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空间中的垂直关系


空间中的垂直关系
一、基本知识点
Ⅰ、直线与平面垂直 1、线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂 直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂
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面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α 。 2、直线与平面垂直

的判定方法:①利用定义。②判定定理:如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 ③其它方法: (Ⅰ) 、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于 这个平面。 (Ⅱ) 、 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个, 那么也垂直于另一个面。 (Ⅲ) 、 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。 (Ⅳ) 、 如果两个相交平面都和第三个平面垂直,那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。 3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 4、三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直。 说明: (1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂 直关系;
P
O A

PO ? ? , O ? ? ? ? (2)推理模式: PA ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?
也和这条斜线的射影垂直。

?

a

5、三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? AO . a ? ? , a ? AP ? ?
注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直
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的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用。
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Ⅱ、平面与平面垂直 1、两个平面垂直的定义:两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两 个平面叫做互相垂直的平面。 2、两平面垂直的判定方法:①利用定义。②判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直。推理模式: a ? ? , a ? ? ? ? ? ? 。 3、两平面垂直的性质定理: 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的 直线垂直于另一个平面。推理模式: ? ? ? , ?

? ? l, a ? ? , a ? l ? a ? ?

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http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法:①证明直线与平面垂直的方法:直线 的方向向量与平面的法向量平行;②证明平面与平面垂直的方法:两平面的法向量垂直。
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Ⅲ、要有“升降维”思想,熟练掌握各类垂直的相互转化: 线线垂直 线面垂直 面面垂直 ,每一垂直的判定就是从

某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的。例如:有两个平面垂直时,一般要用性质定理, 在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直。运用降维 的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题,可以化难为易,化新为旧, 化未知为已知,从而使问题得到解决。运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法 向空间推广,可以立易解难,温旧知新,从已知探索未知,是培养创新精神和能力,是“学 会学习”的重要方法。平面图形的翻折问题的分析与解决,就是升维与降维思想方法的不断 转化运用的过程。

二、基础巩固训练
1、 (2008 上海,13) 给定空间中的直线 l 及平面?,条件“直线 l 与平面?内无数条直线都 垂直”是“直线 l 与平面?垂直”的( A.充要 B.充分非必要 )条件。 D.既非充分又非必要 D.不确定。 C.必要非充分 B.l∥BD1

2、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 l 是异面直线 AB1 和 A1D 的公垂线,则直线 l 与直线 BD1 的关系为( )A.l⊥BD1 C.l 与 BD1 相交 3、 ( 2009 广 东 卷 理 ) 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( A. ①和② 是“ m ? ? ”的( A.充分不必要条件 )。 B. ②和③ )。 。 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C. ③和④ D. ②和④

4、 (2009 山东卷理)已知α , β 表示两个不同的平面, m 为平面α 内的一条直线, 则 “? ? ? ”

5、 (2009 四川卷) 如图, 已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB 则下列结论正确的是(
A. PB ? AD B. 平面PAB ? 平面PBC

) 。

C. 直线 BC ∥ 平面PAE D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45° 6、 (2009 江苏卷)设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于

?;
(2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直;
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(4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直。 上面命题中,真命题 的序号 ... (写出所有真命题的序号).

7、 (2009 北京卷文)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,

PD ? 底面ABCD , 点 E 在 棱 PB 上 。 (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时,
求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小。

【小结】
1、判定直线与平面垂直的方法有: ⑴由定义:如果一条直线和一个平面相交,且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则这条 直线和这个平面互相垂直。 ⑵线面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。⑶面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂 直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。⑷向量方法。 2、判定平面与平面垂直的方法有:⑴由定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的 平面。⑵面面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互 相垂直。⑶向量方法。

