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山东高考数学命题双向细目表


2015 高考数学文科双向细目表
题号 1 2 3 4 5 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 分值 5 5 5 5 5 测试内容 复数 集合 函数定义域 推理与证明 基本初等函数 测试能力 运算求解能力 运算求解能力 抽象概括能力 推理论证能力 抽象概括能力、 应用意识 抽象概括能力、 6 7 8 选择题 选择题 选择题 5 5 5 函数图象 平面向量 统计

概率 运算求解能力、 创新意识运算 推理论证能力 数据处理能力、 应用意识 抽象概括能力、 推理论证能力、 运算求解能力、 创新意识 10 11 12 选择题 填空题 填空题 5 5 5 线性规划 算法框图 三角函数求周期 运算求解能力 推理论证能力、 抽象概括能力、 应用意识 空间想象能力、 13 14 15 填空题 填空题 填空题 5 5 5 4 8 6 立体几何表面积、 体积 直线、圆的方程 圆锥曲线离心率、 渐近 线等 分层抽样方法 古典概型 解三角形求边长/ 三角 函数化简求周期、 求值 等 三角形面积/求单调区 间、最值 空间线面平行 数列通项 数列求和 切线方程 导数的应用 运算求解能力、 0.55-0.75 应用意识 运算求解能力 运算求解能力 数据处理能力、 应用意识 运算求解能力 运算求解能力、 应用意识能力 运算求解能//应 用意识能力 空间想象能力、 推理证明能力 运算求解能力 推理论证能力 运算求解能力 抽象概括能力、 0.6-0.85 0.7-0.8 0.2-0.35 0.35-0.5 0.4-0.65 4 3 5 5 5 6 0.8-1.0 0.25-0.4 0.1-0.15 5 3 3 0.6-0.75 0.45-0.6 0.4-0.65 3 2.5 2.5 难度区间 0.4-0.5 0.55-0.75 0.45-0.65 0.4-0.55 0.5-0.65 作答时间 1 1 1.5 2.5 3

9

选择题

5

函数性质

0.7-0.8

3

16(1) 解答题 16(2) 解答题 17(1) 解答题

17(2) 解答题 18 解答题

6 12 6 6 4 7

0.5-0.75 0.5-0.65 0.35-0.55 0.5-0.75 0.3-0.6 0.6-0.8

6 15 6 10 4 8

19(1) 解答题 19(2) 解答题 20(1) 解答题 20(2) 解答题

1

推理论证能力、 运算求解能力、 应用意识 21(1) 解答题 21(2) 解答题 4 10 椭圆标准方程 运算求解能力 求参数值、 面积等取值 运算求解能力、 范围 应用意识能力 0.4-0.65 0.2-0.35 6 5

2015 高考数学理科双向细目表
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 填空题 填空题 填空题 分值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 测试内容 复数 集合 函数定义域 推理与证明 基本初等函数 积分 统计概率 函数与方程 不等式线性规划 离心率、渐近线方程 算法框图 解三角形 立体几何表面积、 体积 二项式定理 函数创新题 解三角形求边长/ 三角 函数化简求周期、 求值 等 三角形面积/求单调区 间、最值 空间线面平行 测试能力 运算求解能力 运算求解能力 抽象概括能力 推理论证能力 抽象概括能力、 应用意识 运算求解能力 数据处理能力、 应用意识 综合应用能力 运算求解能力 运算求解能力 推理论证能力、 推理论证能力 难度区间 0.4-0.5 0.55-0.75 0.45-0.65 0.4-0.55 0.5-0.65 0.5-0.6 0.4-0.65 0.7-0.8 .7-0.8 0.8-1.0 0.25-0.4 0.1-0.15 作答时间 1 1 1.5 2.5 3 3 2.5 3 5 5 3 3 3 3 5

空间想象能力、 运算求解能力、 0.55-0.75 应用意识 运算求解能力 0.6-0.85 抽象概括能力、 推理论证能力、 创新意识 运算求解能力、 应用意识能力 运算求解能//应 用意识能力 空间想象能力、 推理证明能力 空间想象能力、 推理证明能力、 运算求解能力 数据处理能力、 应用意识 0.6-0.85

