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江苏省2009年高中数学联赛复赛题与答

时间:2010-11-12


2009 年江苏省复赛试卷

冯惠愚 2009.08.24.

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷
(2009 年 7 月 23 日上午 8∶00——12∶00) 一.填空题(共 8 小题,满分 56 分,每小题 7 分) 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+3n+4(n∈N*),则 a1+a3+a5+?+a21= 2.若集合 A={x| x-3=ax+1,x∈R}为空集,则实数 a 的取值范围为 3.设 x,y 为实数,2x+y≥1,则二元函数 u=x2+4x+y2-2y 的最小值为 . .



x2 y2 4.设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A, a b B 两点,且∠AF1B=120° ,双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k+1 之间,则 k= . 5.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 216,则四面体 A1BC1D 与 AB1CD1 的重叠部分的体积等 于 . 6.设[x]表示不大于 x 的最大整数,则[log31]+[log32]+[log33]+?+[log3258]= . 2n+1 2n 2n-1 7.设方程 x -a2nx -a2n-1x -?-a1x-a0=0 的根都是正数,且其中 a1=-(2n+1),则 a0 的最 大值是 . 8.2009×1911 的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格. 二.解答题(本题满分 14 分) 求函数 f(x)=sin4xtanx+cos4xcotx 的值域.

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2009 年江苏省复赛试卷

冯惠愚 2009.08.24.

三.解答题(本题满分 15 分) 如图,抛物线 y2=2x 及点 P(1,1),过点 P 的不重合的直线 l1,l2 与此抛物线分别交于点 A,B,C,D, 证明:A,B,C,D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
y

A

C

O F
D B

x

四.解答题(本题满分 15 分) a5-1 b5-1 25 设 a,b 是正数,且 a≠1,b≠1,求证: 4 · > (a+1)(b+1). a -1 b4-1 64

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2009 年江苏省复赛试卷

冯惠愚 2009.08.24.

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试卷
一.(本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,DE∥BC,△ADE 的内切圆与 DE 切于点 M,△ABC 的 BC 边上的旁切圆切 BC 于点 N,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证:M,N,P 三点共线.
D B N P C A

M

E

二.(本题满分 50 分) 设 k,n 为给定的整数,n>k≥2.对任意 n 元的数集 P,作 P 的所有 k 元子集的元素和,记这些和组成 的集合为 Q,集合 Q 中元素个数是 CQ.求 CQ 的最大值.

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冯惠愚 2009.08.24.

三.(本题满分 50 分) 设 M=2 +2 +?+2 ,n1,n2,?,nS 是互不相同的正整数,求证:
n1 n2 ns n1 n2 ns 2 2 2 +2 +?+2 2 <(1+

2) M.

四.(本题满分 50 分) 求满足下列条件的所有正整数 x,y: ⑴ x 与 y-1 互素; ⑵x2-x+1=y3.

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2009 年江苏省复赛试卷

冯惠愚 2009.08.24.

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷解答
一.填空题(共 8 小题,满分 56 分,每小题 7 分) 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+3n+4(n∈N*),则 a1+a3+a5+?+a21= . 答:268. 解:令 b1=a1=8, bk=a2k-1=S2k-1-S2k-2=(2k-1)2+3(2k-1)+4-(2k-2)2-3(2k-2)-4=4k(k≥2). ∴ a1+a3+a5+?+a21=b1+b2+?+b11=8+8+12+?+44=268. 2.若集合 A={x| x-3=ax+1,x∈R}为空集,则实数 a 的取值范围为 1 1 答:(-∞,- )∪( ,+∞). 3 6 .

解:取 y= x-3为抛物线 y2=x-3 的上半支.y=ax+1 为经过(0,1)的直线.二者无公共点.易得经 1 y 过(0,1)与(3,0)的直线的斜率=- ,经过(0,1)与 y2=x-3(x≥0)相切的直线的 3 1 1 1 斜率= .从而可得 a∈(-∞,- )∪( ,+∞). 6 3 6 为 3.设 x,y 为实数,2x+y≥1,则二元函数 u=x2+4x+y2-2y 的最小值 . 9 答:- . 5 解:u=(x+2)2+(y-1)2-5,对于每个 u≥-5,圆(x+2)2+(y-1)2=5+u 可视为 u 的“等高线” . 2x+y≥1 表示直线上半部分平面(含直线上的点). 即求当圆与该上半平面有公共点时 u 的最小值. |2×(-2)+1×1+1| 9 当 5+u≥ 时,二者有公共点此时 u≥- . 2 2 5 2 +1 x2 y2 4.设 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A, a b B 两点,且∠AF1B=120° ,双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k+1 之间,则 k= 答:2. .
O
1 3

x

1 解:2a=r1-r2=2c(sin60° -sin30° )?e= = 3+1,而 2< 3+1<3.故 k=2. sin60° -sin30° 于 5.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 216,则四面体 A1BC1D 与 AB1CD1 的重叠部分的体积等 . D 答:36. 解:重叠部分是一个八面体,连长方体的各面的中心得到.可看成两个四棱锥体
1

