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2016年全国高中数学联赛加试平面几何练习题100道


2016 年全国高中数学联赛加试平面几何练习题 100 道 目录
第一题:证明角平分 ..................................................................................................................... - 4 第二题:证明四点共圆 ..........

....................................................................................................... - 5 第三题:证明角的倍数关系 ......................................................................................................... - 6 第四题:证明线与圆相切 ............................................................................................................. - 7 第五题:证明垂直 ......................................................................................................................... - 8 第六题:证明线段相等 ................................................................................................................. - 9 第七题:证明线段为比例中项 ................................................................................................... - 10 第八题:证明垂直 ........................................................................................................................- 11 第九题:证明线段相等 ............................................................................................................... - 12 第十题:证明角平分 ................................................................................................................... - 13 第十一题:证明垂直 ................................................................................................................... - 14 第十二题:证明线段相等 ........................................................................................................... - 15 第十三题:证明角相等 ............................................................................................................... - 16 第十四题:证明中点 ................................................................................................................... - 17 第十五题:证明线段的二次等式 ............................................................................................... - 18 第十六题:证明角平分 ............................................................................................................... - 19 第十七题:证明中点 ................................................................................................................... - 20 第十八题:证明角相等 ............................................................................................................... - 21 第十九题:证明中点 ................................................................................................................... - 22 第二十题:证明线段相等 ........................................................................................................... - 23 第二十一题:证明垂直 ............................................................................................................... - 24 第二十二题:证明角相等 ........................................................................................................... - 25 第二十三题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 26 第二十四题:证明两圆相切 ....................................................................................................... - 27 第二十五题:证明线段相等 ....................................................................................................... - 28 第二十六题:证明四条线段相等 ............................................................................................... - 29 第二十七题:证明线段比例等式 ............................................................................................... - 30 第二十八题:证明角的倍数关系 ............................................................................................... - 31 第二十九题:证明三线共点 ....................................................................................................... - 32 第三十题:证明平行 ................................................................................................................... - 33 第三十一题:证明线段相等 ....................................................................................................... - 34 第三十二题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 35 第三十三题:证明三角形相似 ................................................................................................... - 36 第三十四题:证明角相等 ........................................................................................................... - 37 第三十五题:证明内心 ............................................................................................................... - 38 第三十六题:证明角平分 ........................................................................................................... - 39 第三十七题:证明垂直 ............................................................................................................... - 40 第三十八题:证明面积等式 ....................................................................................................... - 41 第三十九题:证明角平分 ........................................................................................................... - 42 第四十题:证明角相等 ............................................................................................................... - 43 -1-

第四十一题:证明中点 ............................................................................................................... - 44 第四十二题:证明中点 ............................................................................................................... - 45 第四十三题:证明角相等 ........................................................................................................... - 46 第四十四题:证明垂直 ............................................................................................................... - 47 第四十五题:证明角相等 ........................................................................................................... - 48 第四十六题:证明垂直 ............................................................................................................... - 49 第四十七题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 50 第四十八题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 51 第四十九题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 52 第五十题:证明角平分 ............................................................................................................... - 53 第五十一题:证明线段相等 ....................................................................................................... - 54 第五十二题:证明两圆外切 ....................................................................................................... - 55 第五十三题:证明垂直 ............................................................................................................... - 56 第五十四题:证明垂直 ............................................................................................................... - 57 第五十五题:证明垂直 ............................................................................................................... - 58 第五十六题:证明垂直 ............................................................................................................... - 59 第五十七题:证中点 ................................................................................................................... - 60 第五十八题:证明角相等 ........................................................................................................... - 61 第五十九题:证明角相等 ........................................................................................................... - 62 第六十题:证明四点共圆 ........................................................................................................... - 63 第六十一题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 64 第六十二题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 65 第六十三题:证明角相等 ........................................................................................................... - 66 第六十四题:证明角的倍数关系 ............................................................................................... - 67 第六十五题:证明中点 ............................................................................................................... - 68 第六十六题:伪旁切圆 ............................................................................................................... - 69 第六十七题:证明垂直 ............................................................................................................... - 70 第六十八题:证明平行 ............................................................................................................... - 71 第六十九题:证明圆心在某线上 ............................................................................................... - 72 第七十题:证明三线共点 ........................................................................................................... - 73 第七十一题:证明垂直 ............................................................................................................... - 74 第七十二题:证明垂直 ............................................................................................................... - 75 第七十三题:证明中点 ............................................................................................................... - 76 第七十四题:证明垂直 ............................................................................................................... - 77 第七十五题:证明垂直 ............................................................................................................... - 78 第七十六题:证明三线共点 ....................................................................................................... - 79 第七十七题:证明平行 ............................................................................................................... - 80 第七十八题:证明平行 ............................................................................................................... - 81 第七十九题:证明三线共点、证明垂直 ................................................................................... - 82 第八十题:证明三点共线(牛顿定理) ................................................................................... - 83 第八十一题:证明角平分 ........................................................................................................... - 84 第八十二题:证明角相等 ........................................................................................................... - 85 第八十三题:证明三点共线 ....................................................................................................... - 86 第八十四题:证明四圆共点 ....................................................................................................... - 87 -2-