16(1) 解答题

4

0.2-0.35

5

16(2) 解答题 17(1) 解答题

8 6

0.5-0.7 0.4-0.65

5 5

17(2) 解答题

6

二面角

0.4-0.65

8

18(1) 解答题

6

概率

0.4-0.65

5

2

18(2) 解答题 19(1) 解答题 19(2) 解答题 20(1) 解答题 20(2) 解答题 21(1) 解答题 22(2) 解答题

6 4 8 6 7 4 10

分布列、期望 通项 前 n 项和 导数分类讨论 利用导数求参数取值 范围 椭圆标准方程 范围

运算求解能力 推理论证能力 推理论证能力 运算求解能力 运算求解能力 运算求解能力 应用意识能力

0.55-0.85 0.5-0.65 0.45-0.6 0.5-0.7 0.6-0.85 0.4-0.65 0.65-0.9

10 4 9 8 4 5 5

求参数值、 面积等取值 运算求解能力、

3

引例 1、 (2013 文理)复数 z ?

(2 ? i ) 2 (i为虚数单位 ) ,则 | z |? i
(C)6 (D) (C) 4 ? 3i

(A)25 (A) 3 ? 4i

(B)

41

5
(D) 4 ? 3i

(2014 文理)已知 a, b ? R, i 是虚数单位. 若 a ? i = 2 ? bi ,则 (a ? bi)2 ? (B) 3 ? 4i

学习复数要注意的五个点: ( 1) 注意实部与虚部的概念 ( 2) 注意纯虚数的概念 ( 3) 注意复数只能说相等或不相等而不能比较大小 ( 4) 注意与其他知识的交汇 押题 1、 若复数(a2 -4a+3)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为(

)

A.1 B.3 C.1 或 3 D.-1 押题 2、 设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则 z 的虚部是________.

押题 3、 在复平面内,复数
A.第一象限

2?i 对应的点位于 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

引 例 2 、( 2013 文 理 ) 已 知 集 合 A、B 均 为 全 集 U ? {1,2,3,4} 的 子 集 , 且

? B) ? {4} , B ? {1, 2}, 则 A ? U (A UB ?
(A){3} (B){4}
2

(C){3,4}

(D) ?

(2014 文理)设集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0}, B ? {x |1 ? x ? 4} ,则 A (A) (0, 2] (B) (1, 2) (C) [1, 2)

B?

(D) (1, 4)

学习集合要注意的五个点:
(1) 注意把握集合概念,认清集合元素 (2) 注意集合元素的互异性 (3) 注意空集的特性 (4) 注意端点值的取舍 (5) 注意以集合知识为背景的创新型试题

押题 1、 已知集合 A ? ? x | x ? 1 ? 2? , B ? ? x | log 2 x ? 2? ,则 A
(A)(-1,3) (B)(0,4) (C)(0,3)

B=
(D)(-1,4)

1 押题 2、 已知全集为 R,集合 A={ x | ( ) x ? 1 },B={ x | x ? 2 }, A ?R B = 2 A.[0,2) B.[0,2] C.(1,2) D.(,2]
引例 3、 (2013 文理)函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x

1 的定义域为 x?3

(A)(-3,0] (C) (??, ?3)

(B) (-3,1]

(?3, 0]

(D) (??, ?3)

(?3,1]
4

(2014 文理)函数 f ( x) ? (A) (0, 2)

1 的定义域为 log 2 x ? 1
(C) (2, ??) (D) [2, ??)

(B) (0, 2]

如何求一个函数的定义域?