C1

A1

1 1 积和,故 V= · ·216=36. 3 2

B1 D C

A 6 .设 [x] 表示不大于 x 的最大整数,则 [log31] + [log32] + [log33] +?+ [log3258] B = . 答:932. 解:2×0+(9-3)×1+(27-9)×2+(81-27)×3+(243-81)×4+(258-242)×5=6+36+162+648+ 80=932. + - 7.设方程 x2n 1-a2nx2n-a2n-1x2n 1-?-a1x-a0=0 的根都是正数,且其中 a1=-(2n+1),则 a0 的最 大值是 . 答:1.

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冯惠愚 2009.08.24.

1 1 1 解:设根为 x1,x2,?,x2n+1,则 x1x2?x2n+1( + +?+ )=2n+1. x1 x2 x2n+1 2n+1 2n+1 1 1 1 而 + +?+ ≥ ?x1x2?x2n+1≤ x1x2?x2n+1?x1x2?x2n+1≤1. x1 x2 x2n+1 2n+1 x1x2?x2n+1 ∴ -a0=(-1)2n 1x1x2?x2n+1?a0=x1x2?x2n+1≤1.且当此 2n+1 个根都等于 1 时,等号成立. 8.2009×1911 的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格. 答:3871 解:2009=41×49;1911=39×49.在 39×41 的方格中,对角线共穿过 39+41-1=79 个格子.于是 2009×1911 棋盘的对角线共穿过 79×49=3871 个棋盘格. 二.解答题(本题满分 14 分) 求函数 f(x)=sin4xtanx+cos4xcotx 的值域.


kπ 解:f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠ (k∈Z)}. 2
6 6 2 2 2 2 2 2 2 sin5x cos5x sin x+cos x (sin x+cos x)((sin x+cos x) -3sin xcos x) f(x)= + = = cosx sinx sinxcosx sinxcosx

1 = -3sinxcosx. sinxcosx 1 1 1 令 t=sinxcosx= sin2x∈(- ,0)∪(0, ). 2 2 2 1 1 1 1 1 1 则问题转化为求 g(t)= -3t(t∈(- ,0)∪(0, ))的值域.由于函数 y= 及 y=-3x 在(- ,0)及(0, ) t 2 2 x 2 2 1 1 1 1 1 1 内都是单调减的.g(- )=- ,g( )= .故有 g(t)≤- 或 g(t)≥ . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 又对于(-∞,- )∪( ,+∞)内的任一 y 值,令 -3t=y?3t2+yt-1=0,由于△=y2+12>0,故此 2 2 t -y± y2+12 方程必有两个实根, t= . 6 -y- y2+12 1 1 当 y∈(-∞,- )时,取 t= ,则显然有 t<0,t>- ?y+ y2+12<3?y2+12<9-6y 2 6 2 1 1 +y2?y<- .即必存在 t∈(- ,0),使 g(t)=y. 2 2 -y+ y2+12 1 1 1 当 y∈( ,+∞)时,取 t= ,显然有 t>0,而 t< ? y2+12<3+y?y> .即必存在 t 2 6 2 2 1 ∈( ,0)使 g(t)=y. 2 1 1 从而知 g(t)的值域为(-∞,- )∪( ,+∞). 2 2 1 1 1 1 又,对于每个 t∈(- ,0)∪(0, ), sin2x=t 均有解,即存在 x∈R,使 sin2x=t 成立. 2 2 2 2 1 1 ∴ 所求值域为(-∞,- )∪( ,+∞). 2 2 三.解答题(本题满分 15 分) 如图,抛物线 y2=2x 及点 P(1,1),过点 P 的不重合的直线 l1,l2 与此抛物线分别交于点 A,B,C,D, 证明:A,B,C,D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互补.
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冯惠愚 2009.08.24.

