nbhkdz.com冰点文库

3.3.1,3.3.2两条直线交点坐标、两点间距离公式习题课


◆数学?必修2?(配人教A版)◆

直线与方程

3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标两点间的距离

金品质?高追求

我们让你更放心 !

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

金品质?高追求

我们让

你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不 同位置的对应关系,并且会通过直线方程的系数判定解 的情况.掌握判断两条直线位置关系的方法. 2.当两条直线相交时,会求交点坐标. 3.掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程,能 灵活运用此公式解决一些简单问题. 4.体会坐标法对于解平面几何问题的重要性.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
基础梳理 1.求两直线的交点坐标的方法:解方程组,以方程组 坐标 的点就是交点. 的解为______ 2.两点间的距离公式:设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面
?x2-x1?2+?y2-y1?2 直角坐标系中的两个点,则|AB|=________________.

练习1.直线l1:x=-1,l2:x=2的位置关系为: 平行 ______.
练习2.(1)两点A(0,-4)与B(0,-1)间的距离为: 3 ______.

5 . (2)已知两点A(2,5),B(3,7),则|AB|的值为______
2 2 x + y (3)P(x,y)到原点O(0,0)的距离d=__________.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
思考应用 如何利用方程判断两直线的位置关系? 解析:只要将两条直线l1和l2的方程联立,得方程组 (1)若方程组无解,则l1∥l2; (2)若方程组有且只有一个解,则l1与l2相交;

(3)若方程组有无数解,则l1与l2重合.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆ 自测自评 1.直线3x+5y+1=0与直线4x+3y+5=0的交点是 ( A ) A.(-2,1)
C.(2,-1)

B.(-3,2)
D.(3,-2)

2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky= 0相交于一点,则k的值为( ) A.-2 B.- 1
2

C.2

D. 1
2

解析:易求直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点 为(-1,-2),代入x+ky=0得k=- 1 .
2

答案:B 金品质?高追求 我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
3.当a取不同实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0 恒过一个定点,这个定点是( ) A.(2,3)
1 C. ?1,-2? ? ?

B.(-2,3) D.(-2,0)

解析: 将直线化为 a(x + 2) + ( - x - y + 1) = 0 ,故直 线过定点(-2,3). 答案:B 4.已知点A(a,0),B(b,0),则A,B两点间的距离为 ( D ) A.a-b C.
a2+b2

B.b-a D.|a-b| 我们让你更放心!

金品质?高追求

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
5.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是( A.直角三角形 C.等边三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

解析:|AB|=|AC|= 17 ,|BC|= 18 ,故△ABC为等腰 三角形.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
求两直线的交点 直线5x+4y-2m-1=0与直线2x+3y-m=0的 交点在第四象限,求m的取值范围.
? ?5x+4y-2m-1=0, 解析:由方程组? 得 ?2x+3y-m=0, ?

? ? ? m-2 ? ?y= 7 .

2m+3 x= , 7

2m+3 m-2? ? ∴两直线的交点坐标为 . , 7 ? ? 7 ∵此交点在第四象限,

? ? ∴? m-2 ? ? 7 <0

2m+3 >0, 7

3 ?- <m<2. 2

3 ? ? - 故所求 m 的取值范围是 2,2 . ? ? 金品质?高追求 我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

点评:求两条直线的交点坐标就是解联立两直线方程所

得方程组的解,方程组解的个数也可判定两条直线的位置关
系:当方程组仅有一组解时,两直线只有一个交点,故相交; 当方程组有无数组解时,两直线有无数个公共点,故重合; 当方程组无解时,两直线没有公共点,故平行.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
跟踪训练 1.求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且

与直线3x+y-1=0平行的直线方程l.
? ?2x-3y-3=0, 解析:法一:由方程组? 得 ?x+y+2=0, ?

? ? 7 ?y=-5.

3 x=- , 5

∵直线 l 和直线 3x+y-1=0 平行, ∴直线 l 的斜率 k=-3. 3?? 7 ? ? ∴根据点斜式有 y-(- )=-3 x- -5 , 5 ? ? ?? 即所求直线方程为 15x+5y+16=0.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
法二:∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的 交点,

∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0,
即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.

∵直线l与直线3x+y-1=0平行,

λ+2 λ-3 2λ-3 11 ∴ = ≠ ,解得 λ= . 3 1 2 -1
从而所求直线方程为15x+15y+16=0.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
直线过定点问题 求证:无论m取何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y =m-5都恒过一个定点. 证明:法一:取m=1,直线为y=-4; 再取m= 1 ,直线为x=9.
2

两直线的交点为P(9,-4). 将点P的坐标代入原方程左端得(m-1)x+(2m-1)y=(m -1)×9-(2m-1)×4=m-5.

故不论m为何实数,点P(9,-4)总在直线(m-1)x+(2m -1)y=m-5上,即此直线过定点(9,-4).
金品质?高追求 我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
法二:把原方程整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
? ?x+2y-1=0, 此方程对任意实数m都成立,则必有 ? ?x+y-5=0. ?
?x=9, 解得 ? ? ? ?y=-4.

