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高中数学函数求值域的类型归纳解析(2013.7.18)

时间:2013-07-23


高中数学函数求值域的类型归纳解析 类型一: 分式函数形如 y ?
y ? m? ax ? b af ( x) ? b (或y ? ) 可利用分离变量转化为 cx ? d cf ( x) ? d

k n 借助反比例函数 y ? (k ? 0)性质研究值域 ,也可以利用反函 x g (x)

数法,原式反解转化为 x ? g ( y ) 形式,由 x 的取值范围得到关于 g ( y ) 的 不等式,求得 y 的范围就是函数的值域。 例 1: y ?
2x ?1 x ?1

例 2: y ?

2x ?1 ( x ? 1) x ?1

例 3: y ?

ex ?1 ex ?1

例 4:y?

2sinx?1 sinx?3

类 型 二 : 形 如 y?
y ? mx ?

ax ? b cx 2 ? dx ? e (或y ? ) cx 2 ? dx ? e ax ? b

可 转 化 为

p k ( y ? af ( x) ? ) 利用基本不等式求解,可利用对勾函数的 nx bf ( x)

单调性。
x2 ?1 例 5: y ? x

例 6: y ?

x x ? x ?1
2

x 2 ? 3x ? 1 ( x ? ?1) 例 7: y ? x ?1

例 8:

y ? sin 2 x ?

4 sin 2 x

例 9: y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

类型三:形如 y ?

ax 2 ? bx ? c ,式子转化为关于 x 的一元二次方程,利 dx 2 ? ex ? f

用 ? 判别式法, ? ? 0 解出 y 的范围。 例 10: y ?
2x2 ? x ?1 x2 ?1

变式:已知 f ( x) ?

ax ? b 的值域是 ?? 1,9?,求 a, b 的值 x2 ?1

类型四:形如 y ? ax ? b ? cx ? d 可利用换元法 ,令 t ? cx ? d ,转化为 二次函数求解,注意换元后自变量的取值范围。 例 11. y ? 1 ? 2 x ? x

换元法常见题型: ① y ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1 ② y ? ?log 2 x ?2 ? log 2 x ? 2 ③ y ? sin x ? cos 2 x ? 1

④ y ? sin x ? cos x ? sin x cos x ? 1

⑤ y ? x2 ?

1 2 ? 2x ? ? 4 2 x x

⑥ y ? x ? 1 ? x 2 (三角换元)

类型五:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域,可根据复合函数单调性或两个函
数的和或差的单调性。 1. y ?

x ?1 ? x

2. y ?

x ?1 ? x ?1

3. y ?

x?3 ? 5? x

4. y ? x ?

1 x ? ?2,4? x

类型六:利用图形法(数形结合)
1. y ? x ? 4 ? x ? 1 2. y ? x ? 2 ? x ? 1

3. y ?

cos x ? 1 sin x ? 1

4.已知 x ? y ? 1, 求x ? y的取值范围
2 2

类型七:复合函数求值域问题
1. y ? 5 ? 4 x ? x
2

?1? 2. y ? ? ? ?3?

x 2 ?3 x

3. y ? log 2 x 2 ? 2 x ? 5

?

?

练习:

1 的值域是 3 ?1 (A) (- ?,?1)
1. 函数 y ?
x

( (B) ( ??,0) U (0, ??) (D) (- ?, ?1) U (0, ??) ( (D) (??,?1] ? [3,??)

)

(C) (-1,+ ?)

2. 函数 y ? log 2 x ? log x (2 x) 的值域是 A. (??,?1] (B) [3,??)
2



(C) [?1,3]

3. 已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间[0, m]上有最大值 3, 最小值 2, m 的取值范围是 则 ( A、[ 1,+∞] B、[0,2] C、 (-∞,2) D、[1,2]



4. 已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 ,g ( x) ? 1 ? x , 构造函数 F ( x) , 定义如下: | f ( x) |? g ( x) 时, 当
x 2

F ( x) ?| f ( x) | ,当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ? ? f ( x) ,那么 F ( x) ( )
( A) 有最小值 0 ,无最大值 (C ) 有最大值 1 ,无最小值 ( B) 有最小值 ?1 ,无最大值

( D) 无最小值,也无最大值

5.函数 y=

6 的值域是 3cos x ?1



6. 下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是 A. y ?

( )

1 5 ?1
?x

B. y ? 1 ? 2

x

C. y ?

1 ( )x ?1 2

D. y ? ( )

1 3

1? x

7.已知已知f ( x )的值域为?

?3 4 ? ?,求y ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x)的值域 ?8 9 ?

8.若函数 y ? log 2 x ? 2ax ? a 的值域为R , 求实数a的取值范围
2

?

?

9.已知函数 y ? log 2 x ? 2 x ? a 的值域为?0,?? ?, 求正实数a的值
2

?

?


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