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036导学案:单位圆与诱导公式(二)


阜南一中博雅 1+1 高效课堂导学案 编制人:_______ 审核人:________ 领导签字:__________ 编号:____时间:





日 小组:_____ 姓名:______ 组内评价:______ 教师评价:______

§1.4.3 节单位圆与诱导公式(二)
【学

习目标】 1.理解诱导公式 1.13、1.14 的推导过程,掌握公式的内涵及结构特征,牢固掌握七组诱导公 式,熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明。 2.通过自主学习,合作探究,培养学生的观察力、分析归纳能力,学会用诱导公式求值、化 简及恒等式证明。 【重点】 诱导公式的推导及应用。 【难点】 运用诱导公式求三角函数值,化简三角函数式,证明简单的三角恒等式。 【使用说明】1.请同学们认真阅读课本第函数 18-20 页,划出重要知识,参考辅导资料,自主高效预习, 提升自己的阅读理解能力; 2.完成教材助读设置的问题, 然后结合课本的基础知识和例题, 完成预习自测;3.将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑”处.

三.预习自测
1. sin 950 ? cos1750的值为( )

A. sin 50

B. c o 5 s0

C .0

D.2 s i n 50

2.已知 sin 100 ? k , 则cos6200的值等于( ) A.k B.-k C. ? k D.不能确定

【我的疑问】对预习自学的内容,你有什么疑问?

【预习案】
一.相关知识
诱导公式 1.8~1.12

【探究案】
一.质疑探究——质疑解疑、合作探究 (一)基础知识探究 【探究点】利用诱导公式求值

二.教材助读
? sin(? ? ) ? , 因此, 2

1.在直角坐标系的单位圆中.锐角 α 的终边与单位圆的交点 P(a,b),则角 2 +? 的终边与单位圆的交点 P ,


?

例 1.求下列函数值:
3? ? () 1 sin( ? 2 4 )
(2) sin( ? 43? ) 6
(3) sin 2? ? 13? 7? cos(? ) ? sin cos 3 4 6 4

则点 P 的坐标为 2. 如何得到 sin(





, cos(

? ?? )?
2



(公式 1.13)

?
2

? ? ) ? cos ? , cos(

?
2

? ? ) ? sin ? (公式 1.14)这两个等式?

方法 1. 利用公式 1.11 和 1.13: sin( ? ? ? ) ? sin ?? ? (? ? ? ) ? ? ? 2 2 ? ? ?
cos(

= =

。 。

?

? ? ? ? ? ) ? cos ?? ? (? ? ) ? ? 2 2 ? ?

方法 2:任意角 ? 与 ? ? ? :的终边关于
2

对称。角 ? 的终边与单位圆的交点坐标为 P(a,b),则角 ,由此可得到公式 1.14

?
2

(二)知识综合应用探究 【探究点一】条件求值
5? sin( ? ? ) 2 5 ? 3 5? 2 例2.(1)已知: sin ? ? , 求 sin(? ? ? ) ? . (2)已知: cos( ? ? ) ? , 求 cos( ? ? )的值。 5? 5 6 3 6 cos( ? ? ) 2

? ? 的终边与单位圆的交点P'的坐标为

公式 1.8~1.14 叫做正弦函数、余弦函数的诱导公式。 归纳总结:诱导公式可以概括为: k ?

?
2

? ? (k ? Z ) 的正弦、余弦函数值。当 k 为偶数时,得角 ? 的同名

函数值;当 k 为奇数时,得角 ? 的余名函数值。然后前面加上把 ? 看成锐角时原函数值的符 号,记忆口诀为:“奇变偶不变,符号看象限”。 3.利用诱导公式可以将任意角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的问题。转 化过程为:
任意负角的正 弦、余弦函数

(

)

任意正角的正 弦、余弦函数

(

) 0 ~ 2? 角 的 正
弦、余弦函数

(

) 锐角的正弦、
余弦函数 第 1 页 共 1 页

拓展提升:设自然数 k 是 4 的整数倍数加 1,且 coskx ? f (cosx) ,求证: sin kx ? f (sin x).

【我的收获】 (反思静悟、体验成功)

【练习案】
【探究点二】化简;运用诱导公式证明
3? sin(? ? ? ) cos(5? ? ? ) cos( ? ? ) sin(? ? 3? ) ? cos(? ? 4? ) sin(4? ? ? )cos(2? ? ? ) 2 例 3. ()化简: 1 (2)求证: ? sin( ?? ? ? )sin(5? ? ? ) cos( ?? ? ? ) cos(? ? ? ) sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? )
1.若 sin(? ? ? ) ? ? 1 , 则 cos( ? ? ? ) 等于( 2 3 1 2 2 1 A. C. B. ? 3 3 3 )
D. ? 2 2 3

? 3 2.若 sin(? ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ?a, 则 cos( ? ? ? ) ? 2sin(2? ? ? )的值为( 2 2 2 3 3 2 C. a D. a B. ? a A. ? a 3 2 2 3
x ? ), 则下列不等式中正确的是( ) 2 3 A.f(1)<f(2)<f(3) B.f(2)<f(1)<f(3) C.f(2)<f(3)<f(1)



3.已知 f ( x) ? 3 sin(

?

?

D.f(3)<f(2)<f(1)

0 4.已知 f (cos x) ? cos3x, 则 f (sin 30 ) 的值是( )

A.1

B.

3 2

C.0

D.-1

二.我的知识网络图——归纳梳理、整合内化
求值 诱导公式 化简证明

5.在

ABC 中下列表达式为常数的是( )

A.sin( A ? B) ? sin C

B. cos(B ? C ) ? cos A

C. sin

A? B 2

D. cos

B?C A ? sin 2 2

6.设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 (a, b, ? , ?均为非零实数),若 f (2005 ) ? 6, 则 f (2008 )? 7. 【★】若 sin(


?

三.当堂检测——有效训练、反馈矫正
1.已知 sin(? ? ) ? 1 , 则 cos( ? ? 7? ) 的值等于_____________。 12 3 12
3? 2.已知 sin(? ? ? ) ? 3 , 则 sin( ? ? ) 的值为( 4 4 2

?

)
3 2

A.

1 2

B. ?

1 2
?

C.

3 2

? ? ) ? cos( ? ? ? ), 则 α 的取值集合为( ) 2 ? ? ? D.{? ? ? k? ? , k ? Z } B. . ? { ? ? k ?? ,k ? Z } C.{? ? ? k? , k ? Z} A.{? ? ? 2k? ? , k ? Z } 2 4 4 8.【★★】已知 cos( 75 0 ? ? ) ? 1 , 其中 α 为第三象限角求 cos( 1050 ? ? ) ? sin(? ?1050 ) 的值。 3

D. ?

3.化简:

sin 2 (? ? ) 2 . 3? cos(? ? 3? ) sin( ? ? ) 2

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