nbhkdz.com冰点文库

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 同角三角函数的基本关系与诱导公式

[知识能否忆起] 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α +cos2α =1(α ∈R).

? π sin α ? ?α ≠kπ+ ,k∈Z?. (2)商数关系:tan α = 2 cos α ? ?
2.六组诱导公式 角 函数 正弦 余弦

正切 对于角“ 2kπ+α (k∈Z) π -α 2 cos_α sin_α π +α 2 cos_α -sin_α

π+α

-α

π-α

sin_α cos_α tan_α

-sin_α -cos_α tan_α

-sin_α cos_α -tan_α

sin_α -cos_α -tan_α


2

±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶

不变”是指“当 k 为奇数时, 正弦变余弦, 余弦变正弦; 当 k 为偶数时, 函数名不变”. “符 号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. [小题能否全取] 1.sin 585°的值为( A.- 2 2 3 2 ) B. 3 2 2 2

C.-

D.

解析:选 A sin 585°=sin(360°+225°) =sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°

=-

2 . 2 π 3cos(2π-θ ),|θ |< ,则 θ 等于( 2 )

2.(教材习题改编)已知 sin(π+θ )=- π A.- 6 π C. 6 解析:选 D ∵sin(π+θ )=- ∴-sin θ =-

π B.- 3 π D. 3 3cos(2π-θ ), 3.

3cos θ ,∴tan θ =

π π ∵|θ |< ,∴θ = . 2 3

?π ? sin? +θ ?- ?2 ? 3.已知 tan θ =2,则 ?π ? sin? -θ ?- ?2 ?
A.2 C.0 B.-2 2 D. 3

π-θ =( π-θ )

cos θ +cos θ 2 2 解析:选 B 原式= = = =-2. cos θ -sin θ 1-tan θ 1-2

? 3π ? 1 4.(教材习题改编)如果 sin(π+A)= ,那么 cos? -A?的值是________. 2 ?2 ?
1 1 解析:∵sin(π+A)= ,∴-sin A= . 2 2

?3 ? 1 ∴cos? π-A?=-sin A= . 2 ?2 ?
1 答案: 2

1 5.已知 α 是第二象限角,tan α =- ,则 cos α =________. 2 解析:由题意知 cos α <0,又 sin2α +cos2α =1, tan α = 1 2 5 =- .∴cos α =- . cos α 2 5 5 5 sin α

2 答案:-

应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函 数,其步骤:去负号—脱周期—化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

同角三角函数的基本关系式

典题导入 1 [例 1] (1)(2012·江西高考)若 tan θ + =4,则 sin 2θ =( tan θ 1 A. 5 1 C. 3 1 B. 4 1 D. 2 )

(2)已知 sin(3π+α )=2sin?

? 3π

? sin α -4cos α +α ?,则 =________. 5sin α +2cos α ?2 ?

1 [自主解答] (1)∵tan θ + =4, tan θ sin θ cos θ ∴ + =4, cos θ sin θ sin2θ +cos2θ 2 ∴ =4,即 =4, cos θ sin θ sin 2θ 1 ∴sin 2θ = . 2 (2)法一:由 sin(3π+α )=2sin? tan α -4

? 3π ?2

+α ?得 tan α =2.

? ?

原式=

2-4 1 = =- . 5tan α +2 5×2+2 6

法二:由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 原式= =- . 5×2cos α +2cos α 6 [答案] (1)D 1 (2)- 6

在(2)的条件下,sin2α +sin 2α =________. sin2α +2sin α cos α tan2α +2tan α 8 解析:原式=sin2α +2sin α cos α = = = . sin2α +cos2α tan2α +1 5 8 答案: 5

由题悟法 sin α 1.利用 sin2α +cos2α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α 可 cos α

以实现角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子, 利用(sin α ±cos α )2=1±2sin α cos α , 可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3. 注意公式逆用及变形应用: 1=sin2α +cos2α , sin2α =1-cos2α , cos2α =1-sin2α . 以题试法 1.(1)(2012·长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限,则 为( ) A.3 C.1 B.-3 D.-1 cos α 1-sin2α + 2sin α 1-cos2α 的值

(2)已知 sin α =2sin β,tan α =3tan β ,则 cos α =________. 解析:(1)由角 α 的终边落在第三象限得 sin α <0,cos α <0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α | |sin α | -cos α -sin α (2)∵sin α =2sin β ,tan α =3tan β , ∴sin2α =4sin2β ,① tan2α =9tan2β,② 由①÷②得:9cos2α =4cos2β,③ ①+③得:sin2α +9cos2α =4, ∵cos2α +sin2α =1, 3 6 ∴cos2α = ,即 cos α =± . 8 4 6 4

答案:(1)B

(2)±

三角函数的诱导公式

典题导入 π+α [例 2] (1) -α -3π π+α

? 3π? ?α - ? 2? ?