第八十五题:证明角平分 ........................................................................................................... - 88 第八十六题:证明线段相等 ....................................................................................................... - 89 第八十七题:证明角相等 ........................................................................................................... - 90 第八十八题:证明线段相等 ....................................................................................................... - 91 第八十九题:证明线段相等 ....................................................................................................... - 92 第九十题:证明线段相等 ........................................................................................................... - 93 第九十一题:证明中点 ............................................................................................................... - 94 第九十二题:证明四点共圆 ....................................................................................................... - 95 第九十三题:证明西姆松定理及逆定理 ................................................................................... - 96 第九十四题:证明线段的和差关系等式 ................................................................................... - 97 第九十五题:证明角相等 ........................................................................................................... - 98 第九十六题:证明托勒密定理及逆定理 ................................................................................... - 99 第九十七题:证明线段的和差关系等式 ................................................................................. - 100 第九十八题:证明角相等 ......................................................................................................... - 101 第九十九题:证明四点共圆 ..................................................................................................... - 102 第一百题:证明两三角形共内心 ............................................................................................. - 103 -

-3-

第一题:证明角平分

已知 PE 、PF 是⊙ O 的切线, A 、B 是一组对径点, PB 交⊙ O 于另一点 C ,直线 AF 、BE 交 于 D 点。 求证: ?PCD ? ?PCE 。

P

D

B E

O C

F

A

-4-

第二题:证明四点共圆

如图, AB 是⊙ O 的直径, C , D 是圆上异于 A 、 B ,且在 AB 同侧的两点,分别过 C 、 D 作⊙ 的 O 切线, 它们交于点 E ,线段 AD 与 BC 的交点为 F , 线段 AB 与 EF 的交点为 M ,求证: E 、 C 、 M 、 D 四点共圆。

E

C F A O M D B

-5-

第三题:证明角的倍数关系

如图,PE 、PF 是以 AB 为直径圆的切线 E 、F 是切点,PB 交圆于 C 点,AF 、BE 交于 D 点, AB 是直径。 求证: ?DPE ? 2?ACD 。

P

C E A D O F B

-6-

第四题:证明线与圆相切 已知: ?ABC 中, ?A ? 90? , AD 切⊙ ABC , AD 交 BC 延长线于 D , E 是 A 关于 BC 的对称 点, AY ? BE 于 Y , X 是 AY 中点,延长 BX 交⊙ ABC 于 J ,求证: BD 切 ?AJD 外接圆。

A

J B X O Y E F C D

-7-

第五题:证明垂直

已知四边形 ABCD 内接于以 BD 为直径的圆,设 A' 为 A 关于 BD 为对称点, B' 是 B 关于 AC 对 称点,直线 AC 交 DB ' 于 Q ,直线 DB 交 CA ' 于 P 。求证: PQ ? AC 。

Q

B'

A

D

O

B

P

A' C

-8-

第六题:证明线段相等

已知: BC 、 BD 是⊙ O 切线, C 、 D 是切点, BJA 是割线, A 、 J 在圆上, J 离 B 较近, DE ? AO 于 E ,交 AB 于 F , AC 交 DE 于 G ,求证: DF ? FG 。

B

J C

D F G A

O

E

-9-

第七题:证明线段为比例中项 已知 ?ABC 中, AC ? BC , M 是 AB 的中点, FG 经过点 M ,且 ?CFG 与 ?ABC 有相同的内 心。 求证: AM 2 ? FM ? GM 。

B G

C F

M

A

- 10 -

第八题:证明垂直 已知:?ABC 为非直角三角形,AD 平分 ?BAC ,D 在 BC 上,DF ? AC 于 F ,DE ? AB 于 E , CE 交 BF 于 P 。求证: AP ? BC 。

A

E P F

B

D

H

C

- 11 -

第九题:证明线段相等

过圆 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线 PC 、PD , 切点分别为 C 、D , 过劣弧 CD 上一点 E 作圆 O 的另一条切线分别交 PC 、 PD 于 A 、 B ,连结 OE 交 CD 于点 N ,连结 PN 交 AB 于点 M 。 求证: MA ? MB 。

B E M P

D

N O

A C

- 12 -

第十题:证明角平分 已知 PA 、 PB 是⊙ O 切线, DE 是过 C 的切线, D 、 E 分别在 AP 、 PB 上, CF ? AB 于 F , 连接 DF 、 EF 。求证: ?DFC ? ?EFC

P

E C D A F O B

- 13 -

第十一题:证明垂直 设 PAB 是圆 O 的割线,PC 是切线,CD 是圆 O 的直径,DB 、OP 相交于 E 。 求证:AC ? CE 。

D

E O B

A P C

- 14 -

第十二题:证明线段相等

设 C 、 D 是以 O 为圆心 AB 为直径的半圆上两点,过 B 做圆 O 的切线交 CD 于 P ,直线 PO 交 直线 CA 、 AD 分别于 E 、 F 。求证: OE ? OF 。

F

D C

P

A

O

B

E

- 15 -

第十三题:证明角相等 如图, ?ABC 中, D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点,且 DE // BC , BE 、 CD 交于点 F , ?BDF 的外接圆⊙ O ,与 ?CEF 的外接圆⊙ P 交于点 G ,求证: ?BAF ? ?CAG 。