学习引入:求下列函数的定义域 1、 y ? log2 (3x ? 1) 3、 y ?
1 2 ?1
x

2、 y ? ? x 2 ? x ? 12 4、 y ? lg
x ?1 x ?1 1 2 ?1
x

逐题分析,提出两个问题: (1)如何求定义域?(2)涉及什么知识?

y ? log2 (3x ? 1)
解:
3x ? 1 ? 0
?x ? ? 1 3

y ? ? x 2 ? x ? 12
解:
? x 2 ? x ? 12 ≥0 x 2 ? x ? 12 ≤0
? ?4 ≤ x ≤3

y?

y ? lg

解: 2 x ? 1 ? 0
2x ? 1 ?x ? 0 定义域为

定义域为

x ?1 >0 x ?1 ? x ? ?1 或 x ? 1 定义域为

x ?1 x ?1

解:

{ x| x ?? 1 }
3

定义域为

{ x | ?4 ≤ x ≤3}
偶次根式中被开 方式大于等于 0 解一元二次 不等式

{x|

x?R 且x ? 0}

{ x | x ? ?1 或 x ? 1 }
真数大于 0

方 法 知 识 点

真数大于 0 解一元一次 不等式

分母不等于 0

解指数不等式

解分式不等式

总之:求定义域问题,最终要转化成解不等式组的问题。
例 1、求下列函数的定义域????????(转化成解不等式组) 1、 y ? 2 x 2 ? x ? log2 (1 ? x) (2)涉及什么知识? (3)怎样解不等式组? 不能取的点用空心。 例 2、 y ?
log 1 (4 x ? 3)
2

(2000 年考题)
?2 x 2 ? x ≥0 解: ? ? 1 ? x >0
0

问: (1)此题需考虑什么因素?

1 ? x ≤0 或 x ≥ 2 ? ? ? x< 1
1

注意:解不等式组一定要画数轴;
2

1

x

定义域为{ x | x ≤0 或

1 2

≤x<1

}

问: (1)此题又有根号又有真数, 怎样考虑?

5

(2)怎样求对数不等式?

求解函数定义域需要注意的几点: ( 1)含分式的函数 在求含分式的函数的定义域时,要注意两点: ( 1)分式的分母一定不能为 0; ( 2) 绝对不能先化简后求函数定义域。 ( 2)含偶次根式的函数 注意( 1)求含偶次根式的函数的定义域时,注意偶次根式的被开方数不小于 0,通 过求不等式来求其定义域; ( 2)在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数 学中常用的术语和符号,注意区间的开闭情况 . ( 3)复合型函数 注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的,则它的定义域是 各基本函数定义域的交集,通过列不等式组来实现 .
(4)抽象函数 已知 的定义域,求 的定义域

若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? A. [0,1] B . [0,1)

f (2 x ) 的定义域是 x ?1

C. [0,1) (1,4]

D . (0,1)

引例 4、 (2013 文理)给定两个命题 p, q , ?p是q的 的必要而不充分条件,则 p是?q的
的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 实根”时,要做的假设是 (A) 方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根 (B) 方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根 3 3 (C) 方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 (D) 方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
3 3

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3 (2014 文理)用反证法证明命题: “设 a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个

本章知识结构框图:
推理与证明

推理

证明

合情推理

演绎推理

直接证明

间接证明

数学归纳法

归纳

综合法 分析法

反证法

类比

学习推理与证明的注意点有:
6

1、归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理 ,称为归纳推理 (简称归纳 ). 简言之 ,归 纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特 殊到特殊的推理 . 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再 进行归纳、类比,然后提出猜想的推理 . 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理” 的推理 . 4、演绎推理 从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论, 这种推理称为演绎推理.简 言之,演绎推理是由一般到特殊的推理 . 演绎推理的一般模式———“三段论” , 包括 ⑴大前提 -----已知的一般原理; ⑵小前提 -----所研究的特殊情况; ⑶ 结论 -----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立 .要点:顺推证法;由因导果 . ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公 理等)为止 . 要点:逆推证法;执果索因 . ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因 此说明假设错误, 从而证明了原命题成立 .的证明方法 .它是一种间接的证明方法 . 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2) (推理) 根据假设进行推理 ,直到导出矛盾为止; (3) (归谬) 断言假设不成立;(4) (结论)肯定原命题的结论成立 .
(2013 文理)函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为 引例 5、

