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2011-12-1高等数学试题参考答案及评分标准

时间:2013-06-12


2011-12-1 高等数学(A)期末考试试题答案
一、填空题 (本大题分 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 1、ln2 4、 ? 2 x ? 1 5、 ?
?

2、 c1t ? c 2 t ln t
cos x dx
0

3、ln2

二、选择题 (本大题共 5 小题

,每小题 4 分,共 20 分) 1、C 2、B 3、C 4、B 5、B

三、解答下列各题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) 1、解:因 y ( x )
? x 1? e
2x

,dy

? y ?( x ) d x ?

1? e

2x

? 2 xe
2x

2x

(1 ? e
x
2

)

2

dx

………………………………6 分

2、解: ? x a rc ta n
x
2

xdx ?

? a rc ta n x d (
1? x ?1
2

x

2

) ?

? a rc ta n x ?

2 x
2

2 1 2
2

?

x

2

?

1 1? x
2

dx

2 1 2

?

a rc ta n x ?

1

2

? 2

1? x

2

dx ?
?

? a rc ta n x ?

x?

a rc ta n x ? c

……………每步 2 分

2

3、解: 令 x

?

3 sec t

,原式

?

?

6 0

3 ta n td t
?

…………………………………………2 分
?

?

3

?

6

(sec

2

t ? 1) dt ?

3 (tan t ? t )

6 0

…………………5 分

0

? 1?

3 6

?

………………………………………………6 分

四、解答下列各题(本大题共 3 小题,每小题 8 分,总计 24 分)
3 ln 3 ?
t

2t 1? t
4

1、解:

dy dx

?

y??t ? x??t ?

?

cos t ? 2

……………………………………………………6 分



dy dx
t?0

?

ln 3 3

……………………………………………………………………8 分
2

2、解: 原 式

? lim

(e ? 1 ? x )
x

x? 0

x
x

4

……………………………………………………………2 分
x

? lim

2 ( e ? 1 ? x )( e ? 1) 4x
3

x? 0

?

1 2

lim

e ?1? x
x

x? 0

x

2

……………………………每步 2 分

1

?

1 2

lim

e ?1
x

x? 0

?

1 4

………………………………………………8 分
2y x

2x

3、解:微分方程两边除以 x 和 d x ,并将

移到等式左端得:

d y dx

?

2 x

y ? 3x ? x
3

,该方

程为一阶线性非齐次微分方程。………………………………………………………………2 分 求其通解为 y
? x (C ?
2

3 2 7 2

x

2

? ln x )

………………………………………………………6 分
? 3 2 x
4

由初始值求得: C

? ?

,故原问题的解为 y

? (ln x ?

7 2

)x

2

……………………8 分

五、证明下列各题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,总计 12 分) 1、证:半径为 R 的球体由半径为 R 的球面绕 X 轴旋转一周所成,且球体体积等于右半球 体体积二倍。……………………………………………………………………………………2 分 故球体体积公式为:
V ? 2?
R 0

1 3? ? 2 ? ? R ? x ? d x ? 2? ? R x ? x ? 3 ? ?
2 2
2

R

?
0

4 3

?R

3

…………………………………每步 2 分 ,则

2、证: 令 F ( x ) ?

2 x arctan x ? ln (1 ? x ), 则 F ( x ) 可 导 , 且 F (0 ) ? 0
2x 1? x
2

F ? ( x ) ? 2 a rc ta n x ?

?

2x 1? x
2

? a rc ta n x

………………………………………………2 分 , 分

当 x ? 0, 在 [0, x ]上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 , F ( x ) ? F (0 ) ? 2 arctan ? ? x ? 0   ? ? ? x ) (0

得 F ( x ) ? 0 。……………………………………………………………………………………2 当 x ? 0, 在 [ x , 0 ]上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 : F ( x ) ? f (0 ) ? 2 arctan ? ? x ? 0   ? ? ? 0 ) , (x
仍 有 F (x) ? 0


2

综 上 述 对 一 切 x 有 2 x arctan x ? ln (1 ? x ) 且 仅 当 x ? 0时 等 号 成 立

。………………………6 分

六、解答下列各题(本大题共 1 小题,共 6 分) 解:由 于 h 2
? d ? x 故矩形梁的抗弯截面模量为 :
2 2

W ? kxh ? k ( d x ? x )     ? x ? d , k 为 正 常 数 ) (0
2 2 3

………………………2 分
为极大值点

且W

? ? k (d

2

? 3 x ), 唯 一 驻 点   x ?
2

d 3

,而 W

?? ? ? 6 k x ? 0   即 x ?

d 3

…………5 分

所以矩形截面的宽为

d 3

,高为

2 3

d时 , 矩 形 梁 的 抗 弯 模 量 最 大

。…………………………6 分

2


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