三、典型题型分析
考点一:线面垂直的判定和性质 题型:证明线面垂直与线面垂直性质的运用 例 1、 已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上任意一点,过 A 点作 AE⊥PC 于点 E,求证:AE⊥平面 PBC。 证明:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC。又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC。 而 PC∩AC=C,∴BC⊥平面 PAC。又∵AE 在平面 PAC 内,∴BC⊥AE。 ∵PC⊥AE,且 PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC。 [反思归纳]证明直线与平面垂直的常用方法有:利用线面垂直的定义; 利用线面垂直的判定定理;利用“若直线 a∥直线 b,直线 a⊥平面α , 则直线 b⊥平面α ” 。 例 2、在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C1=A1C1,A1B⊥AC1,求证:A1B⊥B1C。 证明:取 A1B1 的中点 D1,连结 C1D1。∵B1C1=A1C1,∴C1D1⊥ABB1A1。 连结 AD1,则 AD1 是 AC1 在平面 ABB1A1 内的射影,∵A1B⊥AC1, ∴A1B⊥AD1。取 AB 的中点 D,连结 CD、B1D, 则 B1D∥AD1,且 B1D 是 B1C 在平面 ABB1A1 内的射影。 ∵B1D⊥A1B,∴A1B⊥B1C。 [反思归纳]证明异面直线垂直的常用方法有:证明其中一直线垂直 另外一直线所在的平面;利用三垂线定理及其逆定理。
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A1 D1 C1 B1 A D C B

P

E A O C B

考点二:面面垂直的判定和性质 题型:证明面面垂直与面面垂直性质的运用 例 3、如图,已知 AB 是圆 O 的直径, PA 垂直于 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A, B 的任一点,求证:平面 PAC ? 平面 PBC 。 分析:根据“面面垂直”的判定定理,要证明两平面互相垂直,只要在其中一个平面中寻找 一条与另一平面垂直的直线即可。 解:∵ AB 是圆 O 的直径,∴ AC ? BC , 又∵ PA 垂直于 O 所在的平面,∴ PA ? BC , ∴ BC ? 平面 PAC ,又 BC 在平面 PBC 中, 所以,平面 PAC ? 平面 PBC 。 [反思归纳]由于平面 PAC 与平面 PBC 相交于 PC ,所以如果平面
A O C B P

PAC ? 平面 PBC ,则在平面 PBC 中,垂直于 PC 的直线一定垂直于平面 PAC ,这是寻
找两个平面的垂线的常用方法。 例 4、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1,CD 的中点。 (1)求证:AD⊥D1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角; (3)证明平面 AED⊥平面 A1FD1。 分析:涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题,建立空间直角坐标系来解,不仅容易找 到解题方向,而且坐标也简单,此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为 0”的问题,当 然也可用其它的证法。 证明:建立空间直角坐标系如图,并设 AB=2, 则 A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) D1(0,2,2),E(2,0,1), F(1,2,0) (1) AD ? (0, 2,0),
B1

z
A1 C1 D A B C D1

D1F ? ( 1, 0 ?, 2 )

y

?

AD ? D1F =0×1+2×1+0×(-2)=0, ? AD⊥D1F。

x

(2) AE =(2,0,1) D1F =(1,0,-2) ,| AE |? 5 ,| D1F |? 5 设 AE 与 D1F 的夹角为θ ,则 cosθ =

AE ? D1 F | AE || D1 F |

?

2 ? 1 ? 0 ? 0 ? 1 ? (?2) 5 5

?0

所以,直线 AE 与 D1F 所成的角为 90°。 (3)由(1)知 D1F⊥AD,由(2)知 D1F⊥AE,又 AD∩AE=A,? D1F⊥平面 AED, ∵D1F ? 平面 A1FD1M ? 平面 AED⊥平面 A1FD1。 [反思归纳]涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题,建立空间直角坐标系来解,不仅容 易找到解题方向,而且坐标也简单,此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为 0”的问题, 当然也可用其它的证法。