-3π-α

=________.

(2)已知 A=

kπ+α
sin α



kπ+α
cos α

(k∈Z),则 A 的值构成的集合是( B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}

)

A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} [自主解答] (1)原式



? ? π?? tan α cos α sin?-2π+?α + ?? ? ? 2 ??
π+α - π+α

?π ? tan α cos α sin? +α ? ? 2 ? tan α cos α cos α = = -cos α α -cos α α
tan α cos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α sin α cos α (2)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α

k 为奇数时,A=

-sin α

cos α - =-2. sin α cos α

[答案] (1)-1 (2)C 由题悟法 利用诱导公式化简求值时的原则 (1)“负化正”,运用-α 的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. (2)“大化小”,利用 k·360°+α (k∈Z)的诱导公式将大于 360°的角的三角函数化为 0° 到 360°的三角函数. (3)“小化锐”,将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数. (4)“锐求值”,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可

由计算器求得. 以题试法 2.(1)(2012·滨州模拟)sin 600°+tan 240°的值等于( A.- 3 2 D. B. 3 2 )

C.

1 3- 2

1 3+ 2

(2)已知 f(x)=asin(πx+α )+bcos(πx-β ), 其中 α , β, a, b 均为非零实数, 若 f(2 012) =-1,则 f(2 013)等于________. 解析:(1)sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin 120°+tan 60°=- 3 2 + 3= 3 2 .

(2)由诱导公式知 f(2 012)=asin α +bcos β=-1, ∴f(2 013)=asin(π+α )+bcos(π-β )=-(asin α +bcos β )=1. 答案:(1)B (2)1

诱导公式在三角形中的应用

典题导入 [例 3] 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 求△ABC 的三个内角. [自主解答] 由已知得 sin A= =1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- 2 . 2 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),

(1)当 cos A=

2 3 时,cos B= ,又角 A、B 是三角形的内角, 2 2

π π 7π ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= . 4 6 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- , 2 2

3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= ,不合题意. 4 6 π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12 由题悟法 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-

A B C π A+B C 2C, + + = 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 等; 2 2 2 2 2 2
2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. 以题试法 3.在三角形 ABC 中, (1)求证:cos2

A+B

+cos2 =1; 2 2

C

?π ? ?3 ? (2)若 cos? +A?sin? π+B?tan (C-π)<0,求证:三角形 ABC 为钝角三角形. ?2 ? ?2 ?
证明:(1)在△ABC 中,A+B=π-C,则

A+B π C
2

= - , 2 2

所以 cos

A+ B

?π C? C =cos? - ?=sin , 2 2 ? 2 2?
C

故 cos2

A+ B

+cos2 =1. 2 2

?π ? ?3 ? (2)若 cos? +A?sin? π+B?tan (C-π)<0, ?2 ? ?2 ?
则(-sin A)(-cos B)tan C<0, 即 sin Acos Btan C<0,

∵在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,0<C<π,

? ?cos B<0, ∴sin A>0,? ?tan C>0 ?

? ?tan C<0, 或? ?cos B>0, ?

∴B 为钝角或 C 为钝角,故△ABC 为钝角三角形.

1.已知 sin(θ +π)<0,cos(θ -π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ <0,cos θ >0 C.sin θ >0,cos θ >0 B.sin θ >0,cos θ <0 D.sin θ <0,cos θ <0

)

解析:选 B sin(θ +π)<0,∴-sin θ <0,sin θ >0. ∵cos(θ -π)>0,∴-cos θ >0.∴cos θ <0. 2.(2012·安徽名校模拟)已知 tan x=2,则 sin2x+1=( A.0 4 C. 3 9 B. 5 5 D. 3 )