A

D F P O B G

E

C

- 16 -

第十四题:证明中点

如图,⊙ O 、⊙ P 交于 A 、 B 两点, BO 、 PA 延长线交于点 C , CD 、 CE 分别切⊙ O 、⊙ P 于 D 、 E ,连接 DE 交 AB 于 F ,求证: F 为 DE 中点。

C

E

A F P

O D B

- 17 -

第十五题:证明线段的二次等式

如图,半径不相等的两圆⊙ O 、⊙ P 交于 A 、B 两点,过 A 的直线 CD 分别交⊙ O 、⊙ P 于 C 、 D , CB 延长线交⊙ P 于 F , DB 延长线交⊙ O 于 E ,过 A 作 CD 垂线交 EF 中垂线于 G ,求 证: AG2 ? EG2 ? AC ? AD

D

A C O B E P

F G

- 18 -

第十六题:证明角平分 如图, ?ABC 内接于⊙ O , D 为 BC 中点, AD 交⊙ O 于 E ,过 E 作 EF // BC ,交⊙ O 于 F , 过 C 作 CG ? AC ,交 AE 于 G 。求证: ?AGC ? ?FGC 。

A

O

D B G E F C

- 19 -

第十七题:证明中点 如图,?ABC 内切圆⊙ I 切 BC 于 D , 过 I 作 IE // AD 交 BC 于 E , 过 E 作⊙ I 切线, 分别交 AB 、 AC 于 F 、 G 。求证: E 为 FG 中点。

F

B D E

I

A

G

C

- 20 -

第十八题:证明角相等

如图,如图,⊙ P 、⊙ Q 交于 A 、 B 两点,它们的外公切线 CD 分别切⊙ P 、⊙Q 于 C 、 D ,

E 为 BA 延长线上一点, EC 交⊙ P 于 F , ED 交⊙ Q 于 G , AH 平分 ?FAG 交 FG 于 H 。求
证: ?FCH ? ?GDH 。

E

C F A P H B

D

Q

G

- 21 -

第十九题:证明中点 如图,⊙ O 为 ?ABC 外接圆, I 、 E 分别为 ?ABC 的内心和一个旁心, ?BAC 的外角平分线交 BC 延长线于 D , IF ? DE 于 F ,交⊙ O 于 G 。求证: G 为 IF 中点。

A

O B

I

C G

D

F

E

- 22 -

第二十题:证明线段相等 如图,在锐角 ?ABC 中,?B ? ?C , F 是 BC 的中点,BE 、CD 是高。G 、H 分别是 FD 、 FE 的中点,若过 A 且平行于 BC 的直线交 GH 于 I 。求证: IA ? IF

A I E

D H G B F C

- 23 -

第二十一题:证明垂直 如图,D 是 ?ABC 边 BC 上一点,?DAC ? ?ABD , ⊙ O 过点 B 、D 分别交 AB 、AD 于 E 、F , 直线 BF 交 DE 于 G , M 是 AG 中点。求证: CM ? AO 。

A

E

M F G

O B D

C

- 24 -

第二十二题:证明角相等

如图, 如图,CD 为⊙ O 直径,PC 、PE 分别切⊙ O 于 C 、E , 割线 PBA 交⊙ O 于 A 、B ,AC 、 BD 交于点 F , DE 交 AB 于 G ,求证: ?GFE ? ?ADE 。

P E B G A F D C

O

- 25 -

第二十三题:证明四点共圆 如图, O 为 ?ABC 外心, D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点, OF ? DE 于 F , L 、 M 、 N 分别 为 DE 、 BE 、 CD 中点。求证: F 、 L 、 M 、 N 四点共圆。

A

D

F L E O M N

B

C

- 26 -

第二十四题:证明两圆相切
C G 如图,?ABC 内切圆⊙ I 切 BC 于 D ,AE ? BC 于 E ,F 为 AE 中点,DF 交⊙ I 于 G , 作 ?B 的外接圆⊙ O ,求证:⊙ O 、⊙ I 相切于点 G 。

A

G F I O B D E C

- 27 -

第二十五题:证明线段相等 如图, ?ABC 内接于⊙ O ,内切圆⊙ I 分别切 AB 、 AC 于 J 、 K , AO 交⊙ O 于 D ,连接 DI , 延长 CA 到 F ,使得 AF ? BJ ,过 F 作 DI 的垂线交 BA 延长线于 G ,求证: AG ? CK 。

F

G

A J K O B I

C

D

- 28 -

第二十六题:证明四条线段相等
OE // BD 交 AB 于 E , OF // CD 交 AC 如图, ⊙ O 为 ?ABC 外接圆,AD 平分 ?BAC 交⊙ O 于 D , 于 F , H 为 ?ABC 垂心, HG // AD 交 BC 于 G ,求证: BE ? GE ? GF ? CF 。

A

F E O H

B

G

C

D

- 29 -

第二十七题:证明线段比例等式

如图,四边形 ABCD 中, AB ? AC ,?ABD 外接圆⊙ O1 交 AC 于 F ,?ACD 外接圆⊙ O2 交 AB 于 E , BF 、 CE 交于点 G ,求证:
BG BD ? 。 CG CD