四、强化巩固训练
1、 (2009 江苏卷) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 E、 F 分别是 A 1B 、 AC 1 的中点,点 D 在 B 1D ? B 1C 1C1 上, A (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A FD ? 平面 BB C C 。 1 1 1
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求证:

2、 如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,M 是 EA 的 中点,求证: (1)DE =DA ; (2)平面 BDM ⊥平面 ECA ; (3)平面 DEA ⊥平面 ECA。

3、如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中 点。 (1) 求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2) 当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ? 并证明你的结论。

【小结】
1、证明直线与平面垂直的方法有:⑴由定义:如果一条直线和一个平面相交,且和这个平 面内的任意一条直线都垂直,则这条直线和这个平面互相垂直。⑵线面垂直的判定定理:如 果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面。 ⑶面面垂 直的性质定理: 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一个平面。⑷向量方法。 2、证明平面与平面垂直的方法有:⑴由定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的 平面。⑵面面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互 相垂直。⑶向量方法。 3、证明异面直线垂直的常用方法有:证明其中一直线垂直另外一直线所在的平面;利用三 垂线定理及其逆定理。

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【答案】

基础巩固训练 1 C 2 B 3 D 4 B【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的一条直线, m ? ? ,则

? ? ? ,反过来则不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件。 5 D【解析】∵AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直,所以 A 不成立,又,平面 PAB⊥平面 PAE,
所以 平面PAB ? 平面PBC 也不成立;BC∥AD∥平面 PAD, ∴直线 BC ∥ 平面PAE 也不 成立。在 Rt ?PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°. ∴D 正确。 6【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题 的序号是 ... (1)(2)。

7【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础
知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵ PD ? 底面ABCD ,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB 。 (Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平 面 PDB 所的角, ∴ O , E 分别为 DB 、 PB 的中点, ∴ OE//PD , OE ?

1 PD ,又∵ 2

PD ? 底面ABCD ,

∴ OE ⊥ 底 面 ABCD , OE ⊥ AO ,

在 Rt △ AOE 中 ,

OE ?

1 2 PD ? AB ? AO , 2 2
? ?

∴ ?AOE ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 。 【解法 2】向量法。

强化巩固练习 1【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位
置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。

2 证明: (1)如图,取 EC 中点 F ,连结 DF。∵ EC ⊥平面 ABC ,BD ∥CE ,得 DB ⊥平
面 ABC 。 ∴ DB ⊥AB ,EC ⊥BC。∵ BD ∥CE ,BD =

1 1 CE = FC ,则四边形 FCBD 是矩形, 2 2

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DF ⊥EC。又 BA =BC =DF ,∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ,所以 DE =DA。 (2)取 AC 中点 N ,连结 MN 、NB ,∵ ∴ MN 由 BD M 是 EA 的中点,

1 EC。 2 1 EC ,且 BD ⊥平面 ABC , 2

可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM ⊥MN。 ∵ DE =DA ,M 是 EA 的中点,∴ DM ⊥EA .又 EA ? MN =M , ∴ DM ⊥平面 ECA ,而 DM ? 平面 BDM ,则平面 ECA ⊥平面 BDM。 (3)∵ DM ⊥平面 ECA ,DM ? 平面 DEA ,∴ 平面 DEA ⊥平面 ECA。

3(1)证明:如图,∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱,∴ A1C1 =B1C1 =1,且∠A1C1B1 =90°。 又 D 是 A1B1 的中点,∴ C1D ⊥A1B1 。∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ,C1D ? 平面 A1B1C1 , ∴ AA1 ⊥C1D ,∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。 (2)解:作 DE ⊥AB1 交 AB1 于 E ,延长 DE 交 BB1 于 F ,连结 C1F ,则 AB1 ⊥平面 C1DF , 点 F 即为所求。事实上,∵

C1D ⊥平面 AA1BB ,AB1 ? 平面 AA1B1B ,∴ C1D ⊥AB1 .又

AB1 ⊥DF ,DF ? C1D =D ,∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。

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