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【复习参考】2015年高考数学(理)提升演练:基本不等式


2015 届高三数学(理)提升演练:基本不等式

一、选择题 1. 已知向量 a=(x-1,2), b=(4, y ), 若 a⊥b, 则 9 +3 的最小值为 A.2 2 C.12 B.4 D.6
x y

(

)

1 4 2.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= +

的最小值是

a b

(

)

A. C.

7 2 9 2

B.4 D.5 ( B.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) )

3.函数 y=log2x+logx(2x)的值域是 A.(-∞,-1] C.[-1,3]

4.已知 x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则 2 的 A.最小值为 8 1 C.最小值为 8 B.最大值为 8 1 D.最大值为 8

xz y

(

)

2 1 2 5.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是(

x y

)

A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4

B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2 ( )

1 1 k 6.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于 a b a+b A.0 C.-4 二、填空题 1 1 2 2 7.设 x,y∈R,且 xy≠0,则(x + 2)( 2+4y )·的最小值为________. B.4 D.-2

y

x

2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 ?(x)= 的图象交于 P,Q 两

x

点,则线段 PQ 长的最小值是____. 9.已知二次函数 f(x)=ax -x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),
2

-1-



c+2 a+2 + 的最小值为________. a c

三、解答题 10.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值.

11.已知 a,b>0,求证: 2+ 2≥

a b

b a

4

a+ b

.

12.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间 进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间 满足 3-x 与 t+1 成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是 1 万件,已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元 的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件促销费的一半之和, 则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数. (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时, 企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

详解答案 一、选择题 1.解析:由 a⊥b 得 a·b=0,即(x-1,2)·(4,y)=0.
-2-

∴2x+y=2. 则 9 +3 =3 +3 ≥2 3 ·3 =2 3
x y
2x

y

2x

y

2x+y

=2 9=6.

1 2x y 当且仅当 3 =3 即 x= ,y=1 时取得等号. 2 答案:D 1 4 1 1 4 1 b 4a 1 2.解析:依题意得 + = ( + )(a+b)= [5+( + )]≥ (5+2 a b 2 a b 2 a b 2

b 4a 9 × )= ,当且 a b 2

a+b=2 ? ?b 4a 仅当? = a b ? ?a>0,b>0
答案:C

2 4 1 4 9 ,即 a= ,b= 时取等号,即 + 的最小值是 . 3 3 a b 2

3.解析:y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2). 如果 x>1,则 log2x+logx2≥2, 如果 0<x<1,则 log2x+logx2≤-2, ∴函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). 答案:D 4.解析: 2 =

xz y

xz x+2z

2



xz 1 1 ≤ . 2= x +4xz+4z x 4z 8 + +4 z x
2

当且仅当 = 答案:D

x 4z ,x=2z 时取等号. z x

2 1 5.解析:∵x>0,y>0,且 + =1,

x y

2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2

4y

x y

x

y

x

x 4y x 2 2 · =8,当且仅当 = ,即 4y =x , y x y

x=2y 时取等号,又 + =1,此时 x=4,y=2, x y
∴(x+2y)min=8, 要使 x+2y>m +2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m +2m 恒成立, 即 8>m +2m, 解得-4<m<2. 答案:D 1 1 k a+b 6.解析:由 + + ≥0 得 k≥- a b a+b ab 号),所以- 小值等于-4.
-32 2 2 2

2 1

a+b ,而 ab
2

2

= + +2≥4(a=b 时取等

b a a b

a+b ab

2

≤-4,因此要使 k≥-

a+b ab

恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最

答案:C 二、填空题 1 1 1 2 2 2 2 7. 解析: (x + 2)( 2+4y )=1+4+4x y + 2 2≥1+4+2

y

x

xy

4x y ·

2 2

1

x2y2

=9, 当且仅当 4x y

2 2



1

x2y2

时等号成立,则|xy|=

2 时等号成立. 2

答案:9 8.解析:由题意知:P、Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限中的点,则
2 2 2 2 2 2 m>0, n>0, n= , 所以|PQ| =4|OP| =4(m +n )=4(m + 2)≥16(当且仅当 m = 2, 即 m= 2 m m m

2

4

4

时,取等号),故线段 PQ 长的最小值是 4. 答案:4 9.解析:由值域可知该二次函数的图象开口向上,且函数的最小值为 0, 4ac-1 因此有 =0, 4a 1 从而 c= >0, 4a ∴

c+2 a+2 2 1 2 + =( +8a)+( 2+4a )≥2×4+2=10, a c a 4a

2 ? ?a=8a, 当且仅当? 1 ? ?4a =4a ,
2 2

1 ,即 a= 时取等号.故所求的最小值为 10. 2

答案:10 三、解答题 10.解:(1)∵x>0,y>0, ∴xy=2x+8y≥2 16xy 即 xy≥8 xy,∴ xy≥8, 即 xy≥64. 当且仅当 2x=8y 即 x=16,y=4 时,“=”成立. ∴xy 的最小值为 64. (2)∵x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 2 8 ∴2x+8y=xy,即 + =1.

y x

-4-

2 8 2x 8y ∴x+y=(x+y)·( + )=10+ + ≥10+2

y x

y

x

2x 8y · =18

y

x

2x 8y 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时“=”成立.

y

x

∴x+y 的最小值为 18. 11.证明:∵ 2+ 2≥2 =2 1

a b

b a

a b · b2 a2

ab b a

>0,a+b≥2 ab>0, 1 ·2 ab=4.

∴( 2+ 2)(a+b)≥2 ∴ 2+ 2≥

a b

ab

a b

b a

4

a+ b

.

a b ? ? 2= 2 当且仅当?b a ? ?a=b

,取等号.

即 a=b 时,不等式等号成立. 12.解:(1)由题意可设 3-x= ∴x=3- 2 . t+ 1

k ,将 t=0,x=1 代入,得 k=2. t+1

当年生产 x 万件时, ∵年生产成本=年生产费用+固定费用, ∴年生产成本为 32x+3=32(3- 2 )+3. t+ 1

当销售 x(万件)时,年销售收入为 150%[32(3- 2 1 )+3]+ t. t+1 2

由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费, -t +98t+35 得年利润 y= (t≥0). t+ -t +98t+35 t+1 32 (2)y= =50-( + )≤50- t+ 2 t+1 2
2 2

t+1
2

×

32

t+1


=50-2 16=42(万元), 32 ,即 t=7 时,ymax=42,

当且仅当

t+ 1
2

t+1

∴当促销费定在 7 万元时,年利润最大.
-5-

-6-


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