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高考数学数列专题练习


高考专题训练----数列(1)
一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =
2

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.

2

2 2.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(A)38

(B)20

(C)10

(D)9

.

3.已知 {an } 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于 A. ?1 B. 1 C. 3 D.7

4. (江西卷文) 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等 于 A. 18

B. 24

C. 60

D. 90

.

5.(湖南卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 A.13 B.35 C.49 D. 63

6.(福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 A.1 B

5 3

C. ?2

D3

7.(2009 辽宁卷文)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= (A) ?2 (B)-

1 2

(C)

1 2

(D)2

8.(2009 辽宁卷理)设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S6 S =3 ,则 9 = S3 S6

(A) 2

(B)

7 3

(C)

8 3

(D)3

9.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s 4 = (A)7 (B)8 (C)15 (D)16

10.(2009 四川卷文)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的 前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

11.(2009 重庆卷文)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项 和 Sn =

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

12.(2009 安徽卷理)已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项 和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是 (A)21 二、填空题 (B)20 (C)19 (D) 18

13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 14.(2009 浙江文)设等比数列 {an } 的公比 q ?

. . ;

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4

15.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则 a5 ? 前 8 项的和 S8 ? .(用数字作答)

16.(全国卷Ⅱ文)设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 = 三解答题

.

17.(全国卷Ⅱ文) 已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 Sn .

.

18.(2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式.
;

高考数学数列专题训练一答案
1B 2C 3B 4C 5C 6C 7B 8 B 9 B 10 B 11 A 12 B 13. 24 14. 15 15. 16;
17 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则
.

255 16.3

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?
即?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?4d

解得 ?

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 18 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , ..① .

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② .. ②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , 2 2 4 4 4

an ? (3n ?1) ? 2n?2

高考专题训练----数列(1)
1、记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a2 ? a4 (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )令 bn

? 6, S4 ? 10 .

? an ? 2n (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,由 a2 ? a4 ? 6, S4 ? 10 ,

?2a1 ? 4d ? 6 ? 可得 ? 4?3 ?4a1 ? 2 d ? 10 ?

,即 ?

?a1 ? 2d ? 3 ?a1 ? 1 , 解得 ? , ?d ? 1 ?2a1 ? 3d ? 5

∴ an ? a1 ? ? n ?1? d ? 1 ? (n ?1) ? n ,故所求等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n (Ⅱ)依题意, bn ? an ? 2 ? n ? 2 ,
n n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3? 2 ? ? ? (n ?1) ? 2
2 3 2 2Tn ? 1? 2 ? 2 2? ? 42 ? 3 3 ?

n?1

? n ? 2n
n?

n ?? n ? ? 1 ) n ? ( ?2

, 2

1

∴ ?Tn ? (2 ? 2 ? 2 ? ?? 2
2 3

n?1

? 2n ) ? n ? 2n?1

?

n 2 ? 1? 2 ?

1? 2

? n ? 2n?1

? ? ( 1 ?n ) ? n21 ? 2

∴ Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 .

2、设数列

?an? 的前 n 项和为 S

n

,且 Sn ? 4an ?

p ,其中 p 是不为零的常数.

?an? 是等比数列; * (2)当 p=3 时,若数列 ?bn? 满足 bn ? 1 ? bn ? an(n ? N ) , b1 ? 2 ,求数列 ?b ? 的通项公式.
(1)证明:数列
n

( 1 ) 证 : 因 为 Sn=4an– p ( n ? N* ) , 则 Sn

– 1

= 4an

– 1

– p ( n ? N*



n ? 2),所以当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 4an ? 4an?1 ,整理得 an ?

4 an ?1 3 p . 3

由 Sn=4an– p,令 n ? 1 ,得 a1 ? 4a1 ? a ,解得 a1 ? 所以 ?an ? 是首项为

4 p ,公比为 的等比数列. 3 3 4 n ?1 (2)解:因为 a1=1,则 an ? ( ) , 3 4 n ?1 由 bn?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) ,得 bn ?1 ? bn ? ( ) , 3
当 n ? 2 时,由累加得

bn ? b1 ? (b2 ? b`1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )
4 1 ? ( ) n ?1 4 3 =2? ? 3( )n ?1 ? 1 , 4 3 1? 3
当 n = 1 时,上式也成立.

?4? 因此数列 ?bn? 的通项公式为 bn ? 3 ? ? ?3?

n ?1

?1

3、已知数列 ?an ? 满足: an ? an?1 ? 2an?2 ,且 a1 ? 1, a2 ? 2 , n ? N .
*

(Ⅰ )设 bn

? an?1 ? an ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列;

(Ⅱ )求 ?an ? 的通项公式. 解: ) an ? an?1 ? 2an?2 ,即 (Ⅰ

2an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?1 ? ?
即 bn ?1 ? ?

1 ? an?1 ? an ? 2

1 bn ,又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , 2

故数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 ?

1 的等比数列. 2

? 1? (Ⅱ )根据(Ⅰ )知, bn ? ? ? ? ? 2?
即 an ? an ?1 ? ? ? ?

n ?1

? 1? ? 2?

n?2

; an?1 ? an?2 ? ? ? ?