A

E

O1 O2 G

F

B C D

- 30 -

第二十八题:证明角的倍数关系 如图,O 为 ?ABC 外心,D 为 ?ABC 内一点,使得 ?DAB ? ?DCB ,?DAC ? ?DCB ,E 为 AD 中点,过 E 作 EF ? AD 交 CB 延长线于 F ,连接 FA 、 FD 、 FO ,求证: ?AFD ? 2?OFC 。

A

E

D O

F

B

C

- 31 -

第二十九题:证明三线共点 如图,⊙ O 的内接四边形 ABCD , AB 、 DC 交于点 E , AD 、 BC 交于点 F , ?EFC 的外接 圆⊙ P 交⊙ O 于 G , AG 交 EF 于 H , HC 交⊙ O 于 I ,求证 AI 、 GC 、 FE 三线共点。

A

O I B N E H F C G D

P

- 32 -

第三十题:证明平行 如图, ?ABC 中, D 为 BC 中点, O 为外心, H 为垂心, E 、 F 分别为 AB 、 AC 上一点,使 得 AE ? AF ,且 D 、 H 、 E 三点共线, P 为 ?AEF 外心,求证: OP // HD 。

A

P

O H E

F

B

D

C

- 33 -

第三十一题:证明线段相等 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,E 为四边形内一点,使得 ?EAB ? ?ECO ,?EBA ? ?EDC , 过点 E 的直线 FG 平分 ?BEC ,交⊙ O 于 F 、 G 两点,求证: EF ? EG 。

A F

D O E

C G B

- 34 -

第三十二题:证明四点共圆 如图,在 ?ABC 中, AD 、 BE 、 CF 是三条高线,点 P 为 ?ABC 内部一点, P 关于 BC 、 CA 、 AB 的对称点分别为 L 、 M 、 N ,线段 AP 的中点为 G ,求证: D 、 E 、 G 、 F 四点共圆的 充要条件为 A 、 M 、 L 、 N 四点共圆。

A

G F N P E

M

B

D

C

L

- 35 -

第三十三题:证明三角形相似

如图,⊙ O1 、⊙ O2 半径分别为 r1 、 r2 ,⊙ O1 、⊙ O2 交于 A 、 B 两点, P 为平面上一点, PC 切⊙ O1 于 C , PD 切⊙ O2 于 D ,且

PC r1 ? ,求证: ?PCA ∽ ?PBD 。 PD r2

P

C

A D O2

O1

B

- 36 -

第三十四题:证明角相等 如图, 平行四边形 ABCD 中,E 为 BD 上一点, 使得 ?ECB ? ?ACD ,AC 交 ?ABD 外接圆⊙ O 于 F ,连接 EF ,求证: ?BFE ? ?AFD 。

A E

D

O B C F

- 37 -

第三十五题:证明内心 如图, I 是 ?ABC 内心, E 为 BC 中点, F 为弧 BC 中点, EF 中点为 N , BI 中点为 M , MN 交 BC 于 D ,连接 AD ,求证: M 为 ?ABD 内心。

A

O M E B D N F

I

C

- 38 -

第三十六题:证明角平分 如图,⊙ O 为 ?ABC 的外接圆, AF 平分 ?BAC 交⊙ O 于 F , H 为 ?ABC 的垂心,CE ? AB 于 求证:IH 平分 ?BHC 。 E ,BD ? AC 于 D ,?ADE 的外接圆⊙ P 交⊙ O 于 G 。GF 交 BC 于 I ,

A E P H D G

O

B

I

C

F

- 39 -

第三十七题:证明垂直 在 ?ABC 中,O 为外心,三条高 AD 、BE 、CF 交于点 H ,直线 ED 和 AB 交于点 M ,直线 FD 和 AC 交于点 N ,求证: (1) OB ? DF ; (2) OC ? DE ; (3) OH ? MN 。

N

M A F H E

O B D C

- 40 -

第三十八题:证明面积等式 如图, ?ABC 和 ?ADE 均为等腰直角三角形, ?BAC ? ?AED ? 90? ,连接 BD 、CE ,取 CE 的 1 中点 F ,连接 DF 、 BF ,求证: S ?BDF = ?S ?ABC ? S ?ADE ? 3S ?ACE ? 。 2

C

F

E

A

D

B

- 41 -

第三十九题:证明角平分

如图, ?ABC 中,旁切圆⊙ P 分别切 CB 、 CA 延长线于 D 、 E ,旁切圆⊙ Q 分别切 BC 、 BA 延长线于 F 、G ,DE 、FG 分别交 PQ 于 M 、N ,BN 、CM 交于点 L , 求证:AL 平分 ?BAC 。

E G P M A N

Q

L

D

B

C

F

- 42 -

第四十题:证明角相等 如图,平行四边形 ABCD 中, E 、 F 分别为 AD 、 CD 上一点, AF 、CE 交于点 G , ?AEG 的 外接圆⊙ O 与 ?CFG 的外接圆⊙ P 交于点 H ,连接 BG 、 DH ,求证: ?GBA ? ?HDA 。

A

E G O P H F

D

B

C

- 43 -

第四十一题:证明中点

如图, PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B , PCD 为⊙ O 一条割线,过 C 作 CF // PB ,交 AB 于 E , 交 BD 于 F ,求证: E 为 CF 中点。