证明:设直线 l1、l2 的倾斜角互补,故设 l1、l2 方程分别为 kx-y+1-k=0 与 kx+y-1-k=0. 于是曲线 y2-2x+?(kx-y+1-k)(kx+y-1-k)=0 必过点 A、B、C、D. 即?k2x2+(1-?)y2+?=0.(省略号表示的为一次项与常数项) 1 令?k2=1-?.即?= 2 ,此时曲线表示一圆;故四点共圆. k +1 反之,设 l1 的方程为 y=k(x-1)+1,l2 的方程为 y=k?(x-1)+1. ∴ 曲线 y2-2x+?(y-kx+k-1)(y-k?x+k?-1)=0 即(1+?)y2+?kk?x2-?(k +k?)xy+?=0(省略号表示的为一次项与常数项)经过抛物线与直线的四个交点.
??(k+k?)=0, ① 该曲线是圆的条件为? 1 + ? = ? kk ? ≠ 0 . ② ?

y

A

C

O F
D B

x

于是,k=-k?.即此二直线的倾斜角互补.证毕. 又证:设 AB、CD 的倾斜角分别为?与?-?, 则 AB 方程可写为
?x=1+tcosθ, ? (?为参数) ?y=1+tsinθ.

代入抛物线方程得: t2sin2?+2(sin? -cos?)t-1=0. 由韦达定理知 |PA|·|PB|=|t1t2|= |-1| 1 = . sin2θ sin2θ

以?-?代替?,即可得 |PC|·|PD|=

1 , sin2θ

即|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,故 A、B、C、D 共圆. 反之,设 A、B、C、D 共圆,AB、CD 的倾斜角分别为 α 与 β, 于是,|PA|·|PB|= 1 1 ,|PC|·|PD|= 2 . sin2α sin β

由 A、B、C、D 共圆得 sin2α=sin2β. 即 sin2α=sin2β,但 0≤α,β<π.故 α=β 或 α+β=π. 若 α=β,则 l1 与 l2 重合,与题意不合,舍去.若 α+β=π,则 l1 与 l2 的倾斜角互补. 证毕. 四.解答题(本题满分 15 分) a5-1 b5-1 25 设 a,b 是正数,且 a≠1,b≠1,求证: 4 · > (a+1)(b+1). a -1 b4-1 64 a5-1 5 证明:先证当 a>0 时, 4 > (a+1). a -1 8 ?8(a4+a3+a2+a+1)>5(a+1)(a3+a2+a+1). ?8(a4+a3+a2+a+1)-5(a4+a3+a2+a)-5(a3+a2+a+1) =3a4-2a3-2a2-2a+3=(a-1)2(3a2+4a+3)>0. 最后一式由 a≠1 及△=42-4×3×3<0 知恒成立.故 b5-1 5 同理, 4 > (b+1). b -1 8 5 5 又,因 a,b 为正数,故 (a+1)>0, (b+1)>0. 8 8 ∴ a5-1 b5-1 25 · > (a+1)(b+1). a4-1 b4-1 64
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a5-1 5 > (a+1)成立. a4-1 8

2009 年江苏省复赛试卷

冯惠愚 2009.08.24.

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试卷
一.(本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,DE∥BC,△ADE 的内切圆与 DE 切于点 M,△ABC 的 BC 边上的旁切圆切 BC 于 点 N,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证:M,N,P 三点共线. 证明 1:连 MP,PN.设△ABC 的 BC=a,BC=b,AB=c,△ADE 的 DE=a?,AE=b?,AD=c?. a b c 由 DE∥BC,知 = = (=k). a? b? c? a+b-c a?+b?-c? BN a+b-c BN=p-c= ,EM= .故 = =k. 2 2 EM a?+b?-c? ∵ DE∥BC,∴ ∴ BP BC = =k, EP ED
B G D P N C A

O1 M

E

BP BN = .又∠PBN=∠PEM, EP EM

∴ △PBN∽△PEM. ∴ ∠BPN=∠EPM.即 N,P,M 三点共线. 证明 2:设△ADE 的内切圆圆心为 O1,△ABC 的 BC 边上的旁切圆圆心 为 O2,连 O1M,O1D,O2N,O2B.G 为⊙O2 与 AB 延长线的切点. 由 DE∥BC,故∠ADE+∠NBG=180° ,但 DO1,BO2 分别为相应角的平分线. ∴ ∠MDO1+∠NBO2=90° ,又 O1M⊥DM,O2N⊥BN. ∴ △O1DM∽△BO2N. ∴ BN O2N = ?BN·DM=O1M·O2N,同理,CN·EM=O1M·O2N, O1M DM BN EM BN EM BN = ? = ? =k.以下同证法 1. CN DM BC DE EM

