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高中数学中的立体几何解题技巧


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 高中数学中的立体几何解题技巧 作者:王文杰 来源:《文理导航》2012 年第 32 期 高中数学中的立体几何是重点和难点之一,作为培养空间思维的立体几何,其基础知识的 掌握及应用程度取决于我们对空间图形的认识与处理及正确思维方法的选择。为此,笔者现就 立体几何解题中几种常见的技巧予以分解,以供同仁参考。 1、巧作辅助

图形,采用特殊化法 例:求棱长为 a 的正四面体 A-BCD 的体积和外接球的半径。 解析:由于正四面体的六条棱相等,易联想到正方体的六个面的对角线相等。于是构作辅 助图形,即将正四面体补成正方体 DE. 由 AB=a,易得正方体棱长 AE=■a,V■=V■-4V■=■a■ 由正方体是球的内接正方体,易知外接球半径为■a. 例:在三棱锥 P—ABC 中,三条棱 PA,PB,PC 两两互相垂直。设 D 为底面 ABC 内任一 点,若 PD 与平面 PAB,面 PBC 所成角分别为 30° ,45° .求 PD 与平面 PAC 所成角的正切值。 解析:本题若直接求解非常冗繁,但若考虑到题设条件,则以 PD 所在直线为对角线, PA、PB、PC 所在线段为三条棱构作辅助图形长方体,使问题特殊化:即求该长方体的对角线 PM 与侧面 PAC 所成角的正切值。设 PD 与侧面 PAB,PBC,PAC 所成角分别为 α,β,γ.则依 据长方体性质有:sin2α+sin2β+sin2γ=1.由条件知 α=30°,β=45°.∴ sin2γ=1-(sin2α+sin2β) =■.∴ tanγ=■为所求。 评注:通过构造辅助图形,使原命题特殊化来解答某些立体几何问题,不但可以简化解题 过程,优化问题解答,而且能开拓解题的思维视野,使问题解答独辟蹊径。 2、寻找主要矛盾,采用“隔离法” 例: 二面角 α-l-β 为 30° ,点 A 在平面 α 内,点 A 到直线 l 的距离为 2,点 A 在平面 β 内 的射影为 B,B 在平面 α 内射影为点 A′,点 A′在面 β 内射影为 B′.求点 B′到棱 l 的距离。 解析:本题由于条件太复杂,干扰因素太多,不便于分析。现依据图形抽出主要对象,便 有如下解法:∵ AB⊥ β,AA′⊥ α 设由相交直线 AB、AA′确定的平面交 l 于 M,则平面 ABM⊥ α 面 ABM⊥ β.易证∠ ABM 为二面角 α-l-β 的平面角。把△ ABM 隔离出来: MB′=MA′cos30°=MBcos■30°=MAcos■30°=2·(■)■=■. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 评注:在立体几何解题(证明)时,紧抓主要对象,把主要对象从复杂的线、面、体等关 系中隔离出来,单独研究。可以直观、方便的使问题获解(证明),避免因受图中太多辅助线 (或面)干扰而扰乱视角。 3、变动图形,巧用运动观点解题 例:二面角 α-a-β 的平面角为 120° ,在平面 α 内,AB⊥ α 于 B,AB=2,在平面 β 内, CD⊥ β 于 D,CD=3,BD=1,M 是棱 a 上一动点,则 AM+CM 的最小值为多少? 解析:现将 β 平面绕 a 棱旋转到和 α 平面位于同一平面的位置, C 点落在 C′位置。连接 AC′交 BD 于 M1,当点 M1 与 M 点重合时,AM+CM 最小。由△ C′DM~△ ABM,易求得 AM+CM 最小值为■. 例:已知一个三棱锥的 5 条棱长均为 1,则另一条棱长的取值范围是 . 解析:由条件 设 AB

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