前 n 项为为 S n ? 且 S3 ? 6? a1 ? 4? 则公差 d 等于( A.1 答案:C 解析:∵ S3 ? 6 ? 3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d ? a1 ? 4? B. 5 C.2

D.3 )

3

2

∴d=2.故选 C. 2.已知{ an }为等差数列,且 a7 ? 2a4 ? ?1? a3 ? 0? 则公差 d 等于( A.-2 答案:B 解析: a7 ? 2a4 ? a3 ? 4d ? 2(a3 ? d ) ? 2d ? ?1? 解得 d ? ? 1 . A.14 C.28 答案:C 解析: a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12? a4 ? 4? ∴ a1 ? a2 ? … ? a7 ? B.21 D.35 B. ? 1

)

2

C. 1

2

D.2

2 3.如果等差数列{ an }中 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12? 那么 a1 ? ? a2 ? …+? a7 等于(

)

7(a ? a ) 1 7 ? 7a ? 28 . 4 2 4.设等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若 S9 ? 72? 则 a2 ? a4 ? a9 ?
答案:24 解析:∵{ an }是等差数列,由 S9 ? 72? 得 S9 ? 9a5 ? a5 ? 8, ∴ a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? ? a4 ? 3a5 ? 24 . 5.在等差数列{ an }中 ? a3 ? 7? a5 ? a2 ? 6? 则 a6 ? 答案:13 解析:设等差数列{ an }的公差为 d,则由已知得 ? .

.

a1 ? 2d ? 7? ?a1 ? 3? 解得 ? 所以 ? d ? 2? ?a1 ? 4d ? a1 ? d ? 6? ?

a6 ? a1 ? 5d=?13.
6.已知曲线 C:xy-4x+4=0,数列{ an }的首项 a1 ? 4? ?且当? n ? 2 时,点 (an ?1 ? an ) 恒在曲线

1 ? 试判断数列{ b }是否是等差数列?并说明理由. n 2?a n 解:∵当 n ? 2 时,点 (an ?1 ? an ) 恒在曲线 C 上, ∴ an ?1an ? 4an ?1 ? 4 ? 0 . 由 bn ? 1 得: 2?a n a ?a n n ?1 1 当 n ? 2 时?b ? b ? 1 ? ? n n ?1 2 ? a 2?a 4 ? 2a ? 2a ? a a n n ?1 n ?1 n n n ?1 a ?a a ?a n n ?1 n n ?1 ? ? 1 . ? ? 4 ? 2a ? 2a ? 4a ? 4 ?2a ? 2a 2 n ?1 n n ?1 n n ?1
C 上,且 bn ?

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∴数列{ bn }是公差为 ? 1 的等差数列.

2

题组一 等差数列的基本运算 1.在等差数列{ an }中,已知 a1 ? 1? a2 ? a4 ? 10? an ? 39? 则 n 等于( A.19 B.20 C.21 D.22 答案:B 解析:∵ a2 ? a4 ? a1 ? d ? a1 ? 3d ? 10? ∴d=2. 由 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 39,解得 n=20.

)

2.等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 ? 1? a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项和是 ( ) A.90 B.100 C.145 D.190 答案:B 解析:设公差为 d,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) . 因为 d ? 0? 解得 d=2,∴ S10 ? 100 . 3.等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 且 6 S5 ? 5S3 ? 5? 则 a4 ? 答案: 1 .

解析:∵ S5 ? 5a1 ? 10d ? S3 ? 3a1 ? 3d ? ∴ 6 S5 ? 5S3 ? 30a1 ? 60d ? (15a1 ? 15d ) ? ? 15a1 ? ? 45d ? 15(a1 ? 3d ) ? 15a4 ? 5? ∴ a4 ? 1 . 4.已知数列{ an }是等差数列 ? a3 ? 1? a4 ? a10 ? 18? 则首项 a1 ? 答案:-3 解析:∵ a4 ? a10 ? (a3 ? d ) ? (a3 ? 7 d ) ? 2 ? 8d ? 18, ∴d=2. ∴ a1 ? a3 ? 2d ? ?3 . 另解,∵ 2a7 ? a4 ? a10 ? 18? ∴ a7 ? 9 . ∴公差 d ? 7

3

3

.

a ?a 3 ? 9 ? 1 ? 2? a ? a ? 2d ? ?3 . 1 3 7?3 4
)

题组二 等差数列性质的应用 5.等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若 a2 ? a8 ? 12? 则 S9 等于( A.54 答案:A 解析: S9 ? B.45 C.36 D.27

9(a ? a ) 9(a ? a ) 1 9 ? 2 8 ? 54 . 2 2 6.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若 a4 ? 18 ? a5 ? 则 S8 等于(
A.68 B.72 C.54 D.90 答案:B 解析:∵ a4 ? 18 ? a5 ? ∴ a4 ? a5 ? 18 .