A

P C E

O

D F

B

- 44 -

第四十二题:证明中点 如图, H 为 ?ABC 垂心, D 为 BC 中点,过 H 作 EF ? DH 分别交 AB 、 AC 于 E 、 F ,求证: H 为 EF 中点。

A

E

H

B

D

C F

- 45 -

第四十三题:证明角相等 如图,锐角 ?ABC 中, AB ? AC ,且 D 、 E 在边 BC 上,满足 BD ? CE ,若在 ?ABC 内存在点 P 满足 PD // AE ,且 ?PAB ? ?EAC ,求证: ?PBA ? ?PCA 。

A

P

B

D

E

C

- 46 -

第四十四题:证明垂直 如图, AB 为半圆 O 的直径, OC ? AB , C 在圆上, P 是 BA 延长线上一点, PD 切⊙ O 于 D , PE 平分 ?DPB ,分别交 AC 、 BC 于 E 、 F ,求证: ?EOF ? 90? 。

C D F E

P

A

O

B

- 47 -

第四十五题:证明角相等 如图, PA 为⊙ O 的切线, PBC 为⊙ O 的割线, AD ? OP 于点 D , ?ADC 的外接圆与 BC 的 另一个交点为 E ,求证: ?BAE ? ?ACB 。

A

I P B E C O

D

- 48 -

第四十六题:证明垂直
EF 交 BD 于 G , CE ? AB 于 E , CF ? AD 于 F , GC ? AC 。 如图, 平行四边形 ABCD 中, 求证:

G

A

F D

E

B

C

- 49 -

第四十七题:证明四点共圆 如图, ?ABC 内接于⊙ O , AD ? BC 于 D , AD 交 CO 于 E , F 为 AE 中点, FO 交 BC 于 H , CG ? AO 于 G ,求证: B 、 H 、 O 、 G 四点共圆。

A

F G O E B H D C

- 50 -

第四十八题:证明四点共圆 如图,I 是 ?ABC 内心, A 关于 BI 的对称点是 K ,E 为 BC 中点,F 为 BC 中点 EF 中点为 N , BI 中点为 M , MN 交 BC 于 D ,求证: A 、 K 、 D 、 M 四点共圆。

A

O M E B D N F

I

C

K

- 51 -

第四十九题:证明四点共圆 如图, H 为 ?ABC 的垂心, D 为 CH 中点, BE ? AD 于 E ,证明: B 、 C 、 E 、 H 四点共圆。

A

H

E

D B C

- 52 -

第五十题:证明角平分

已知 ?ABC ,内心为 I ,圆 O1 与边 AB 、 BC 相切,圆 O2 过 A 、 C ,且 O1 、 O2 外切与点 M 。 求证: ?AMC 的平分线过点 I 。

A

B O1

M

I

O2

C

- 53 -

第五十一题:证明线段相等 如图,⊙ O 为 ?ABC 外接圆, D 为弧 BAC 中点, E 为弧 BC 中点, CF ? AB 于 F ,连接 EF , 过 F 作 FG ? EF 交 DA 延长线于 G ,求证: CG ? CD 。

D

A

F O

G B C

E

- 54 -

第五十二题:证明两圆外切 如图, 如图,A 、B 、C 为⊙ O 上三点, 过 C 作 DC ? AC 交 AB 延长线于 D , 过 D 作 DE ? AO 交⊙ O 于 F ,交 AC 于 E ,过 B 、 E 、 F 三点的圆为⊙ P ,过 C 、 D 、 F 三点的圆为⊙ Q , 求证:⊙ P 与⊙ Q 外切于点 F 。

D

Q B P A O E C F

- 55 -

第五十三题:证明垂直 如图,如图, ?ABC 中, D 、 E 、 F 分别为 BC 、 CA 、 AB 中点,过 E 作 EM ? AC 交 AD 于 EM 、 FN 交于点 O , CM 、BN 交于点 K , OK ? AK 。 过 F 作 FN ? AB 交 AD 于 N , 求证: M,

A

F M O N K

E

B

D

C

- 56 -

第五十四题:证明垂直 如图,?ABC 中,D 为 BC 中点,⊙ O 过 A 、C 两点,且切 DA 于 A ,延长 BA 交⊙ O 于 E ,CE 延长线交 DA 于 F ,求证: FO ? BC 。

F

E

A

O

B

D

C

- 57 -

第五十五题:证明垂直

如图, AB 为⊙ O 直径, CB 切⊙ O 于 B , D 为弧 AB 上任一点, CD 交⊙ O 于 F , AD 、 OC 交于点 E ,连接 EB 、 FB ,证明: EB ? FB 。

E

C D F

A

O

B

- 58 -

第五十六题:证明垂直

如图,正方形 ABCD 与正方莆 EFGH ,EF 交 AB 于 J ,FG 交 BC 于 K ,GH 交 CD 于 L ,HE 交 DA 于 I ,求证: IK ? JL 。

H

A

I

D L

E

G

J B K C

F

- 59 -

第五十七题:证中点

如图, PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B 两点, C 为劣弧 AB 上一点, OC 交 AB 于 D ,过 C 点的 切线分别交 PA 、 PB 于 E 、 F , PD 交 EF 于 G ,求证: G 为 EF 中点。