O2

∴ BN·DM=CN·EM.即

证明 3:连 DN,EN 分别交 BE,CD 于点 H,K.连 MN. 则 NK CN DH DE = , = . KE DE HN BN
A

EM BN 由证法 2 知 BN·DM=CN·EM.即 = . MD CN ∴ EM DH NK BN DE CN · · = · · =1. MD HN KE CN BN DE
B G D H N P K

O1 R M Q E C

故由 Ceva 定理,MN,DK,EH 交于一点,即 MN 过 BE,DC 的交点 P. ∴ M,P,N 共线. 证明 4:延长线 PM,NP 分别交 AC 于 Q,R. CP DM EQ 由 MP 截△CDE,得 · · =1.① PD ME QC EP BN CR 由 NP 截△BCE,得 · · =1. ② PB NC RE CP BP DM NC 但由 DF∥BC 得, = ,由证明 2 得 = , PD PE ME BN

O2

EQ ER EQ ER 故①×②并代入得 = ? = ?Q 与 R 重合.从而直线 PM 与直线 NP 重合. QC RC EC EC 即 M,P,N 共线. 二.(本题满分 50 分)
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冯惠愚 2009.08.24.

设 k,n 为给定的整数,n>k≥2.对任意 n 元的数集 P,作 P 的所有 k 元子集的元素和,记这些和组成 的集合为 Q,集合 Q 中元素个数是 CQ.求 CQ 的最大值. k k k 解:P 的 k 元子集共有 Cn 个.每个子集都有一个元素和,于是共有 Cn 个元素和.这说明 CQ≤Cn . 2 3 n-1 又,取集合 P={1,2,2 ,2 ,?,2 }.则 P 的所有 k 元子集的元素和都互不相同.由于,每个 k 元子集的元素和可以等于一个不超过 n 位的有 k 个数字“1”的二进制数,不同的 k 元子集所对应的二进制 k 数不同,从而和也不同.即此集合所成的集合 Q 满足,CQ=Cn . k ∴ CQ 的最大值为 Cn. 三.(本题满分 50 分) 设 M=2 1+2 2+?+2 s,n1,n2,?,nS 是互不相同的正整数,求证: 2 2 +2 2 +?+2 2 <(1+ 2) M. 证明:s≤5 时,s(2 +2 +?+2
n1 n2 nk n1 n2 ns n1 n2 ns 2 2 )≥(2 +2 +?+2 2 )2.即 n1 n2 ns 2 2 2 +2 +?+2 2 < n n n n1 n2 ns

s M<(1+ 2) M.

设 s=k 时,命题成立.当 s=k+1 时,不妨设 n1>n2>?>nk>nk+1. 2 2 +2 2 +?+2 2 +2
n1 nk+1 n1 2 <2 2 +(1+ n

2) M-2 1.
n n1

n

下证 2 2 +(1+ 2) M-2 1<(1+ 2) M?(1+ 2)( M- M-2 1)>2 2 .
n1

即 2 2 (1+ 2)>

2

n1 n1

M- M-2

= M+ M-2 1.

n

由 n1>n2,故 n1≥n2+1,于是 2 1>2 2+2 于是 M-2 1=2 2+2 3+?+2
n n1 n n n nk+1 n

n

n

n2-1

+2
n

n2-2

+?+22+2+1>2 2+2 3+?+2
n nk+1

n

n

nk+1



<2 1,而 M=2 1+2 2+2 3+?+2
n n1

n

<2×2 1.

n

n1

∴ M-2 1<2 2 . M< 2×2 2 ,所以, M+ M-2 1<2 2 (1+ 2)成立. 四.(本题满分 50 分) 求满足下列条件的所有正整数 x,y: ⑴ x 与 y-1 互素; ⑵x2-x+1=y3. 解:x(x-1)=(y-1)(y2+y+1). 当 x=1 时,y=1,而当 y=1 时,x=1,0. x=1,y=1 是此方程的一组解.且(1,1-1)=(1,0)=1.即解(1,1)满足要求.但(0,1)不满足要求.下 设 x≥2,y≥2.显然 x>y. 由于(x,y-1)=1,故 x|y2+y+1.令 y2+y+1=kx(k∈N*). ① 则 x-1=k(y-1).由 x>y,知 k≥2. 代入①得,y2+y+1=k2(y-1)+k. ∴ y2-1+y-1=k2(y-1)+k-3. ∴ y-1|k-3.若 k>3.则 y-1≤k-3?k≥y+2. y2+y+1=k2(y-1)+k≥(y+2)2(y-1)+y+2?y3+2y2-3≤0.在 y≥2 时不成立.于是 k≤3. ∴ k=2 或 3. ⑴ k=2 时,y2+y+1=4(y-1)+2?y2-3y+3=0,无正整数解; ⑵ k=3 时,y2+y+1=9(y-1)+3?y2-8y+7=0?y=7.x=19. 经检验,(x,y)=(1,1),(19,7)为解.
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