2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 解析:选 B sin2x+1= = = . sin2x+cos2x tan2x+1 5 sin α +cos α 1 3.(2012·江西高考)若 = ,则 tan 2α =( sin α -cos α 2 3 A.- 4 4 C.- 3 3 B. 4 4 D. 3 )

sin α +cos α tan α +1 1 解析:选 B ∵ = = ,∴tan α =-3. sin α -cos α tan α -1 2

2tan α 3 ∴tan 2α = = . 1-tan2α 4

? π ? 24 4.(2013·淄博模拟)已知 sin 2α =- ,α ∈?- ,0?,则 sin α +cos α =( 25 ? 4 ?
1 A.- 5 7 C.- 5 1 B. 5 7 D. 5

)

1 解析:选 B (sin α +cos α )2=1+2sin α cos α =1+sin 2α = , 25

? π ? 又 α ∈?- ,0?,sin α +cos α >0, ? 4 ?
1 所以 sin α +cos α = . 5

?π ? 3 π 5.已知 cos? -φ ?= ,且|φ |< ,则 tan φ =( 2 ?2 ? 2
A.- C.- 3 3 3 B. D. 3 3 3

)

?π ? 3 解析:选 D cos? -φ ?=sin φ = , 2 ?2 ?
π 1 又|φ |< ,则 cos φ = ,所以 tan φ = 2 2 3.

π 6.已知 2tan α ·sin α =3,- <α <0,则 sin α =( 2 3 2 3 2

)

A.

B.-

1 C. 2

1 D.- 2

2sin2α 解析:选 B 由 2tan α ·sin α =3 得, =3, cos α π 即 2cos2α +3cos α -2=0,又- <α <0, 2 1 解得 cos α = (cos α =-2 舍去), 2 3 2

故 sin α =-

.

? 17π? ? 17π? ?-sin?- ?的值是________. 7.cos?- ? 4 ? ? 4 ?
17π 17π π π 解析:原式=cos +sin =cos +sin = 4 4 4 4 答案: 2 2.

? 3π ? sin θ +cos θ 8.若 =2,则 sin(θ -5π)sin? -θ ?=________. sin θ -cos θ ?2 ?
sin θ +cos θ 解析:由 =2,得 sin θ +cos θ =2(sin θ -cos θ ),两边平方得:1+2sin sin θ -cos θ θ cos θ =4(1-2sin θ cos θ ), 3 故 sin θ cos θ = , 10 ∴sin(θ -5π)sin? 3 答案: 10

? 3π

? 3 -θ ?=sin θ cos θ = . 10 ?2 ?

?π ? 2 ? 2π? 9.(2013·中山模拟)已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?=________. 3? ?6 ? 3 ? ? π ?π ?? ? 2π? 解析:sin?α - ?=sin?- -? -α ?? 3? ? ? 2 ? 6 ?? ?π ?π ?? ?π ? 2 =-sin? +? -α ??=-cos? -α ?=- . 3 ?? ?6 ? ?2 ?6

2 答案:- 3 10.求值:sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)+tan 945°. 解:原式=-sin 1 200°·cos 1 290°+cos 1 020°·(-sin 1 050°)+tan 945° =-sin 120°·cos 210°+cos 300°·(-sin 330°)+tan 225° =(-sin 60°)·(-cos 30°)+cos 60°·sin 30°+tan 45° = 3 3 1 1 × + × +1=2. 2 2 2 2

1 11.已知 cos(π+α )=- ,且 α 是第四象限角,计算: 2 (1)sin(2π-α ); sin [α + (2)

n+

π]+sin [α -

n+

α +2nπ

α -2nπ

π] (n∈Z).

1 1 1 解:∵cos(π+α )=- ,∴-cos α =- ,cos α = . 2 2 2 又∵α 是第四象限角, ∴sin α =- 1-cos2α =- 3 2 .

(1)sin(2π-α )=sin [2π+(-α )]=sin(-α ) =-sin α = sin [α + (2) 3 2 ; π]+sin [α -

n+

n+

π]

α +2nπ +

α -2nπ -2nπ-π+α -2nπ+α -π+α



nπ+π+α nπ+α
π+α +



sin α ·cos α -sin α - π-α



sin α ·cos α



-2sin α sin α cos α

2 =- =-4. cos α

?4 3? 12.(2012·信阳模拟)已知角 α 的终边经过点 P? ,- ?. 5? ?5
(1)求 sin α 的值;

(2)求

?π ? sin? -α ? ?2 ?
α +π

·

α -π π-α

的值.