(2014 文理)已知实数 x, y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是 3 3 (A) x ? y (B) sin x ? sin y 1 1 2 2 ? 2 (C) ln( x ? 1) ? ln( y ? 1) (D) 2 x ?1 y ?1 (2014 文) 已知函数 y ? loga ( x ? c)(a, c为常数,其中a ? 0, a ? 1) 的图象如右图, 则下
列结论成立的是
7

E

O

x
(B) a ? 1, 0 ? c ? 1 (D) 0 ? a ? 1, 0 ? c ? 1

(A) a ? 0, c ? 1 (C) 0 ? a ? 1, c ? 1

(2014 理)将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移
的图象,则 ? 的一个可能取值为

? 个单位后,得到一个偶函数 8
?

(A)

3? 4

? (B) 4

?
4

(C)0

(D)

(2014 理)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 , g ( x) ? kx ,若 f (x) ? g (x) 有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是 (A) (0, ) (B) ( ,1) (C) (1, 2) (D) (2, ??)

1 2

1 2

在以往的高考中,对函数图象的考查可分为以下三个层次:

1.作图
已知函数解析式,作函数图象,是函数图象问题考查的基本层次.这种作图问题按作图 方法分为两种类型: 1.1 描点法作图 这是作函数图象的最基本方法.必要时, 应结合函数解析式分析函数的性质, 如单调性、 奇偶性、周期性与对称性等,可有效简化作图过程,提高作图的准确性. 例 1(2003 全国卷·文 20)已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)在给出的直角坐标系中,画出函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?
王新敞
奎屯 新疆

? ? ? 上的图象 , ? ? 2 2? ?

王新敞
奎屯

新疆

解析

这道题不但考查了三角变换技能( f ( x) ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

) ),而且主要考查
,可得一个最大值

了“五点作图法”.一般先找函数图象的一个最值点,比如令 2 x ? 点x?

?
4

?

?
2

3? 1 , 再向左或向右依次间隔 个周期, 可得函数零点、 最小值点、 零点、 最大值点?? 8 4
? ? ? ? 上的图象. , ? 2 2? ?
8

由此描点即得函数 f ( x ) 在区间 ? ?

总结

所谓描点,往往要求描函数的一些关键点,比如最值点、零点、间断点等等,而

与函数性质的结合也往往必不可少. 1.2 图象变换法作图 利用已知的基本初等函数图象经过适当的图形变换, 可得更为复杂的函数的图象, 是为 图象变换法作图.中学数学中常见的图形变换主要包括平移变换、对称变换、伸缩变换等. 例2 作出下列函数的图象: (1) y ? 2log2 (2 x ? 1) ? 1 ; (2) y ? log2 (2 x ? 1) ; (3) y ? log2 2x ?1 ; (4) y ? log2 (2x ?1) . 解析(1)依次进行如下变换:
图像向左平移1个单位 标变化为原来的一半 ? y ? log 2 (2 x ? 1) y ? log2 x ??????? ? y ? log2 ( x ?1) ??????? 图像向上平移1个单位 标变化为原来的两倍 ??????? ? y ? 2log 2 (2 x ? 1) ??????? ? y ? 2log2 (2x ?1)+1 .
横坐标保持不变,纵坐 纵坐标保持不变,横坐



2
















2



图像向左平移1个单位 标变化为原来的一半 ?y?l y ? log2 x ??????? ? y ? log2 ( x ?1) ???????
作其关于y轴对称的图像 ??????? ? y ? log2 (2 x ? 1) . 仅保留y轴右侧图像,并

纵坐标保持不变,横坐

o x?

g

(

2



3
















2



其关于y轴对称的图像 y ? log2 x ??????? ? y ? log2 x

保留y轴右侧图像,并作

图像向左平移1个单位 ??????? ?y ?l

xo ?