∴无论m取何实数时,此直线恒过定点(9,-4). 点评:法二的解法即方程ax+b=0对x∈R恒成立时成立 的条件:a=b=0.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
跟踪训练 2.不论m怎样变化,直线(m-2)x-(2m+1)y-(3m+4)

=0恒过定点________.
解析:原方程可化为(x-2y-3)m-(2x+y+4)=0,
? ? ?x-2y-3=0 ?x=-1 则? 得? , ? ? ?2x+y+4=0 ?y=-2

∴直线恒过定点(-1,-2).
答案:(-1,-2) 金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
两点间的距离公式及解法 已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0) 求证:△ABC为等腰三角形.

证明:∵|AB|= ?4-2?2+?3-1?2=2 2 |AC|= ?0-2?2+?5-1?2=2 5 |BC|= ?5-3?2+?0-4?2=2 5 ∴|AC|=|BC| 又∵A、B、C 三点不共线 ∴△ABC 为等腰三解形.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
跟踪训练

1 3 3.已知点A(3,-1),B ? , ? ,C(3,4),试判断 ?2 2? △ABC的形状.
12 32 解析:|AB|= ?3- ? +?-1- ? = 2 2 5 2 |AC|=5,|BC|= 2 50 5 2 = 4 2

∴|AB|=|BC|,且|AB|2+|BC|2=|AC|2,故△ABC为等腰 直角三角形.

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
对称问题 一束平行光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:

8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线的方程.
解析:设原点关于l的对称点A的坐标为(a,b),由直

? ? ?

线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 b 4 · ?- ?=-1 ? a 3 ?a=4 ,解得? , a b ? ?b=3 8× +6× =25 2 2 ∴A的坐标为(4,3). ∵反射光线的反向延长线过A(4,3),

又由反射光线过P(-4,3), 金品质?高追求 我们让你更放心!

返回

∵反射光线的反向延长线过 A(4,3), ◆数学?必修2?(配人教A版)◆ 又由反射光线过 P(-4,3), 两点纵坐标相等, 故反射光线所在直线方程为 y=3. 7 ? ? ?x=8 ?y=3 由方程组? ,解得? , ? ?8x+6y=25 ? ?y=3 由于反射光线为射线, 7 故反射光线的方程为 y=3(x≤ ). 8
点评:光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点, 使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称 的问题.

(1)点A(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点M(x, y)可由方程组
金品质?高追求 我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

? ? ? x+ x y + y A · + B · + C = 0 ? ? 2 2
0 0

y- y0 A · ?- ?=-1?AB≠0? B x- x0

求得.

(2)常用对称的特例有: ①A(a,b)关于x轴的对称点为A′(a,-b); ②B(a,b)关于y轴的对称点为B′(-a,b); ③C(a,b)关于直线y=x的对称点为C′(b,a);

④D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D′(-b,-a);
⑤P(a,b)关于直线x=m的对称点为P′(2m-a,b). 金品质?高追求 我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆ 跟踪训练 4.一条光线从点A(3,2)出发,经x轴反射,通过点
B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.

解析:∵点 A(3,2)关于 x 轴的对称点 A′(3,-2), y-6 x+1 ∴由两点式可得直线 A′B 的方程为 = , -2-6 3+1 即 2x+y-4=0. 同理,点 B 关于 x 的轴对称点 B′(-1,-6). y-2 x-3 由两点式可得直线 AB′的方程为 = , -6-2 -1-3 即 2x-y-4=0. ∴入射光线所在直线方程为 2x-y-4=0; 反射光线所在直线方程为 2x+y-4=0. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标 为( C ) A.(4,1) 4 1? ? C. 3,3 ? ? B.(1,4)

1 4? ? D. , ?3 3?

2.已知A(-1,0),B(1,0),C(0,-),则△ABC的形 状为( ) A.等腰三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

解析:画图用两点距离公式可求出 |AB|=|AC|=|BC|=2.

答案:D 金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆

金品质?高追求

我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆
1.关于两条直线相交的判定: (1)两直线组成的方程组有惟一解,则两直线相交.

(2)在两直线斜率都存在的情况下,若斜率不相等,则两 直线相交.注意两直线的斜率一个存在,另一个不存在时, 两直线也相交. 2.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式适用于坐 标系中的任意两点.
3.对于特殊情况,可结合图形求解.

(1)P1P2平行于x轴时,y1=y2,|P1P2|=|x2-x1|;
(2)P1P2平行于y轴时,x1=x2,|P1P2|=|y2-y1|; (3)P1,P2在直线y=kx+b上时,

|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?x2-x1?2+?kx2-kx1?2= 1+k2· |x2-x1|. 金品质?高追求 我们让你更放心!

返回

◆数学?必修2?(配人教A版)◆





金品质?高追求

我们让你更放心!

返回