? 1? ? 2?

n ?3

…; a3 ? a2 ? ? ? ? ; a2 ? a1 ? ? ? ?

? 1? ? 2?

? 1? ? 2?

0

把上面 n ? 1 个式子相加得:

? 1? 1? ? ? ? n?2 n ?3 1? 1? 1? 2? ? ? ? an ? a1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 2? 2? 2? ? ? ? 1? 2
即 an ?

n ?1

5 2? 1? ? ?? ? 3 3? 2?

n ?1

4、已知数列 {an } 的各项均为正数,前 n 项和为 Sn ,且

Sn ?

an (an ? 1) , n ? N? . 2

(1)求证:数列 {an } 是等差数列; (2)设 bn ?

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求Tn . 2Sn
an (an ? 1) , n ? N? , 2

解: (1) S n ?

当 n ? 1时,
2 ?2Sn ? an ? an ? 2 2 ? 2an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 ? 2 ?2Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1 ?

a (a ? 1) S1 ? 1 1 , 2

? a1 ? 1

? (an ? an 1 ) (an ? a?1 ?1 ) ? 0 , ? an ? a1 ? n ?n

, ? 0

,所以数列 {an } 是等差数列 ? an ? an?1 ? 1, n ? 2) ( (2)由(1)得 an ? n, Sn ?

n(n ? 1) 1 1 , 所以bn ? ? 2 2Sn n(n ? 1)
1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 2 3 n n ?1 1 ? 1? n ?1 n ? n ?1 ? 1?

a 5、已知等比数列 {an } 中, 2 , a3 , a 4 分别是某等差数列的第 5 项、 3 项、 2 项, a1 ? 第 第 且
(1)求数列 {an } 的通项公式;

1 , 公比 q ? 1. 2

2 (2)已知数列 {bn } 满足 bn ? log 1 an , S n 是数列 {bn } 的前 n 项和,求证:当 n ? 5时, an S n 2

? 1.

解: (1)由已知得 a2

? a3 ? 2(a3 ? a4 ) ,从而得

2q 2 ? 3q ? 1 ? 0
解得 q ?

1 1 n 或q ? 1 (舍去) ,所以 a 4 ? ( ) . 2 2

(2)∵ bn ? 2 log 1 ( ) ? 2n ? S n ? n(n ? 1), a n S n ?
n 2

1 2

n(n ? 1) . 2n

∴所证不等式等价于: 2

n

? n(n ? 1) (n ? 5.)

用数学归纳法证明如下: ①当 n=5 时,因为左边=32,右边=30,所以不等式成 立;
k ②假设 n ? k (k ? 5) 时不等式成立,即 2 ? k (k ? 1), 则

两边同乘以 2 得 2

k ?1

? (k ? 1)(k ? 2).

这说明当 n=k+1 时也不等式成立。 由①②知,当 n ? 5时2 ? n(n ? 1) 成立。
n

因此,当 n ? 5时, an S n ? 1 成立。

6、在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , S n 为其前 n 项和,若点 ?an , S n S n?1 ??n ? 1? 在直线 x+y=0 上, (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ?

2n ,其前 n 项和为 T n ,求 T n Sn

解: (1)? 点 ?an , S n S n?1 ? 在直线 x+y=0 上,

? an ? S n S n?1 ? 0 ,
? 当n ? 2时,a n ? S n ? S n ?1 , ? S n ? S n ?1 ? S n S n ?1 ? 0, ? 1 1 ? ? 1, S n S n ?1
? Sn ? 1 , n

?1 ? 1 1 ? ? ?为等差数列,首项 = ? 1 ,公差d ? 1, S1 a1 ? Sn ? 1 1 ? ? ? ?n ? 1?d ? n, Sn S1

当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1 ?
n ?1 ? 1, ? ?a n ? ?1 ; 1 ? n ? n ?1 , n ? 2 ?

1 1 ? , n n ?1

(2)? bn ?

2n ,? bn ? n ? 2 n , Sn

? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? n ? 2 n , ? 2Tn ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 , ? Tn ? 2Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 , 2 ? 1 ? 2n ? n ? 2 n ?1 , 1? 2 ? Tn ? ?1 ? n ? ? 2 n ?1 ? 2 ? ?Tn ?
7、已知数列 {an },{ n }满足 a1 ? 2 , 2an ? 1 ? an an?1 , bn ? an ?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,令 b

?

?

Tn ? S2 n ? Sn .
(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求证: Tn?1 ? Tn (n ? N ) .
?

解: (Ⅰ)由 得

得 整理得

从而有

?1? ? ? ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ?bn ?

?

1 ? n, bn

?bn ?

1 n

(Ⅱ)证明: S n ? 1 ?

1 1 ? .... ? , 2 n

8、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式. 解:由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn ;
n

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1 ,即
n

an?1 ? ban ? 2n ①
(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n , 于是

an?1 ? ? n ?1? ? 2n ? 2an ? 2n ? ? n ?1? ? 2n
? 2 ? an ? n ? 2 n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由①得

n?1

an ?1 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b ? ban ? b 1 ? ? ? 2 n ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?





an?1 ?

1 1 ? ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

?

2 ?1 ? b ? n ?b 2?b







n ?1 ? 2 ? an ? ? 1 n n ?1 n?2 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?


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