解:(1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α =- . 5 cos α tan α (2)原式= · -sin α -cos α = 1 = , sin α ·cos α cos α sin α

4 5 由余弦函数的定义得 cos α = .故所求式子的值为 . 5 4

1+sin x 1 cos x 1.已知 =- ,那么 的值是( cos x 2 sin x-1 1 A. 2 C.2 1 B.- 2 D.-2

)

1+sin x sin x-1 sin2x-1 cos x 1 解析:选 A 由于 · = =- 1 ,故 = . cos x cos x cos2x sin x-1 2

2.若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sin α ·cos α = A.4 C.-4 3 4 3或- 3 3 B.±4 D. 3 3

3 4

,则 a 的值为(

)

解析:选 C 依题意可知角 α 的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sin α ·cos α= 3 易得 tan α = 4 3或 3 ,则 a=-4 3 4 3或- 3 3 .

3.已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A; 1+2sin Bcos B (2)若 =-3,求 tan B. cos2B-sin2B 解:(1)由已知可得, 又 sin2A+cos2A=1, 所以 sin2A+( 即 4sin2A-2 3sin A-1)2=1, 3sin A=0, 3 , 2 3sin A-cos A=1.①

得 sin A=0(舍去)或 sin A= π 2π 则 A= 或 , 3 3

π 2π 2π 将 A= 或 代入①知 A= 时不成立, 3 3 3 π 故 A= . 3 1+2sin Bcos B (2)由 =-3, cos2B-sin2B 得 sin2B-sin Bcos B-2cos2B=0, ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,

∴tan B=2 或 tan B=-1. ∵tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tan B=2.

?π ? ?π ? 1.已知 sin? -α ?=m,则 cos? +α ?等于( ?4 ? ?4 ?
A.m C. 1-m2 B.-m D.- 1-m2

)

?π ? 解析:选 A ∵sin? -α ?=m, ?4 ? ?π ? ?π ? ∴cos? +α ?=sin? -α ?=m. ?4 ? ?4 ? ? 1 ? 1 1 ?= 2.求证:sin θ (1+tan θ )+cos θ ?1+ + . ? tan θ ? sin θ cos θ ? ? cos θ ? sin θ ? ?+cos θ ?1+ ? 证明:左边=sin θ ?1+ ? cos θ ? ? sin θ ?
sin2θ cos2θ =sin θ + +cos θ + cos θ sin θ

? cos2θ ? ? sin2θ ? ?+?cos θ + ? =?sin θ + sin θ ? ? cos θ ? ?
= sin2θ +cos2θ sin θ 1 cos2θ +sin2θ + cos θ



1 + =右边. sin θ cos θ

3.已知 sin(π-α )-cos(π+α )= (1)sin α -cos α ;

? 2?π ? <α <π?.求下列各式的值: 3 ?2 ?

?π ? ?π ? (2)sin3? -α ?+cos3? +α ?. ?2 ? ?2 ?
解:由 sin(π-α )-cos(π+α )= 2 3 2 3 ,

得 sin α +cos α =

,①

2 7 将①两边平方,得 1+2sin α ·cos α = ,故 2sin α ·cos α =- . 9 9 π 又 <α <π,∴sin α >0,cos α <0. 2

? 7? 16 4 (1)(sin α -cos α )2=1-2sin α ·cos α =1-?- ?= ,∴sin α -cos α = . 3 ? 9? 9 ?π ? ?π ? (2)sin3? -α ?+cos3? +α ?=cos3α -sin3α =(cos α -sin α )(cos2α +cos α ·sin α + ?2 ? ?2 ?
7? 4 ? 22 sin2α )=- ×?1- ?=- . 18? 3 ? 27


2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学一轮复习教学案(...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)集合(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)...选 B 集合 A 表示函数 y= 可得 0≤y≤1,故 ...数轴表示时注意端点值的 取舍. 2.在解决有关...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)三角函数图象与性质(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)三角函数图象与性质(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点...

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式(含解析)

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2014届高考数学一轮复习教学案(基...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)简单的三角恒等变换(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)简单的三角恒等变换(...要看左右两侧函数名、角之间的关系,不同名则化同名, 不同角则化同角,利用...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)抛物线

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)...4a 8 3.已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 ...与焦点弦有关的常用结论.(以右图为依据) (1...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型_数学_高中教育_教育专区。2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)...且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 ,设圆心 3 π...与圆有关的最值问题 典题导入 [例 2] (1...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象(含解析)...利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来...

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列求和(含解析)

2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)...转 化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的...6.已知函数 f(n)=? 且 an=f(n)+f(n+1)...

相关文档

更多相关标签