g

1

??????? ?y ?l
( 4 ) 依

纵坐标保持不变,横坐 标变化为原来的一半

2

x o? . g
次 作

2


1
下 变 换
2



图像向左平移1个单位 标变化为原来的一半 ?y?l y ? log2 x ??????? ? y ? log2 ( x ?1) ???????
方图像对称变换到x轴上方 ????????? ? y ? log2 (2 x ? 1) . 保留x轴上方图像,并将x轴下

纵坐标保持不变,横坐

o x?

g

(

2

总结 对于三种变换要分别弄清楚以下几点: (1)平移变换:何谓“左加右减,上加下减”? (2) 对称变换: 函数 y ? f (? x) 、 y ? ? f ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 图象有什么关系? 已知函数 y ? f ( x) 图象,如何作出函数 y ? f ( x ) 与 y ? f ( x) 图象? ( 3 ) 伸 缩 变 换 : 由 函 数 y ? f ( x) 图 象 , 如 何 作 出 函 数 y ? f (? x)(? ? 0) 与

y ? Af ( x)( A ? 0) 的图象?反过来,由函数 y ? f (? x)(? ? 0) 或 y ? Af ( x)( A ? 0) 的图

9

象,如何变换得到 y ? f ( x) 图象?

2.识图
这是高考中函数图象问题考查的第二个层次, 要求我们能从给出的函数图象中读出函数 所具有的特征与性质.这类问题可分为以下两种类型: 2.1 已知函数解析式,选择合适的函数图象 这是高考中考查函数图象问题的一种非常流行的方式.这种问题一般都是给出函数解析 式,然后从四个选择项中选择一个与之匹配或不匹配的图象. 例 3(1) (2011 山东卷·理 9 文 10)函数 y ?

x ? 2 sin x 的图象大致是 2

(2) (2011 浙江卷·文 10)设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b, c ? R ? ,若 x ? ?1 为函
2

数 f ? x ? e 的一个极值点,则下列图象不可能为 y ? f ? x ? 的图象是
x

(3) (2010 湖南卷·文 8)函数 y ? ax2 ? bx 与 y ? log b x ( ab ? 0, a ? b )在同一
a

直角坐标系中的图象可能是

10

解析(1)从四个备选图象来看,它们的区别可从三个角度比较:首先是奇偶性,由此 排除 A 项;其次考虑函数值的正负情况,当 x ? 2? 时, y ? 后是单调性,由 y? ?

x ? 2 sin x ? 0 ,排除 D 项. 最 2

1 1 ? 2 cos x ? 0 ,得 cos x ? ,因此函数的单调增区间与减区间各有 2 4

无数个,答案排除 B 项,选 C. (2)结合四个备选项,不妨只考虑 a ? 0 的情况. 设 F ( x) ? f ( x)e x ,则 F ?( x) ? ex f ?( x) ? e x f ( x) ? e x [ax2 ? (2a ? b) x ? b ? c] , ∵ x ? ?1 为 f ( x)e x 的一个极值点, ∴?
2 2 2 ? ?a ? c ?? ? (2a ? b) ? 4a(b ? c) ? 4a ? b ? 4ac ? 0 ,即 ? , ?1 b ? 0 ? F ( ? 1) ? e ? ( ? a ? c ) ? 0 ? ? ?

∴方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? a ? 0 的两根之积为 1,这恰好可以确定 D 为不可能的选项. (3)本题给了一个二次函数与一个对数函数,从给出的四个图象的差异来看,应主要 考虑

b 的范围以确定二次函数零点位置及对数函数的单调性. a
A 与 B 选项中,从二次函数来看, 0 ? ?

b b ? 1 ? 0 ? ? 1 ? 对数函数递减,与图象 a a

不一致;C 选项中,从二次函数来看,?

b b ? ?1 ? ? 1 ? 对数函数递增,与图象不一致; a a

D 选项中,从二次函数来看, ?1 ? ? 选 D.

