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2015届广东高考(理科)数学四大题考前限时训练(01-10套)精编版

时间:2015-03-05


2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 1
16. (12 分)已知向量 a ? (sin x , 3 ) ,b ? (cos x , ?1) . 2 (1)当 a // b 时,求 2cos2 x ? sin 2 x 的值; (2)求 f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 [?

?

?

?

?
2

, 0] 上的值域.

17. (12 分)某次体能测试中,规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试,一旦测试通 过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止,已知运动员甲的每次通过率为 0 .7 (假 定每次通过率相同) ,设运动员甲参加测试的次数为 ? . (1)求运动员甲最多参加两次测试的概率(精确到 0.1 ) ; (2)求 ? 的分布列及数学期望.

1

18. (14 分)如图,四面体 ABCD 中,O 是 BD 的中点,CA ? CB ? CD ? BD ? a AB ? AD ? (1)求证:平面 AOC ? 平面 BCD ; (2)求二面角 O ? AC ? D 的平面角的余弦值.

2 a. 2

A

D O

B

C

19. (14 分)函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,且 f (1) ? (1)当 n ? N ? 时,求 f (n) 的表达式;

1 . 2

(2)设 an ? nf (n), n ? N ? ,求证: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 ; (3)设 bn ? (9 ? n)

f (n ? 1) , n ? N ? , S n 为 bn 的前 n 项和,当 S n 最大时,求 n 的值. f ( n)

2

2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 2
16. (12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,已知 a10 ? 20 , S20 ? 410 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 Sn ? 155 ,求 n .

17. (12 分)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 的圆心在点 C ,点 A(3,5) . (1)求过点 A 的圆的切线方程; (2) O 点是坐标原点,连结 OA , OC ,求 ?AOC 的面积 S .

3

18. (14 分)设平面上向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , (0 ? ? ? 2? ) , b ? (? , (1)求证:向量 a ? b 与 a ? b 垂直; (2)当两个向量 3 a ? b 与 a ? 3b 的模相等时,求角 ? .

1 3 ) , a 与 b 不共线. 2 2

19. (14 分)设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 24a2 x ? b 有正的极大值和负的极小值,其差为 4. (1)求实数 a 的值; (2)求 b 的取值范围.


4

2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 3
16. (12 分)已知向量 m ? ( 3sin 2x ? 2, cos x) , n ? (1, 2cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n . (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,若 f ( A) ? 4 ,b ? 1 , ?ABC 的面积为 的值.

3 ,求 a 2

17. (12 分)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 am , am?2 , am?1 (m ? N ? ) 成等差数列,试判断

Sm , Sm?2 , Sm?1 是否成等差数列,并证明你的结论.

5

18. (14 分)正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均为 2, P 是侧棱 AA1 上任意一点. (1)求正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积; (2)判断直线 B1P 与平面 ACC1 A1 是否垂直,请证明你的结论; (3)当 BC1 ? B1P 时,求二面角 C ? B1P ? C1 的余弦值.
P A1 B1 C1

A

C

B

19. (14 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 1 1 , an an ?1 ? ( ) n (n ? N ? ) . 2 2 4

(2)若数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 ,且 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?

1 ? anbn ,求证: Tn ? 3 . 2

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2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 4
16. (12 分)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中 5 个项目的比赛.已知该运 动员在这 5 个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是 0.8,那么在本次运动会上: (1)求该运动员至少能打破 3 项世界纪录的概率; (2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为 ? ,求 ? 的数学期望 E? (即均值) .

17. (12 分)已知向量 a ? (2cos2 x , 3) , b ? (1,sin 2x) ,函数 f ( x) ? a ? b , g ( x) ? b . (1)求函数 g ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,且 f (C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 ,且 a ? b , 求 a , b 的值.

2

7

18. (14 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 3 , AC ? AB ? 4 , PB ? PC ? BC ? 5 , D , E 分别 是 BC , AC 的中点, F 为 PC 上的一点,且 PF : PC ? 3 :1. (1)求证: PA ? BC ; (2)试在 PC 上确定一点 G ,使得:平面 ABG / / 平面 DEF ; (3)在满足(2)的情况下,求二面角 G ? AB ? C 的平面角的正切值.
P

A E

F D C

B

1 19. (14 分)已知函数 f ( x ) ? (a ? ) x 2 ? ln x ( a ? R ). 2
(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最大值和最小值; (2)若在区间 (1, ??) 上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围.

8

2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 5
16. (12 分)已知 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 的图象如图,其中 A ? 0 , ? ? 0 , ? (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)说明 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换得到的?

?
2

?? ?

?
2



y

4

O

?
6

?

x

?4

17. (12 分)旅游公司为 3 个旅游团提供了 4 条旅游线路,每个旅游团只能任选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (2)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

9

18. (14 分)已知一动圆 M 恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2) 探究在曲线 C 上, 是否存在异于原点的两点 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) , 当 y1 y2 ? ?16 时, 直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

19. (14 分)如图,在四面体 ABCD 中, O , E 分别是 BD , BC 的中点,且 CA ? CB ? CD ? BD ? 2 ,

AB ? AD ? 2 .
(1)求证: AO ? 平面 BCD ;
A

(2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 E 到平面 ACD 的距离.