)

8(a ? a ) 8(a ? a ) 1 8 ? 4 5 ? 72 . 2 2 7.已知{ an }是等差数列 ? a6 ? a7 ? 20? a7 ? a8 ? 28? 则该数列前 13 项和 S13 等于(
∴ S8 ?
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)

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A.156 B.132 C.110 D.100 答案:A 解析:由 a6 ? a7 ? 20? a7 ? a8 ? 28 知 4a7 ? 48? ∴ a7 ? 12? 故 S13 ? 13a7 ? 156? 选 A. 8.已知{ an }是等差数列 ? a4 ? 15? S5 ? 55? 则过点 P (3? a3 )? Q(4? a4 ) 的直线的斜率为( A.4 C.-4 答案:A 解析:∵{ an }是等差数列 ? a4 ? 15? S5 ? 55? ∴ a1 ? a5 ? 22? 2a3 ? 22? a3 ? 11 . B. 1 )

4

D.-14

a ?a 3 ? 4? 选 A. 4?3 9.若等差数列{ an }的前 5 项和 S5 ? 25? 且 a2 ? 3? 则 a7 等于(
∴ k PQ ? 4 A.12 C.14 答案:B 解析: S5 ? 5a3 ? ∴ a3 ? 5? ∴d=2. ∴ a7 ? 7 ? 3 ? 2 ? 13? 故选 B. B.13 D.15

)

10.设等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 若 S9 ? 81? 则? a2 ? ? a5 ? a8 ? 答案:27

.

9(a ? a ) 9(a ? a ) 1 9 ? 2 8 ? 81? 2 2 ∴ a2 ? a8 ? 2a5 ? 18 . 即 a2 ? a5 ? a8 ? 3a5 ? 27 .
解析:∵ S9 ? 题组三 证明数列是等差数列 11.已知数列{ an }和{ bn }满足 a1 ? 2? an ? 1 ? an (an ?1 ? 1)? bn ? an ? 1 .求数列{ bn }的通项公 式. 解:由 bn ? an ? 1 得 an ? bn ? 1 代入 an ? 1 ? an (an ?1 ? 1) 得 bn ? (bn ? 1)bn ?1 ? 整理得 bn ? bn ?1 ? bnbn ?1 ? ∵ bn ? 0( 否则 an ? 1? 与 a1 ? 2 矛盾),

1 ? 1 ? 1? b b n ?1 n ∵ b1 ? a1 ? 1 ? 1?
从而得 ∴数列{ b1n }是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ∴ 1 ? n? 即 bn ? 1 . 12.已知{ an }是以 a 为首项,q 为公比的等比数列 ? S n 为它的前 n 项和. (1)当 S1 ? S3 ? S 4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 S m ? S n ? Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k ? am ? k ? an ? k ? al ? k 也成等差数列. 解:(1)由已知 ? an ? aq n ?1 ? 因此 S1 ? a? S3 ? a (1 ? ? q ? q 2 ? )? S 4 ? a (1 ? q ? q 2 ? q 3 ) . 当 S1 ? S3 ? S 4 成等差数列时 ? S1 ? S 4 ? 2 S3 ? 可得 aq 3 ? aq ? aq 2 .

b n

n

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1? 5 . 2 (2)证明:若 q=1,则{ an }的每项 an ? a? 此时 am ? k 、 an ? k 、 al ? k 显然成等差数列. 若 q ? 1? 由 S m ? S n ? Sl 成等差数列可得 S m ? Sl ? 2 S n ? a (q m ? 1) a (ql ? 1) 2a (q n ? 1) 即 . ? ? q ?1 q ?1 q ?1
化简得 q 2 ? q ? 1 ? 0 .解得 q ? 整理得 q m ? q l ? 2q n . 因此 ? am ? k ? al ? k ? aq k ?1 (q m ? q l ) ? 2aq n ? k ?1 ? 2an ? k . 所以 ? am ? k 、 an ? k 、 al ? k 也成等差数列.?

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