b b ? 0 ? 0 ? ? 1 ? 对数函数递减,与图象一致.故 a a

总结 对于给出解析式选择图象的问题,可以运用排除法.读图以识别函数所具有的一 些性质,凡是与解析式所反映的性质相矛盾的都是不匹配的图象. 2.2 识图,以确定参数的取值范围 识图层次问题中,另一种常见类型是给出函数图象,要求我们从图象出发,观察图象的 特征以确定函数中一些参数的取值范围. 例4 (1) (2000 京皖春招· 理 14) 已知函数 f ?x ? ? ax ? bx ? cx ? d
3 2

11

的图象如右图,则 (A) b ? ?? ?,0? (C) b ? ?1,2? (B) b ? ?0,1? (D) b ? ?2,???
n

m (2) (2011 安徽卷·理 10)函数 f ? x ? ? nx ?1 ? x ? 在区间 0,1 上的图象如图所示,

? ?

则 m, n 的值可能是 (A) m ? 1, n ? 1 (C) (B) m ? 1, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 1

m ? 2, n ? 1

解析(1)首先,从图象可以直观地得到函数的零点特征,即

1 ? ?a ? ? 3 b ? f (0) ? d ? 0 ? 2 ? 1 3 2 ? ? ?c ? ? b ? f ( x) ? ? bx ? bx ? bx ; ? f (1) ? a ? b ? c ? d ? 0 3 3 3 ? f (2) ? 8a ? 4b ? 2c ? d ? 0 ? ? ?d ? 0 ? ?
其次,从图象可以看出单调性的特征,即函数在R上先增再减再增,由三次函数的性质 有

1 a ? ? b ? 0 ? b ? 0 . 故选 A. 3
(2)观察图象,函数 f ( x ) 在区间 0,1 上先增后减,特别注意的是,极值点 x0 ? 0.5 . 求 导 ,

? ?

f ?( x) ? nxm?1 (1 ? x)n?1[m ? (m ? n) x] , 故

x0 ?

n ? 0 .? 5 m ? n (从四个选择项看,这里只须考虑 m?n
此类题目一定要注意观察图象特征,看对应函数具

m 、 n 取正值的情况). 故选 B.
总结 有什么性质,比如奇偶性、单调性、对称性、周期性等,还要看图象的最高点、最低点,是 否过原点或其它特殊点,与坐标轴的交点等,根据这些特征得出结论.

3.用图
以函数图象为工具来解决数学问题, 体现了数形结合的数学思想, 这是函数图象问题考 查的第三个层次.这类问题在高考中也是屡见不鲜. 3.1 利用图象解决与交点有关的问题 方程根的个数或是方程根的范围问题,利用函数图象来进行处理非常直接.
2 例 5(1)方程 kx ? 1 ? ( x ? 2) 有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是

.

?1? a (2) (2007 天津卷·理 9)设 a,b,c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ?2? 2 2
12

b

?1? ? ? ? log 2 c .则 ?2?
(A) a ? b ? c (B) c ? b ? a (C) c ? a ? b (D) b ? a ? c (3) (2010 浙江卷· 理 9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 存在零点的是 . (A) ?4, ?2

c

?

?

(B) ?2,0

?

?

(C) 0, 2

?

?

(D) 2, 4

?

?

解析(1)这是典型的用图问题,即函数 y ? kx 的图象(直线)与

y ? 1 ? ( x ? 2)2 的图象(半圆)有两个不同交点,如右图所示.显然,
符合题意的直线应在 x 轴与切线之间,即 k ?[0,

3 ). 3
x

(2)由题意, a,b,c 分别是两函数图象交点的横坐标. 在同一直角坐标系中, 作出函数 y ? 2x 、 y ? ( ) 、 y ? log 2 x 与 y ? log 1 x 的图象,可得 0 ? a ? b ? 1 ? c ,选 A.
2

1 2

(3) 本题主要考察了函数与方程的相关知识点, 将 f ?x ? 的 零点转化为函数 g ? x ? ? 4sin ? 2x ?1? 与 h ? x ? ? x 的交点,如 图,数形结合可知答案选 A. 总结 将方程的根或函数的零点转化为两函数图象交点问 题,突出了对转化与化归思想、数形结合思想的考察,其中准 确作图是正确解题的基础,对能力要求较高. 3.2 利用图象解决与代数式大小有关的问题 从函数图象还能直观地反映几个代数式的大小, 因此涉及到代数式大小问题可以考虑采 用函数图象予以解决,迅速高效. 例 6(1) (2009 上海卷·理 11)当 0 ?