P

E G C F A B

D

O

- 60 -

第五十八题:证明角相等

如图,⊙ P 、⊙ Q 交于 A 、 B 两点,它们的外公切线 CD 分别切⊙ P 、⊙ Q 于 C 、 D , E 为 BA 延长线上一点, EC 交⊙ P 于 F , ED 交⊙ Q 于 G , FG 分别交⊙ Q 、⊙ P 于 M 、 N ,求证:
?FCM ? ?GDN 。

E

D

C A

F

P M B N

Q G

- 61 -

第五十九题:证明角相等 如图,等腰 ?ABC 中, AB ? AC ,E 为 AC 中点,D 为 BC 上一点,使得 BD ? 2CD ,DF ? BE 于 F ,连结 CF ,求证: ?EFC ? ?ABC 。

A

E

F

B

D

C

- 62 -

第六十题:证明四点共圆 如图, ?ABC 中, D 、 E 分别为 AB 、 AC 上一点,且 DE // BC , BE 、CD 交于点 F ,O 、 P 、
Q 、 R 分别为 ?ADF 、 ?AEF 、 ?BDF 、 ?CEF 外心,求证: O 、 P 、 Q 、 R 四点共圆。

A

P O D E

F

B Q R

C

- 63 -

第六十一题:证明四点共圆 如图,?ABC 旁切圆⊙ I 分别切 BC 、 AB 、 AC 于 D 、E 、F ,ED 、FD 分别交 AI 于 M 、N , G 为 BC 中点, H 为 A 在 BC 上的垂足,求证: G 、 N 、 H 、 M 四点共圆。

A

M B E N D G H C

F I

- 64 -

第六十二题:证明四点共圆

如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O , AB 、 DC 交于点 E , AD 、 BC 交于点 F ,点 G 为 EF 中 点, AG 交⊙ O 于 K ,求证: C 、 K 、 F 、 E 四点共圆。

A

O

D B C E G F K

- 65 -

第六十三题:证明角相等 如图, AB 为半⊙ O 直径, CA ? AB 于 A , DB ? AB 于 B , EC 、 ED 分别为半⊙ O 的两条切 线, OF ? CD 于 F ,连接 EF ,求证: ?EFD ? ?FOB 。

E

C

F D

A

O

B

- 66 -

第六十四题:证明角的倍数关系 如图, AB 、 AC 分别切⊙ O 于 A 、B ,D 为 AB 延长线上一点,?ADC 的外接圆⊙ P 交⊙ O 于 E , BF ? CD 于 F ,求证: ?DEF ? 2?ADC 。

A

B P

C D F O

E

- 67 -

第六十五题:证明中点

如图,在⊙ O 中,直径 AB 垂直于弦 CD , E 是 OC 的中点, AE 的延长线交⊙ O 于点 F , DF 交 BC 于点 G 。求证: G 是 BC 的中点。

A

O E C D

F

G

B

- 68 -

第六十六题:伪旁切圆 如图, ?ABC 外接圆为⊙ O ,内切圆⊙ I 分别切三边于 D 、 E 、 F ,⊙ P 与⊙ O 外切于 J , A J ? ?C A D 。 且分别切 AB 、AC 于 G 、 连接 AD 并延长交⊙ P 于 K , 求证:AJ ? AK , 且 ?B H,

A F

O I

E D C

B J K G

H P

- 69 -

第六十七题:证明垂直 如图,⊙ O 为 ?ABC 外接圆, D 、 E 分别为 AB 、 AC 中点, H 为 ?ABC 垂心, DH 延长线交 ⊙ O 于 F , EH 延长线交⊙ O 于 G , DE 、 GF 交于点 I ,连接 AI ,求证: AI ? AO 。

A

D O

E

I

H F

B

C

G

- 70 -

第六十八题:证明平行 如图,?ABC 内接于⊙ O ,AC ? BC ,?ACB 平分线 CH 交⊙ O 于 H ,E 、F 分别为 AC 、BC 上一点, EF // AB , EF 交 CH 于 K , ?EFH 的外接圆⊙ P 交⊙ O 于 G , GK 交⊙ O 于 D ,求 证: CD // AB 。

D

C

O E P A G H B K F

- 71 -

第六十九题:证明圆心在某线上

如图,⊙ O 、⊙ P 交于 A 、 B 两点,过 O 的直线依次交⊙ P 于 C 、 D ,过 P 的直线信用证次 交⊙ O 于 E 、 F ,若 C 、 E 、 D 、 F 四点共圆,求证: (1)四边形 CEDF 的外接圆圆心在直 线 AB 上。 (2) AB 、 CD 、 EF 三线共点。

A

O C F B E

P

D

- 72 -

第七十题:证明三线共点 如图, ?ABC 中, D 为 BC 上一点, E 、 F 分别为 ?ABD 和 ?ACD 内心,以 E 为圆心, ED 为 半径作⊙ E ,以 F 为圆心, FD 为半径作⊙ F ,⊙ E 与⊙ F 交于点 G ,⊙ E 分别交 AB 、 BC 于 J 、 K ,⊙ F 分别交 AC 、 BC 于 M 、 N ,求证: JK 、 MN 、 GD 三线共点。