D O

B

E

C

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2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 6
16. (12 分) 锐角 ?ABC 中, 已知内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 向量 m ? (2sin( A ? C), 3) ,

? B ? , n 共线. n ? ? cos 2B , 2cos2 ? 1? ,且向量 m 2 ? ?
(1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 1 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值.

17. (12 分)某市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府,已知从新市政府到老市 政府有两条公路, 汽车走公路①堵车的概率为

1 3 , 不堵车的概率为 ; 汽车走公路②堵车的概率为 p , 4 4

不堵车的概率为 1 ? p .若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公路②,且三辆车是否 堵车相互之间没有影响. (1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为

7 ,求走公路②堵车的概率; 16

(2)在(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数 ? 的分布列和数学期望.

11

18. (14 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? CD ,侧面 PCD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯 形,

AB / /CD , ?ADC ? 900 , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .
(1)求证: BC ? 平面 PBD ; (2)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定的值,使得二面角 Q ? BD ? P 的大小为 450 .

P Q

D C

A

B

19. (14 分)已知 f ( x) ? ax ? ln x , x ? (0, e] , g ( x) ? (1)讨论 a ? 1 时, f ( x) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R . x

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

12

2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 7
16. (12 分)已知函数 f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

17.(12 分)如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上, AB // EF ,矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 (1)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; (2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (3)当 AD 的长为何值时,二面角 D ? FE ? B 的大小为 60? ?

13

18. (14 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分(无平局) ,比赛进行到

1 有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ( p ? ) ,且各局胜负相互 2 5 独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . 9
(1)若下图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总得分数 S , T 的程序框图.其中如果甲获胜,输 入 a ? 1 , b ? 0 ;如果乙获胜,则输入 a ? 0, b ? 1 .请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什 么条件? (2)求 p 的值; (3)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

19. (14 分)已知函数 f ( x) ? a ln(1 ? 2 x) ? x 2 ,其中 a ? 0 , x ? (0, 1] . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若不等式 1 ? n 2 ? ? n 2 ln(1 ?

2 ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围. n

14

2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 8
16. (12 分)在 ?ABC 中, cos B ? ? (1)求 sin A 的值; (2)设 ?ABC 的面积 S ?ABC ?

5 4 , cos C ? . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2

17. (12 分)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A , B , C , D 四个不同的岗位服务,每个岗位至 少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.

15

18. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 , AA1 ? 4 ,点 D 是

AB 的中点.
(1)求证: AC ? BC1 ; (2)求证: AC1 / / 平面 CDB1 ; (3)求二面角 C1 ? AB ? C 的正切值.
A1 C1 B1

C B D A

19. (14 分)已知函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2 x2 ? b , x ? R ,其中 a, b ? R . (1)当 a ? ?

10 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

16

2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 9
16. (12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,且 a ? 4 , C ? 2 A , cos A ? (1)求 sin B ; (2)求 b 的长.

3 . 4

17. (12 分) 某商场为刺激消费, 决定按以下方案进行促销: 顾客每消费 500 元便得到抽奖券一张, 每张抽奖券的中奖概率为

1 ,若中奖,商场返回顾客现金 100 元.某顾客现购买价格为 2300 的台 2

式电脑一台,得到奖券 4 张. (1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ? ,求 ? 的分布列; (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为? (元) ,用 ? 表示? ,并求? 的数学期望.

17

18. (14 分) 如图 1, 平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称,?A ? 600 , ?C ? 900 ,CD ? 2 . 把 ?ABD 沿 BD 折起(如图 2) ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值等于 (1)求 A , C 两点间的距离; (2)证明: AC ? 平面 BCD ;
图2 B D

3 .对于图 2,完成以下各小题: 3 C A

(3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.
C

图1 A B D

19. (14 分)已知定点 D(1, 0) , M 是以点 C 为圆心的圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 8 上的动点,点 P 在 DM 上, 点 N 在 CM 上,且满足 DM ? 2DP , NP ? DM ? 0 .动点 N 的轨迹为曲线 E . (1)求曲线 E 的方程; (2)线段 AB 是曲线 E 的长为 2 的动弦, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积 S 的取值范围.

18

2015 届广东高考(理科)数学大题限时训练 10
16. (12分)已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2 (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

17. (12分)根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表: API 0-50 51-100 101-150 151-200 201-250 251-300 >300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况 优 良 轻度污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染

对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测,获得的 API 数据按照区间 [0,50] , (50,100] ,

19

(100,150] , (150,200] , (200,250] , (250,300] 进行分组,得到频率分布直方图如图 5.
(1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; ( 3 )求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知 , 2 7 ? 128, 57 ? 78 125

3 2 7 3 8 123 , 365 ? 73 ? 5 ) ? ? ? ? ? 1825 365 1825 1825 9125 9125
频率 组距

x
2 365 7 1825

3 1825 8 9125

O

50

100 150 200 250 300 API

18. (14 分) 如图, 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 E 是正方形 BCC1B1 的中心, 点 F ,G 分别是棱 C1D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点 E , G 在平面 DCC1D1 内的正投影. (1)求以 E 为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ? 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值.
D1 F C1

A1 B1 E1 G1 E G D C

A 20

B

19. (14 分)若曲线 C : y ? x2 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) ,且 xA ? xB .记 曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 (含边界) 为D . 设点 P( s, t ) 是 L 上 的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x 2 ? 2ax ? y 2 ? 4 y ? a 2 ?

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

21

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