x ? 1 时 ,不等式 sin

?x
2

? kx 成立,则实数

k 的取值范围是_________.
(2) (2009 海南宁夏卷· 理 12 文 12) 用 min ?a, b, c? 表示 a, b, c 三个数中的最小值. 设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x? ( x ? 0) ,则 f ? x ? 的最大值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

(3) (2009 江西卷·理 15)若不等式 9 ? x2 ? k ( x ? 2) ? 2 的解集为

13

区间 a, b ,且 b ? a ? 2 ,则 k ? 解析(1)作出 y ? sin 须 k ? 1.

?

?



?x
2

与 y ? kx 的图象,要使不等式 sin

?x
2

? kx 成立,由图可知

(2)在同一直角坐标系中画出 y ? 2x 、 y ? x ? 2 、 y ? 10 ? x 的

?2 x , 0 ? x ? 2 ? 图象,如右图.观察图象可知, f ( x ) ? ? x ? 2, 2 ? x ? 4 , f ( x ) 的最 ?10 ? x, x ? 4 ?
大值在 x ? 4 时取得为 6,故选 C.. (3) 数形结合, 9 ? x2 ? k ( x ? 2) ? 2 , 即直线 y ? k ( x ? 2) ? 2 在 半 圆 y ? 9 ? x 2 之 下 . 而 b ? a ? 2 , 必 须 b ? 3,a ? 1, 故 直 线 ,求得 k ? 2 . y ? k( x? 2) ? 2过点( 1, 2 2 ) 总结 将几个函数式的大小用函数用图象反映出来: 图象上, 其值大; 图象下, 其值小. 这 充分体现了用“形”刻画“数”的形象性与直观性. 引例 6、 (2013 文)(15)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若

?ABO ? 90o ,则实数 t 的值为______.
(2014 文) (7)已知向量 a ? (1, 3), b ? (3, m) . 若向量 a, b 的夹角为 (A) 2 3 (B)

? ,则实数 m ? 6
.

3

(C) 0

(D) ? 3

(2014 理) (12) 在 ?ABC 中, 已知 AB ? AC ? tan A , 当A?

?
6

时,?ABC 的面积为

(2014 理) (16) 已知向量 a ? (m,cos 2x) , 设函数 f ( x) ? a ? b , 且 y ? f ( x) b ? (sin 2x, n) , 的图象过点 (

?
12

, 3) 和点 (

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 m, n 的值; 引例 7、 (2013 理)14.在区间 ?3,3 上随机取一个数 x ,使得 x ?1 ? x ? 2 ? 1 成立的概率 为______. (2014 文理)(8) 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的 舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为 [12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按 从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五组,右图是根据试验数据制成的频 率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中
14

?

?

有疗效的人数为
频率/组距
0.36

0.24 0.16
0.08
12

13

14

15

16

17 舒张压 / kPa

(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (2013 文)(10)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均 分为 91,现场作的 9 个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

8 9

7 4

7 0 1 0 x 9 1

则 7 个剩余分数的方差为 (A)

116 9

(B)

36 7

(C)36

(D)

6 7 7
1 , 则 f (?1) ? x

2 引例 8 (2013 文理) (3)已知函数 f ( x) 为奇函数, 且当 x ? 0 时,f ( x ) ? x ?

(A)2

(B)1

(C)0

(D)-2

(2014 文)(9) 对于函数 f ( x ) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f ( x) ? f (2a ? x) ,则称 f ( x) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 (A) f ( x) ?

x (C) f ( x) ? tan x

(B) f ( x) ? x3 (D) f ( x) ? cos( x ? 1)

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 引例 9(2013 文)(14)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的 ?y ? 0 ?
区域上一动点,则 OM 的最小值是_______.