A

G M J B K F E D N C

L

- 73 -

第七十一题:证明垂直 如图, ?ABC 中, AD 、 BE 、 CF 是 ?ABC 的三条高线, H 为 ?ABC 的垂心, O 为 ?ABC 的 外心, ED 交 AB 于 M , FD 交 AC 于 N ,求证: OH ? MN 。

A

O F H B D E C

N

M

- 74 -

第七十二题:证明垂直
CD 中点,H 、I 分别为 ?AGD 如图, 四边形 ABCD 中,AC 、BD 交于点 G ,E 、F 分别为 AB 、 和 ?BGC 的垂心,求证: EF ? HI 。

D F C

G I H A B

E

- 75 -

第七十三题:证明中点 如图, ?ABC 中, O 为外心, H 为垂心, BD ? AC 于 D , CE ? AB 于 E , AG ? OH ,交 DE 于 F ,交 BC 于 G ,求证: F 为 AG 中点。

A

E F O D H

B

G

C

- 76 -

第七十四题:证明垂直 如图,平行四边形 ABCD 中, AC 、 BD 交于点 O ,CE ? BD 于 E , DF ? AC 于 F , FE 交 BA 延长线于 G ,求证: GO ? AD 。

G

A E O B F C

D

- 77 -

第七十五题:证明垂直 如图, Rt ?ABC 中, ?BAC ? 90? , E 、 D 分别 AB 、 AC 上一点, BD 、 CE 交于点 F , ?ABC 的外接圆⊙ O 交 ?AED 的外接圆⊙ P 于 G ,求证: AG ? GF 。

A

G

E P D F O B C

- 78 -

第七十六题:证明三线共点 如图, ?ABC 中, D 、 E 、 F 分别为 BC 、 CA 、 AB 上一点,且 AD 、 BE 、 CF 交于一点 P , G 、 H 、 I 分别为 BC 、CA 、 AB 中点, J 、 K 、 L 分别为 DE 、 EF 、 FD 中点,求证: GK 、 HL 、 IJ 三线共点。

A

I K F L P J

H E

B

D

G

C

- 79 -

第七十七题:证明平行

如图,五边形 ABCDE 中, AB // DE , AE // BC ,BD 、CE 交于点 P ,M 、N 分别为 BE 、CD 中点,连接 MN ,求证: MN // AP 。

A

E M B P N C D

- 80 -

第七十八题:证明平行

如图,四边形 ABCD 中, E 、 F 分别为 AD 、 BC 中点, G 为平面上一点,使得 BG // CD , CG // AB , AC 、 BD 交于点 H ,求证: EF // GH 。
A E D G

H

B

F

C

- 81 -

第七十九题:证明三线共点、证明垂直 如图, ?ABC 中, AD 平分 ?BAC 交 BC 于 D , DE 平分 ?ADB 交 AB 于 E , DF 平分 ?ADC 交 AC 于 F , EF 交 AD 于 G , CG 交 DE 于 H , BG 交 DF 延长线于 I , (1)求证: H 、 A 、 I 三点共线; (2)求证: AD ? HI 。

H

A I

E

G F

B

D

C

- 82 -

第八十题:证明三点共线(牛顿定理)

如图,完全四边形 ABCDEF 中, L 、 M 、 N 分别为 AC 、 BD 、 EF 中点,则 L 、 M 、 N 三 点共线。

A

L M B C

D

E

N

F

- 83 -

第八十一题:证明角平分 如图,⊙ O 为 ?ABC 外接圆, I 为内心,⊙ J 分别切 AB 、 AC 于 D 、 E ,与⊙ O 内切于 F , 求证: IF 平分 ?BFC 。

A

D O J B C I E

F

- 84 -

第八十二题:证明角相等 如图, O 为 ?ABC 外心,过 O 的直线分别交 AB 、 AC 于 D 、 E , F 、 G 分别为 BE 、 CD 中 点,求证: ?FOG ? ?A 。

A

D

O

E G C

F B

- 85 -

第八十三题:证明三点共线 如图, ?ABC 内接于⊙ O , L 为⊙ O 上一点, EL ? CL 交 AB 于 E , FL ? BL 交 AC 于 F ,求 证: E 、 O 、 F 三点共线。

A

E O

F

B L

C

- 86 -

第八十四题:证明四圆共点

已知四边形 ABCD 中, E 、 F 分别为边 AD 、 BC 上的点,且

AE BF ? ,射线 FE 与 BA 、 CD ED FC

分别交于点 S 、 T 。 ?SAE 、 ?SBF 、 ?TDE 、 ?TCF 的外接圆分别为⊙ O1 、⊙ O2 、⊙ O3 、 ⊙ O4 。 求证: (1)⊙ O1 、⊙ O2 、⊙ O3 、⊙ O4 四圆共点。 (2)四边形 O1O2O3O4 相似于四边形 ABCD 。

T X

O3 O1

S

O4 O2 E A D

B

F

C

- 87 -

第八十五题:证明角平分 如图,?ABC 中, AB ? AC , BD ? AC 于 D ,CE ? AB 于 E , F 为 BC 中点, AG ? AF 交 DE 延长线于 G ,连接 GF ,求证: AF 平分 ?GFC 。

