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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 第47课 数列求和(2) 文


第 47 课 数列求和(2)
{ 1. (2012 天津高考) 已知 {an } 是等差数列, 其前 n 项和为 S n , bn } 是等比数列,a1 ? b1 ? 2 , a4 ? b4 ? 27 , S4 ? b4 ? 10 .
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)记 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ???

? anbn ;证明: Tn ? 8 ? an ?1bn ?1 (n ? N , n ? 2) .
*

【解析】(1)设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q , ∵ a1 ? b1 ? 2 , ?

?a4 ? b4 ? 27 , ? S 4 ? b4 ? 10

∴?

? 2 ? 3d ? 2q 3 ? 27 ? , 3 ? 4a1 ? 6d ? 2q ? 10 ?

解得 d ? 3, q ? 2 ,
* ∴ an ? 3n ? 1 , bn ? 2 , n ? N .
n

(2) Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ? anbn , ∴ Tn ? 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? 8 ? 2 ? ??? ? (3n ? 1) ? 2 ,①
2 3 n

2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? 8 ? 24 ? ??? ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ,②
① ? ②,得

?Tn ? 2 ? 2 ? 3(22 ? 23 ? ??? ? 2n ) ? (3n ? 1) ? 2n ?1

? 4 ? 3?

4(1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 1) ? 2n ?1 1? 2

? ?(3n ? 4) ? 2n?1 ? 8 ,
∴ Tn ? (3n ? 4) ? 2
n ?1

? 8 ,∴ Tn ? 8 ? (3n ? 4) ? 2n ?1 ,
n ?1

当 n ? 2 时, an ?1bn ?1 ? [3(n ? 1) ? 1] ? 2 ∴当 n ? 2 时, Tn ? 8 ? an ?1bn ?1 .

? (3n ? 4) ? 2n ?1 ,

1

2. (2012 江西高考)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? kc ? k (其中 c, k 为常数) a2 ? 4 , ,且
n

a6 ? 8a3 .
(1)求 an ; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 【答案】 【解析】(1)∵当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? kc ? k , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? k (c ? c
n n ?1

),

∴ a6 ? k (c ? c ) , a3 ? k (c ? c )
6 5 3 2

∵ a6 ? 8a3 ,∴ k (c ? c ) ? 8k (c ? c ) ,
6 5 3 2

当 k ? 0 或 c ? 1 时, Sn ? 0 ,且 an ? 0 , ∵ a2 ? 4 ,∴ k ? 0 且 c ? 1 ,∴ c ? 2 , ∵ a2 ? 4 ,∴ k (c ? c ) ? 4 ,∴ k ? 2 ,∴ an ? 2 ,
2 1
n

当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 2 ,
1

综上所述 an ? 2 (n ? N ) .
n *

(2) nan ? n2 ,则
n

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ,① 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ??? ? n ? 2n ?1 ,②
① ? ②,得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n)2n ?1 ? 2 1? 2
n ?1

∴ Tn ? 2 ? (n ? 1)2



2

3. (2012 惠州调研)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ? N ,有 an ?
*

2 ( S n ? n) . 3

(1)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {n ? an } 的前 n 项和 Tn . 【解析】 (1)∵ 对任意 n ? N ,有 an ?
*

2 ( S n ? n) , 3

2 2 ( S1 ? 1) ? (a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 . 3 3 2 3 又由 an ? ( Sn ? n) ,得 Sn ? an ? n . 3 2
∴ a1 ? 当 n ? 2 且 n ? N 时,
*

有 an ? Sn ? Sn ?1 ? ( an ? n) ? [ an ?1 ? (n ? 1)] ? 即 an ? 3an ?1 ? 2 , ∴ an ? 1 ? 3(an ?1 ? 1) ,

3 2

3 2

3 3 an ? an ?1 ? 1 , 2 2

∴ {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 3 为首项, 3 为公比的等比数列. 需验证 n 取 1, 2 时也成立. ∴ an ? 1 ? 3 ? 3
( n ?1)

,有 an ? 3 ? 1 .
n n

∴数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 1 . (2)由(1)得, nan =n(3 ? 1) ? n ? 3 ? n ,
n n

设数列 n ? 3

?

n

?

的前 n 项和为 K n ,
2 3 n

则 K n =1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3
1 2 3 4

∴ 3K n =1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 3 ? n ? 3
n

( n ?1)



两式相减,得

?2 K n ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
1 2 3 4 n

( n ?1)

3(1 ? 3n ) ? ? n ? 3( n ?1) , 1? 3

∴ Kn ?

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 , 4
n(n ? 1) (2n ? 1) ? 3 n ?1 ? 2n(n ? 1) ? 3 . ? 2 4

∴ Tn ? K n ?

3

4. (2012 安徽高考)设函数 f ( x) ?

x ? sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 2

{x n } .
(1)求数列 { x n } 的通项公式; (2)设 { x n } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n .

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? 得:当 x ? 2k? ? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值, 3 2? 得: xn ? 2n? ? . 3 2? (2)由(1)得: xn ? 2n? ? . 3 2n? 2n? . Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 3 3
【解析】 (1) f ( x) ? 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ,
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ? sin
*

2? 3 ? , 3 2 4? 3 ?? , 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
* *

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0 , 当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ?
*

3 , 2 3 . 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ?
*

4

5. (2012 湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有 资金 2000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50 %.预计以后每年资金年增长 率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金 全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (1)用 d 表示 a1 , a2 ,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m ? 3) 年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示) . 【解析】 (1) a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (2)∵ an ?1 ? an ? d , 2 3 ∴ an ?1 ? 2d ? (an ? 2d ) , 2 a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?
∴数列 {an ? 2d } 是以 a1 ? 2d ? 3000 ? 3d 为首项,以 ∴ an ? 2d ? (3000 ? 3d ) ? ( ) ∴ an ? (3000 ? 3d ) ? ( ) 由题意, an ? 4000 , ∴( )

3 为公比的等比数列, 2

3 2

n ?1



3 2

n ?1

? 2d .

3 2

n ?1

(3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000

? 3 n ? ?( 2 ) ? 2 ? ?1000 1000(3n ? 2n ?1 ) ? ? ∴d ? . ? 3 n 3n ? 2n ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

1000(3n ? 2n ?1 ) 时, 3n ? 2n

经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为 4000 元.

5

6. (2012 湖北高考)已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (1)求等差数列 {an } 的通项公式; (2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 { an } 的前 n 项和. 【解析】 (1)设等差数列 {an } 的公差为 d , 则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d , 由题意得 ?

?3a1 ? 3d ? ?3 , ? a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8

解得 ?

? a1 ? 2 ? a1 ? ?4 ,或 ? . ? d ? ?3 ?d ? 3

∴ an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,

an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 ,
∴ an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (2)当 an ? ?3n ? 5 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1, ?4, 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a2 , a3 , a1 分别为 ?1, 2, ?4 ,成等比数列,满足条件. 故 an ? 3n ? 7 ? ?

??3n ? 7, n ? 1, 2, ?3n ? 7,??n ? 3.

记数列 { an } 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S n ? a1 ? 4 ;当 n ? 2 时, S 2 ? a1 ? a2 ? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? a3 ? a4 ? ??? ? an

? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ??? ? (3? n ? 7)

? 5?

当 n ? 2 时,满足此式.

(n ? 2)[(3 ? 3 ? 7) ? (3 ? n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 2 2 2

?4,???????????????????????n ? ??? ? 综上, S n ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 2. ?
6


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