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? (2013 理)6.在平面直角坐标系 xoy 中, M 为不等式组 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 所表示的区域上 ? 3 x ? y ? 8 ? 0, ?
一动点,则直线 OM 斜率的最小值为

15

(A)2

(B)1

(C) ?

1 3

(D) ?

1 2

(2014 文 10 理 9)已知 x , y 满足约束条件 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 2 x ? y ? 3 ? 0, ?
(C)

z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 在该约束条件下取到最小值 2 5 时, a 2 ? b 2 的最小值为
(A) 5 (B) 4

5

(D) 2

线性规划应该注意的点: ( 1) 注意约束条件中含有未知量的; ( 2) 注意目标函数中含有未知量的; ( 3) 目标函数不是线性目标函数的; ( 4) 利用线性规划求参数范围的; ( 5) 注意与实际问题相结合的;

?x ? y ? 1 ? 押题 1、已知变量 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,若 x ? 2 y ? ?5 恒成立,则实数 a ? x?a ?

的取值范围为 A.(- ? ,-1]

B.[-1,+ ? )

C.[-1,1]

D.[-1,1)

2x-y≥5, ? ? 押题 2、某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名,x 和 y 须满足约束条件? x-y≤2, ? ? x<6, 则该校招聘的教师人数最多是( ) A.9 B.10 C.12 D.13

引例 10(6)执行右边的程序框图,若第一次输入的 a 的值为-1.2, 第二次输入的 a 的值为 1.2,则第一次、第二次输出的 a 的值分别为 (A) 0.2,0.2 (C) 0.8,0.2 (B) 0.2,0.8 (D) 0.8,0.8

开始 (2014 文理)(11) 执行右面的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则 输出的 n 的值为 . 输入 x
n?0

引例 12 (2013 文) (4)一个四棱锥的侧棱长都相等, 底面是正方形,其正(主)视图如右图 所示,该四棱锥侧面积和体积分别是 (A) 4 5,8 (D) 8,8 (B) 4 5,

x3 ? 4 x ? 3 ? 0

x ? x ?1 n ? n ?1



8 3

(C) 4( 5 ? 1),

8 3

输入 x 结束

16

(2013 理)4.已知三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

9 ,底面是边长为 3 4

的正三角形. 若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 (A)

5? 12

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 6

( 2014 理) (13) 三棱锥 P ? ABC 中,D ,E 分别为 PB ,PC 的中点, 记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 , P ? ABC 的体积为 V2 ,则

V1 ? V2

.

( 2014 文) (13) 一个六棱锥的体积为 2 3 , 其底面是边长为 2 的正六边形, 侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为 。 引例 13( 2013 文) (13) 过点 (3, 1) 作圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的弦,其中最短的弦长为 __________. (2013 理) 9. 过点 (3,1) 作圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的两条切线, 切点分别为 A ,B , 则直线 AB 的方程为 (A)2 x ? y ? 3 ? 0 (B)2 x ? y ? 3 ? 0

4x ? y ? 3 ? 0 (C)

4x ? y ? 3 ? 0 (D )

(2014 文)(14) 圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦 的长为 2 3 ,则圆 C 的标准方程为 。

引例 14(2013 文理)(11)抛物线 C1 : y ?

x2 1 2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的 3 2p

右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则

p=
(A)

3 16

(B)

3 8

(C)

2 3 3

(D)

4 3 3

x2 y 2 (2014 文) (15) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c ,右顶点为 A,抛物线 a b 2 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ,且 | FA |? c ,则
双曲线的渐近线方程为 。

17

(2014 理) (10) 已知 a ? b , 椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 , 双曲线 的方程为 ? ?1 ? ?1, C2 a 2 b2 a 2 b2

C1 与 C2 的离心率之积为
(A) x ? 2 y ? 0 (B)

3 ,则 C2 的渐近线方程为学科网 2

2x ? y ? 0 (C) x ? 2 y ? 0 (D) 2 x ? y ? 0

18


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