G

A E

D

B

F

C

- 88 -

第八十六题:证明线段相等 如图, ?ABC 内接于⊙ O , H 为 ?ABC 垂心, D 为 BC 中点,连接 DH ,过 H 作 EF ? DH , 分别交 AB 、 AC 于 E 、 F ,连接 DE 、 DF ,求证: DE ? DF 。

A

E

O H F

B

D

C

- 89 -

第八十七题:证明角相等 如图, O 为 ?ABC 外心, H 为 ?ABC 垂心, CH 交 AB 于 D , DE ? OD 交 AC 于 E ,求证: ?EHD ? ?A 。

A

E D

O H

B

C

- 90 -

第八十八题:证明线段相等 如图, AD 为 ?ABC 的高, M 为 BC 中点,过 M 的一条直线分别交 AB 、 AC 于 E 、 F ,使得 AE ? AF , O 为 ?AEF 外心,求证: OM ? OD 。

A

O D E M

C

F

B

- 91 -

第八十九题:证明线段相等 如图, ?ABC 内接于⊙ O , BC 的中垂线分别交⊙ O 于 D 、 E ,交 BC 于 F ,过 F 作 AD 的平 行线,在该平行线上任取一点 G ,连接 EG ,过 G 作 MN ? EG ,分别交 AB 、 AC 于 M 、 N , 求证: GM ? GN 。

E A

N M O B C G

F

D

- 92 -

第九十题:证明线段相等 如图, ?ABC 内接于⊙ O , AD 平分 ?BAC 交⊙ O 于 D , E 为 BC 中点, F 为平面上一点,使 得 EF ? AD ,连接 DF ,过 F 作 MN ? DF ,分别交 AB 、 AC 于 M 、 N ,求证: FM ? FN 。

A

M O E B F

C

D N

- 93 -

第九十一题:证明中点 如图, ⊙ O 为 ?ABC 外接圆,BC 为⊙ O 直径,D 为弧 BC 上一点 (与 A 在 BC 异侧) ,DE ? BC 于 E , DF ? BA 于 F , EF 交 AD 于 G ,求证: G 为 AD 中点。

A F

G B O E C

D

- 94 -

第九十二题:证明四点共圆 如图, O 为 ?ABC 外心, D 为 BC 上一点, BD 中垂线交 AB 于 F , CD 中垂线交 AC 于 E ,求 证: A 、 F 、 O 、 E 四点共圆。

A

E

F O

B

D

C

- 95 -

第九十三题:证明西姆松定理及逆定理 (1) 如图, ?ABC 内接于⊙ O , P 为⊙ O 上一点, PD ? BC 于 D , PE ? CA 于 E , PF ? AB 于 F ,求证: D 、 E 、 F 三点共线。 (2) ?ABC 内接于⊙ O , P 为平面上一点, PD ? BC 于 D , PE ? CA 于 E , PF ? AB 于 F ,若 D 、 E 、 F 三点共线,则 P 、 A 、 B 、 C 四点共圆。

P

E A F

O B D C

- 96 -

第九十四题:证明线段的和差关系等式 如 图 , ⊙ O 的 三 条 弦 AB 、 CD 、 EF 交 于 点 P , 且 两 两 夹 角 为 60 ? , 求 证 : AP ? EP ? DP ? CP ? BP ? FP 。

A F C

P E O

D

B

- 97 -

第九十五题:证明角相等

如图,已知 PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B 两点, PCD 为⊙ O 的一条割线, E 有 AB 中点,求 证: ?ACD ? ?BCE 。

A D C

P

E

O

B

- 98 -

第九十六题:证明托勒密定理及逆定理 (1)如图, ABCD 为⊙ O 内接四边形,求证: AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 。 (2)四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD ,求证: A 、 B 、 C 、 D 四点共圆。

A B

O C D

- 99 -

第九十七题:证明线段的和差关系等式 如图, ?ABC 中, O 为外心, I 为内心, OI ? AI ,求证: AB ? AC ? 2 BC 。

A

I

O

B

C

- 100 -

第九十八题:证明角相等 如图,四边形 ABFD 中, C 、 E 分别为 BF 、 DF 上一点,且 ?BAC ? ?DAE , BE 、 CD 交于 点 G ,连接 AG ,求证: ?FAC ? ?GAE 。

A

D B G C E

F

- 101 -

第九十九题:证明四点共圆 如图,?ABC 内切圆⊙ I 分别切 BC 、CA 、 AB 于 D 、E 、F ,K 为 ?ABC 内一点,使得 ?KBC 内切圆⊙ J 切 BC 于 D ,分别切 KB 、 KC 于 M 、 N ,求证: E 、 F 、 M 、 N 共圆。

A

F M I J B

K N E

D

C

- 102 -

第一百题:证明两三角形共内心
DE 分别交于 B 、 BD 交 AC 于 G , C, 如图, ?ADE 中, 过 AD 的圆 O 与 AE 、 直线 OG 与 ?ADE 外接圆交于 P 。求证: ?PBD 、 ?PAC 共内心。

A

O G

B

P

D

C

E

- 103 -


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